Том 1 (1160083), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Но полученное нами достаточное условие единственности элемента наилучшего приближения здесь неприменимо. Действительно, пусть а=О, 6= 1, 7',=1, уг=х. Тогда !! 7", !! = 1 , !! 7'г !! = 1 , !! 7; + уг !! = 2 , !!11+Уз!! !!Л!! + !!Уг!! т. е.
хотя функции ), и уг независимы на 10, 1), т. е. наше про. странство С не является строго нормированным. 2. Теорема Хаара. Для пространства )с, которое мы сейчас рассматриваем, Хааром была доказана следующая теорема: Для того чтобы для любой заданной функции У~[с существовал единственный обобягенный многочлен наилучшего при- Здесь а должно равняться 1, так как в противном случае 7" представлялся бы в виде линейной комбинации ум следовательно, т равнялось бы нулю. Но при этом ~~'., (иг — Ьг) р,=О ч о 338 [гл. 4 РАВномеРные пРнвлижения ближенил, необходимо и достаточно, чтобы функции уо, рн ... р„образовывали систему Чебышева, т. е. любой обобщенный мкогочлек ио этой системе функций имел на отрезке [а, Ь) не более а различных нулей, Докажем зту теорему. Для доказательства необходимости покажем, что если существует обобщенный многочлен Фо(х) =аосро(х)+ар,(х)+ ...
+а„ср„(х) ф О, имеющий на [а, Ь[ больше и нулей, то существует непрерывная на [а, Ь[ функция Р(х), для которой имеется несколько обобщенных многочленов наилучшего приближения. Пусть Ф (х) обращается в нуль в точках х,, х,,..., х„, х;~ [а, Ь[: Фо(хч) =ао~ро(хч)+а,ср,(хр)+ ...
+а„ср„(хг) = О (Р=О, 1, 2,..., Н), Так как Фо(х) фО, то среди чисел ач по крайней мере одно отлично от нуля и, следовательно, то (хо) Рг (хо) ° ти (хо) то (хг) тг (хг) ... Р„(хг) Ро (х„) Рг (х„) ... Р„(х„) Это значит, что между строками матрицы имеется линейная зависимость, т. е. существуют такие, не равные одноцременно нулю числа Ьо, Ь„..., Ь, что при Ь=О, 1, 2,..., и Ьзр„(х )+Ьрз(х,)+ ...
+Ь„р„(х„) =О. Из последнего равенства следует, что для любого обобщенного многочлена Ф (х) имеет место равенство Ь Ф(х ) +Ь~Ф(х,)+ ... +Ь„Ф(х„) =О. (1) Пусть ), — некоторое положительное число, удовлетворяющее условию вмр [Ф (х) [~~ 1. ий1о, ь1 Построим непрерывную на [а, Ь[ функцию д(х) так, чтобы в точке хг она принимала значение +1, если Ьг положительно, и — 1, если Ь, отрицательно, а во всех остальных точках отрезка [а, Ь[ по абсолютной величине не превосходила бы 1. Функция у (х) = д(х) [1 — >, [Ф, (х) [) будет обладать теми же свойствами, Покажем, что для У(х) существует бесчисленное множество обобщенных многочленов наилучшего 9 2] наилучшее РАвномвРИОе ПРНБлижвнив нвпРвРывных еункций 339 т.
е. ф,(х) являются многочленами наилучшего приближения при любом а, [е[ (1. Теперь докажем достаточность условий Хаара, т. е. докажем, что если система та, тп..., Та удовлетворяет им, то для любой непрерывной на [а, а[ функции не может существовать двух различных многочленов наилучшего приближения: Для этого предварительно докажем несколько свойств систем Чебышева. 1. Если существуют точки х, х,,..., х, (р(Л(л), для которых тв (хв) тт, (х) ... Р„(хв) тт (х,) тт, (хт,) ...
Ча (х,) +О, тт (х„) рв (х,) ... Ра (х,) то для произвольного натурального числа д(й(о (л) можно найти такие ТОЧКИ Хр,, Ха,..., Х, ЧТО т (хч) тв„,(хт) ... т (хв) р (х,) тв (х,,) ... т (хт,) р (х ) тт ,(х ) ... р (х ) Рассмотрим обобщенный многочлеи ть, (хт) тает (хсм) р,, (х,) тр (хв) тв (х,) ...
