Том 1 (1160083), страница 55

Файл №1160083 Том 1 (И.С. Березин, Н.П. Жидков - Методы вычислений (1962)) 55 страницаТом 1 (1160083) страница 552019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 55)

Вспомним также мнозочлены Чебышева, наименее отялоняюгаиеся олг нуля, о которых говорилось во второй главе. Этн много- члены можно получить здесь, решая следующую задачу. Найти миогочлен Я„1(х)~Н„,(Р), наименее уклоняющийся от функции у=х" на отрезке [ — 1, 1[. Как мы видели ранее, — 1 ~'„(х) = соз (л агссоз х) 2" является многочленом степени л со старшим коэффициентом, равным единице.

Этот многочлен на отрезке [ — 1, 1[ имеет экстремальные 1 1 значения — и — — — и достигает этих экстремальных значений 2л-1 2л-1 поочередно в точках х„= соз (л — Е) л (я = О, 1, 2, ..., л). л Представляя Т„(х) в виде х" — 1~„1(х), мы и найдем Я„1(х). д 3) алгввгаичас«ив миогочлвиы иа«лгчщвго пгивлижаиия 349 [У(х) — Р( )[ < Начнем с доказательства следующих тождеств: ~~~~ Саха (1 — х)" а = 1.

а=о ~~~ (Уг — пх)г Сох (1 — х)~ а = пх (1 — х). а-о (2! Первое тождество следует из бииомииальиой формулы ~~~~ С„а Ь~ = (а + Ь), если в ией положить а = х, Ь = 1 — х. Для доказательства второго представим левую часть его как сумму трех членов: ~(Ф вЂ” пх) С„х (1 — х) = ~', Уг С„х (1 — х)о а— а-о а-о — 2пх ~р~ УгС„"хи(1 — х)" "+паха~Сох" (1 — х)" а. а-о Последняя сумма в правой части в силу тождества (1) равна единице.

Для второй суммы имеем, используя снова тождество (1): Са а я-а Ъ)в~ й и! а(1 — а о-! я-г ху+ (1-х) У =пх ~У!(и — У вЂ” 1)! и! ! о .! кч .' х(1 — х) У!(и — у' — 1)! г-о !-о =их~Со гху(1 — х)" ' У=их. о !. Теорема Вейерштрасса. Изучим теперь, как ведет себя Е„([) при и — а оо. Для этого предварительно докажем следующую теорему Ве йерщ трасса: Если У(х)~С, то для любого а ) 0 существует такой много- член Р(х), что при всех х~ [а. Ь[ имгет место неравенство )гл, 4 РАВНОМЕРНЫБ ПРИБЛИЖЕНИЯ Для первой суммы имеем: Х '."' — ""= п! ь-о ь-1 а-1 и! у-о а-г у-о ( а-1 а-г = пх)~~УСа гх~(! — х)а ~ + ~~~~С„' гхг(1 — х)а ' ~~= ,у-о у-о = пх !(и — 1)х+1) = и'х' — пхз+пх. Таким образом, и тождество (2) доказано.

Из тождества (2) следует, что при О ( х ( 1 имеет место неравенство О ( ~Д~~~ (А пх) Сах (1 — х) ( 4 (3) а о ибо при О (х (1 справсэаливо неравенство О (х(! — х) ( 4 . 1 Пусть теперь задано некоторое положительное число а. Рассмотрим те значения Й, для котпрых имеет место неравенство ~ — — к~» В, (4) где х — фиксированное число, О ( х ( 1. Тогда справедливо неравенство С„"х (1 — х)" " ( —,, (5) а» где Р, означает суммирование по тем значениям !о, для которых справедливо (4). В самом. деле, для этих значений (л — пх)о позе ~~Р„(й — пх)'С,",х" (1 — х)а "= в-о = пах' — пхз+ пх — 2паха+ паха = пх (1 — х), 9 3[ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 351 а следовательно, используя неравенство (3), имеем: ~'(а-пх) Саха„ „х — х чт, „х — х) поз о йово А ( г пх) С х (1 х) < о а а о — а < — ~) (й — пх) С„х (1 — х) < —,, — = —,.