т (хт) т,(х,ь,) тв+,(ха„,) . Чь(~чь,) Ф (х) т (х,) тв (х ) ... Ра(ха) т (х) р „ (х) ... р,(х) т» (х). приближения. Действительно, для любого обобщенного много- члена Ф(х) уклонение Ь(р", ф) не меньше 1, т. е. зпр [у'(х) — ф (х) [ ь 1. иб!а, Ю Если бы для некоторого многочлена Ф,(х) уклонение Ь(р', ф,) было меньше 1, то в точке хт знак Ф,(х,) совпадал со знаком у(хт) (так как р"(хв)= +1), т, е. со знаком Ьо а в этом случае было бы невозможно равенство (1). Таким образом, й(р)) 1, С другой стороны, при любом е, удовлетворяющем условию ! е[~( 1, будем иметь: [р (х) — е)ф,(х)[ ( )р'(х)[ + ),[е ф„(х)[ = = [ К(х][[1 — ) [ ф.(х)[) + Л~а~[ ф.(х)~ ( (1 — 1[ф,(х)[+-),[.[1ф,(х) [(1 Итак, лля любого многочлена ф,(х) = еЛФа(х) 340 глвномвгные пгивлижения ]гл. 4 Так как коэффициент при рл (х) отличен от нуля, то Ф(х) ~0, Поэтому найдется такая точка х„+, в которой Ф (х„ )+О.
Таким образом, Рл (хч) Тт, (х ) ... эа (тт) Р,, (хр) ва(ха ь) вт,(х ) ... р,(х,,) рл (хт,) +О. р, (х„) рт (х„) ... е (х,) вл (х,) в (х„) у,,(х,,) ... ва(ха„„т) р,,(х,,) Повторяя эти рассуждения д — В раз, получим точки х„„..., х, сущее' ствование которых утверждалось. 2.
Если х, х,,..., ха (В( и, хр+хр при р+/) — произвольные различные точки о~резка [а, б], то по крайней мере один из определителей (В+ 1)-го порядка матрицы то (хо) тт (хо) "° Тв (хо) ро (хт) тт (хт) ... рв (хт) т,( л) т,( а) " ув(ха) ичен от нуля. отл Будем доказывать это свойство методом индукции. Пусть й = О, т.
е матрипю состоит из одной строки ]] то (хо) тт(хо) " Тв (хо)]П Допустим, что все элементы этой строки равны нулю, Возьмем любую точку утчьхо, для которой тт(ут)+О, и, используя первое свойство, найдем такие точки уз, уз,..., ув, что ! тт (Ут) " тв (Ут) тт(ув) ." Тв(ув) Рассмотрим многочлен уо(х) р (х) ... Тв (х) 'ро (ут) Ч'т (ут) " ° 'рв (ут) Ф(х) = 9о (Ув) ут (ув) ° ° ° тв (ув) Он не равен тождественно нулю, так как коэффициент при ео(х) отличен от нуля. Но Ф(хо) =Ф(ут) = ...
=Ф(ув) =О, т. е. Ф имеет я+1 нуль на ]а, Ь], что невозможно, так как по предположению то, тт,..., Тв удовлетворяют условиям Хаарк Таким образом, свойство 2 имеет место при А = О. Пусть оно имеет место при В =О, 1, 2,..., лт — 1 и предположим, не нарушая общности, что рт (хт) .;, р (хт) эьО, вт (хы) ... Ты (хы) На основании свойства 1 найдутся такие точки у т, ..., Ув, что вт (хт) рт (хт) ... вв (хт) тт (хз) 'рт (хэ) ° тв (хз) +О.
тт (Ув) Тэ (Ув) " тв (Ув) 5 2] нАилУчшее РАВнОмеРнОе ИРиБлижение непРВРыВных ФУнкций 341 Ио тогда обобщенный многочлен Фэ (х) У1 (х) ... Фя (х) чэ (хт) Рт (хт) ... Фя (хт) Ф(х) = Ра (Ум) Рт (Уя) " Уя (Уи) пе обращается в нуль тождественно. Если бы при Ь = »и наше утверждение было неверно, т.
е. все определителм исходной матрицы при й=»п обращалнсь в нуль, то многочлен Ф (х) имел бы и+ 1 нулей хэ, хт, ..., у„, что невовможно. Итак, и второе утверждение показано. 3. Если уравнение [у(х) — Ф(х)]=А(У,Ф), 1(х)с»т, Ф(х)=Д', агут »-е имеет на [а, Ь] меньше, чем и+ 1 различных корней, то Ф(х) не является многочленом наилучшего приближения функции у (х). Пусть хе, хп ..., х,„(т(п, ха+ху при 14:/) — все корни нашего уравнения.
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений алуа(хл)+ чту (х,)+ ... + Я„Ув(х ) =У(.сь) — Ф(хь) (Ь= О, 1,..., т) относительно неизвестных аа, ат,..., а»ь По втоРомУ свойствУ матРица этой системы имеет ранг т+ 1, совпадающий с числом уравнений. Следовательно, система совместна. Пусть (а(а), а1э),..., а(е)) — одно из ее решений. Рассчо- 1 '''" я) грим обобщенный многочлен Фа (х) = ~Ч»' а()у; (х) 1-Е и функцию»т (х) =» (х) — Ф(х).
Для каждой точки хл (В =О 1 '' ш) выберем столь малую окрестность Ца, чтобы имели место неравенства: А(T, Ф) РЛ = ° 1п1 [)т»(х) [)О, 1п( ]Ф,» (х) [) хб па МСГ»1, Это возможно, так как [»с(хл)] = А(г, Ф) ~О и [Фэ(хл) [= А(У, Ф). Пусть М»,= эпр [Фэ(х)[, М= знр [Фэ(х)[, Г эпр [Р(х)], ма ста еб П* где (»» есть совокупность точек отрезка [щ Ь), не принадлежащих окрест- ностям (»а, (»1...., (»' .
Разность Р = А (л, Ф) — й' — строго положительное число. Пусть э — положительное число, удовлетворяющее условию Положим 11 = рс+ аа(е) (1 = О, 1,..., и) и Фт (х) = ~~~~ тгуь Тогда 1-Е [г (х) — Фт (х) ] = [г (х) — Ф (х) — афэ (х) ] = ] )(» (х) — афа (х) [. 342 (гл. Ф РАВИОМВРМЫВ ПРИБЛИЖЕНИЯ Если хб Е(л (б =О, 1,..., т), то ~у( ) — Ф, ( И = (Л ( ) ~ ~1 — 'Ф'( ) ! < д (у, ф) 1'1 *1, Если же хбЕГ', то ~ У(х) — Фт (х) ( ~( ~ Р (х) ) + о ( Фо (х) ~ ( Е*+ оМ ( Е" + и = Ь (У, Ф), Итак Д (Е фт) < Д К Ф) и ф(х) не является многочленом наилучшего приближения.
Теперь можно доказать достаточность условий Хаара. )(опустим противное, т. е. предположим, что для функции у (х) Р )с имеются два многочлена наилучшего приближения: Фт(х) = ~~р~агут(х) и Фз(х) = ~~а роуз(х), г-о т о т. е. Лифт)=Лифт)ц й(У) Рассмотрим многочлен Фз (х) = ~~У~ с ~ Рт (х). о-о Для него имеет место неравенство 1 1 (у (х) — Фз (х) ( ~~ — ! т (х) — Фт (х) ( + — ( у (х) — Фз (х) / ~ Ь (у), т. е. Д (е, Фз) < б (У). Но так как д(у)= (п1 д(ЕФ), ФЕЙ то А(У фз) = А(у) Таким образом, Ф, является многочленом наилучшего приближения а следовательно, уравнение (у( ) — Ъ(х)(=Аж имеет на отрезке (а, б) по крайней мере я+ 1 различных корней хо, хт,..., х„.
Но для того, чтобы имело место равенство )У(хз) — Фз(хс) (= Ь (у), необходимо наличие равенств У (хс) Фт (хс) У (хс) Рз ('тт) — ( ' ) т. е. Фт(хс) =Фз(х;) (1=0, 1,2, ..., и). Отсюда обобщенный многочлен (ао — Рс) Рс (х) о-о' должен обращаться в нуль в и+1 различных точках отрезка (п,б], что невозможно, так как функции Ро, Рп ..., Ря образуют систему Чебышева. Доказательство теоремы Хаара закончено, ~ 2! нАилУчшее РАВномеРное пРиближение непРВРыВных егнкций 313 3. Теорема Чебышева. Докажем еще одну теорему, являющуюся обобщением теоремы Чебышева.
Будем опять предполагать, что мы рассматриваем линейное нормированное пространство Й непрерывных на [а, Ь! функций Г'(х) с нормой )[.г'(х)[[ — зцр [у(х) [ а й (а,61 н его подпространство К образованное всевоаможными линейными комбинациями Ф(х)=ае~рь(х)+а1Т,(х)+ ... +а„оа(х) функций 96(х), чч(х),..., уа(х) с действительными постоянными коэффициентами. Функции оь(х) принадлежат )с и образуют систему Чебышева. Для функций у~)т и Ф6~Й обозначим (. = знр [у (х) — Фв(х) !. ай1а, 61 Тогда теорема Чебышева может быть сформулирована следующим образом: Для того чтобы функция Фа (х) являлась обобщенным многочленом наилучшего приближения для функции У(х), необходимо и достаточно, чтобы на [а,Ь! нашлись по крайней мере и+2 точки х„< х,« ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