а-о Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы. Без ограничения общности можно считать, что отрезок [а, Ы совпадает с отрезком [О, 1[, так как этого всегда можно достичь линейным преобразованием переменного х. Рассмотрим многочлен о В„(х) = ~~у ( — )С„х (1 — х)" а-о (б) который принято называть мпогочленолг Берншгпейна, и покажем, что при достаточно большом п он удовлетворяет требованиям теоремы.

В силу первого тождества Х (х) =,~ у (х) Саха (1 — х)" а, а-о откуда В„(х) — 7(х) = ~ ~7 ( †) — у(х)~ С„х (1 — х)" . (7) а-о Бо — — ~) [7' ( — ) — У'(х)] Саха(1 — х)" а, (9) Для оценки этой разности заметим, что в силу равномерной непрерывности функции 7'(х) на отрезке [О, 1[ найдется такое 6 >О, что для любых х', х" ~[0, 1[ имеет место неравенство [у(х') — у(х") [ < —, как только [х' — х" [< Ь. Пусть х — любая фиксированная точка отрезка [О, 1[.

Разобьем сумму, стоящую в правой части равенства (7), на две суммы: 5, = ~~ [7( — „) — 7(х)1С,",х~(1 — х)" а, (8) 'к~ 1 ) а где д, означает суммирование по тем !г, для которых ~ — „— х~, ьо и 352 [гл. 4 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ««« где д, означает суммирование по остальным значениям й. Оценим каждую сумму в отдельности.

Для Я, получим, обозначая, как обычно, М= зпр [У(х)] и применяя неравенство (5): кс!о,г! [З~] <~ !У[,~) — У(х) 1С»"х'(1 — х)" "( «-ч / (2М~ С„х (1 — х)" (2М вЂ”,= —,. (10) Для За будем иметь: [Зя[( ~~ ~У( — ) — У(х)[С,",х~(1 — х)" "( < — ~В С„х (1 — х) < 2 ~В С„х (1 — х)" = — (11) ь-о ибо ~ — — х~(з, а,~~~~~С„х (1 — х)" =1. и ! а е Выберем теперь п настолько большим, чтобы выполнялось нера- М Р венство — ( —. Тогда из неравенств (10) и (11) получится 2пт 2' ]В„(х) — Г'(х)] (]5,]+]Яа] < —,+ — < е, а это и следовало доказать.

2. Теоремы о порядке приближения с помощью многочленов Бернштейна. Из теоремы Вейерштрасса следует, что Е„(Г) стремится к нулю при и-+со. Некоторое представление о поячдке стремления к нулю Е„(у) дадут приведенные ниже теоремы для многочленов Бернштейна. Более точные оценки будут приведены позже. Говорят, что функция у'(х) удовлетворяет на отрезке [О. !] условию Липшииа с константой Е, если для любых х', х" ~[0,.1] имеет место неравенство У(х') — У(х") ] < Е[х' — х-[. Докажем теорему: Если функция Г(х) удовлетворяет на отрезке [О, 1] условию Липшица с константой Е, то ] В„(х) — ((х) ] ( Заметим, что [В„(х) — г (х)] <~ ).Г( — ) — Г(х)]Спал (1 — х)" к~[0 !] а-о Э 31 ллгввваичвснив многочлвны наилвчшвго пгивлижвния 353 и в силу условия Липшица ~В„(х) — у'(х)~ (г.

~ ~ — — х~С„х (1 — х)" в-о По неравенству Буняковского ~ — — х Свх (1 — х) в( Х .'— в-о р'х(-:-.)': —..- в-е В силу тождества (1) и неравенства (3) правая часть не превосхо! / и 1 дит — 1гг — = . Следовательно, пРи всех х~ 10, !1 имеет п4 2)п место неравенство ( В„(х) — у (х) ( ( 2Тг и а отсюда следует: Ь(У, В)( Ь 2 ггп (12) Показано, что порядок этой оценки улучшить нельзя. Естественно ожидать„что чем больше требований мы наложим на функцию у(х), тем быстрее будет стремиться к нулю отклонение Ь(у, В„).

Однако это не совсем так. Приведем без доказательства следующую теорему: Если функция у(х)~С имеет в точке х конечную производную второго порядка Уч(х), то В (х) — у(х) — — х(1 — х)+ — ", улЛх) вч (13) где р„стремится к нулю при возрастании и. Из этой теоремы следует, что во всех случаях, за исключением случая, когда У(х) — линейная функция, порядок стремления и нулю уклонения а(У, В„) не может быть больше —. 1 Интересно отметить, что при некоторых дополнительных условиях на функцию 1(х) будет иметь место не только равномерная сходимосчь многочленов Бернштейна к функции у(х), но и сходимость их производных к соответствующим производным функции.

Так имеет место следующая теорема: Теорем а. Если функция /(х) всюду на 10, 11 имеет непрерывную производную 1'(х). то В'„(х) равномерно сходится ку'(х). (гл. 4 354 Равномвзные пзивлижзння В самом деле, и В„'(х) = '~„у'( — ') С„"йх'-'(1 — х)"-"— а-1 и-1 —,)~~ г ( — „) Са (и — й) х (1 — х)" а-о и-1 = ~~ у('+')с„""(й+!) "(! — )"-"-'— а-о Р— ! — '~~ ) ( — ') Са( — цх" (! — «)"-'-'.

а-о Но (й + 1) С„+ = (и — й) С„= иСа, Отсюда В„'(х) =и ~ ~У Щ вЂ” У ( — ')~С„',х" (1 — х)"-'-'. По формуле Лагранжа о конечных приращениях И(у(а+!) у(а)~ — у~~ХСи!) (а ~ и!< а+1) поэтому В„(х) = ~~~~ У (ла"~) Си,х (1 — х)" а-о или В„(х) = ~а у' ( — 1) С„" ах (1 — х)" + а-о о-1 + Х Р'( „"~) — У' („~ Лс„",х'(1 — )" " '. В правой части последнего равенства первая сумма представляет из себя многочлен Бернштейна (и — 1)-го порядка для произволиой у'(х) и будет равномерно сходиться к у'(х) на отрезке [О, 1). Далее, так как «+1 а а а+! и и ' и и — 1 и то ~ з(и1 й 4[ тгигономвтгичвскиз многочлены нлилгчшзго пгиалижвния 355 В силу равномерной непрерывности Т'(х) для любого заданного е) 0 для всех и, начиная с некоторого п,, будет иметь место неравенство при всех й. В силу этого неравенства и тождества (1) вторая сумма при и) пе будет меньше е, а это означает, что вторая сумма равног мерно на [О, 1[ сходится к нулю, а следовательно, В„(х) равномерно сходится к Т'(х).

Справедлива и более общая теорема: Если Т(х) имеет на [О, 1[ непрерывную производную й-го порядка Т!ю(х), то В!ю(х) равномерно на [О, 1[ сходится к Тол(х). Как следует из теоремы Вейерштрасса, Е„([) -ь 0 при и -ь со, Порядок этого стремления будет зависеть от структурных свойств функции н сам в свою очередь определяет эти свойства. Мы позже посвятим этому отдельный параграф.

$ 4. Тригонометрические многочлены наилучшего приближения Из второй главы нам известно, что тригонометрические функции 1, и!их, совх, з!и 2х, соз2х...., я!ппх, совах также образуют систему Чебышева на полуотрезке [О, 2я). Поэтому и к ним применима общая теория, изложенная в й 2, И в этом случае Е„(Т', Ти) — отклонение функции г'(х) от тригонометрического многочлена наилучшего приближения — будет стремиться к нулю, что подтверждается следующей теоремой, носящей название второй теоремы Вейерштрасса: Если Т(х) непрерывная периодическая функция с периодом 2к, то для любого е) 0 существует такой тригонометрический многочлен Т(х), что при всех х~( — оо, +со) имеет место неравенство [г(х) — Т(х)[(е.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,82 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6540
Авторов
на СтудИзбе
301
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее