Том 1 (1160083), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Вспомним также мнозочлены Чебышева, наименее отялоняюгаиеся олг нуля, о которых говорилось во второй главе. Этн много- члены можно получить здесь, решая следующую задачу. Найти миогочлен Я„1(х)~Н„,(Р), наименее уклоняющийся от функции у=х" на отрезке [ — 1, 1[. Как мы видели ранее, — 1 ~'„(х) = соз (л агссоз х) 2" является многочленом степени л со старшим коэффициентом, равным единице.
Этот многочлен на отрезке [ — 1, 1[ имеет экстремальные 1 1 значения — и — — — и достигает этих экстремальных значений 2л-1 2л-1 поочередно в точках х„= соз (л — Е) л (я = О, 1, 2, ..., л). л Представляя Т„(х) в виде х" — 1~„1(х), мы и найдем Я„1(х). д 3) алгввгаичас«ив миогочлвиы иа«лгчщвго пгивлижаиия 349 [У(х) — Р( )[ < Начнем с доказательства следующих тождеств: ~~~~ Саха (1 — х)" а = 1.
а=о ~~~ (Уг — пх)г Сох (1 — х)~ а = пх (1 — х). а-о (2! Первое тождество следует из бииомииальиой формулы ~~~~ С„а Ь~ = (а + Ь), если в ией положить а = х, Ь = 1 — х. Для доказательства второго представим левую часть его как сумму трех членов: ~(Ф вЂ” пх) С„х (1 — х) = ~', Уг С„х (1 — х)о а— а-о а-о — 2пх ~р~ УгС„"хи(1 — х)" "+паха~Сох" (1 — х)" а. а-о Последняя сумма в правой части в силу тождества (1) равна единице.
Для второй суммы имеем, используя снова тождество (1): Са а я-а Ъ)в~ й и! а(1 — а о-! я-г ху+ (1-х) У =пх ~У!(и — У вЂ” 1)! и! ! о .! кч .' х(1 — х) У!(и — у' — 1)! г-о !-о =их~Со гху(1 — х)" ' У=их. о !. Теорема Вейерштрасса. Изучим теперь, как ведет себя Е„([) при и — а оо. Для этого предварительно докажем следующую теорему Ве йерщ трасса: Если У(х)~С, то для любого а ) 0 существует такой много- член Р(х), что при всех х~ [а. Ь[ имгет место неравенство )гл, 4 РАВНОМЕРНЫБ ПРИБЛИЖЕНИЯ Для первой суммы имеем: Х '."' — ""= п! ь-о ь-1 а-1 и! у-о а-г у-о ( а-1 а-г = пх)~~УСа гх~(! — х)а ~ + ~~~~С„' гхг(1 — х)а ' ~~= ,у-о у-о = пх !(и — 1)х+1) = и'х' — пхз+пх. Таким образом, и тождество (2) доказано.
Из тождества (2) следует, что при О ( х ( 1 имеет место неравенство О ( ~Д~~~ (А пх) Сах (1 — х) ( 4 (3) а о ибо при О (х (1 справсэаливо неравенство О (х(! — х) ( 4 . 1 Пусть теперь задано некоторое положительное число а. Рассмотрим те значения Й, для котпрых имеет место неравенство ~ — — к~» В, (4) где х — фиксированное число, О ( х ( 1. Тогда справедливо неравенство С„"х (1 — х)" " ( —,, (5) а» где Р, означает суммирование по тем значениям !о, для которых справедливо (4). В самом. деле, для этих значений (л — пх)о позе ~~Р„(й — пх)'С,",х" (1 — х)а "= в-о = пах' — пхз+ пх — 2паха+ паха = пх (1 — х), 9 3[ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 351 а следовательно, используя неравенство (3), имеем: ~'(а-пх) Саха„ „х — х чт, „х — х) поз о йово А ( г пх) С х (1 х) < о а а о — а < — ~) (й — пх) С„х (1 — х) < —,, — = —,.
а-о Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы. Без ограничения общности можно считать, что отрезок [а, Ы совпадает с отрезком [О, 1[, так как этого всегда можно достичь линейным преобразованием переменного х. Рассмотрим многочлен о В„(х) = ~~у ( — )С„х (1 — х)" а-о (б) который принято называть мпогочленолг Берншгпейна, и покажем, что при достаточно большом п он удовлетворяет требованиям теоремы.
В силу первого тождества Х (х) =,~ у (х) Саха (1 — х)" а, а-о откуда В„(х) — 7(х) = ~ ~7 ( †) — у(х)~ С„х (1 — х)" . (7) а-о Бо — — ~) [7' ( — ) — У'(х)] Саха(1 — х)" а, (9) Для оценки этой разности заметим, что в силу равномерной непрерывности функции 7'(х) на отрезке [О, 1[ найдется такое 6 >О, что для любых х', х" ~[0, 1[ имеет место неравенство [у(х') — у(х") [ < —, как только [х' — х" [< Ь. Пусть х — любая фиксированная точка отрезка [О, 1[.
Разобьем сумму, стоящую в правой части равенства (7), на две суммы: 5, = ~~ [7( — „) — 7(х)1С,",х~(1 — х)" а, (8) 'к~ 1 ) а где д, означает суммирование по тем !г, для которых ~ — „— х~, ьо и 352 [гл. 4 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ««« где д, означает суммирование по остальным значениям й. Оценим каждую сумму в отдельности.
Для Я, получим, обозначая, как обычно, М= зпр [У(х)] и применяя неравенство (5): кс!о,г! [З~] <~ !У[,~) — У(х) 1С»"х'(1 — х)" "( «-ч / (2М~ С„х (1 — х)" (2М вЂ”,= —,. (10) Для За будем иметь: [Зя[( ~~ ~У( — ) — У(х)[С,",х~(1 — х)" "( < — ~В С„х (1 — х) < 2 ~В С„х (1 — х)" = — (11) ь-о ибо ~ — — х~(з, а,~~~~~С„х (1 — х)" =1. и ! а е Выберем теперь п настолько большим, чтобы выполнялось нера- М Р венство — ( —. Тогда из неравенств (10) и (11) получится 2пт 2' ]В„(х) — Г'(х)] (]5,]+]Яа] < —,+ — < е, а это и следовало доказать.
2. Теоремы о порядке приближения с помощью многочленов Бернштейна. Из теоремы Вейерштрасса следует, что Е„(Г) стремится к нулю при и-+со. Некоторое представление о поячдке стремления к нулю Е„(у) дадут приведенные ниже теоремы для многочленов Бернштейна. Более точные оценки будут приведены позже. Говорят, что функция у'(х) удовлетворяет на отрезке [О. !] условию Липшииа с константой Е, если для любых х', х" ~[0,.1] имеет место неравенство У(х') — У(х") ] < Е[х' — х-[. Докажем теорему: Если функция Г(х) удовлетворяет на отрезке [О, 1] условию Липшица с константой Е, то ] В„(х) — ((х) ] ( Заметим, что [В„(х) — г (х)] <~ ).Г( — ) — Г(х)]Спал (1 — х)" к~[0 !] а-о Э 31 ллгввваичвснив многочлвны наилвчшвго пгивлижвния 353 и в силу условия Липшица ~В„(х) — у'(х)~ (г.
~ ~ — — х~С„х (1 — х)" в-о По неравенству Буняковского ~ — — х Свх (1 — х) в( Х .'— в-о р'х(-:-.)': —..- в-е В силу тождества (1) и неравенства (3) правая часть не превосхо! / и 1 дит — 1гг — = . Следовательно, пРи всех х~ 10, !1 имеет п4 2)п место неравенство ( В„(х) — у (х) ( ( 2Тг и а отсюда следует: Ь(У, В)( Ь 2 ггп (12) Показано, что порядок этой оценки улучшить нельзя. Естественно ожидать„что чем больше требований мы наложим на функцию у(х), тем быстрее будет стремиться к нулю отклонение Ь(у, В„).
Однако это не совсем так. Приведем без доказательства следующую теорему: Если функция у(х)~С имеет в точке х конечную производную второго порядка Уч(х), то В (х) — у(х) — — х(1 — х)+ — ", улЛх) вч (13) где р„стремится к нулю при возрастании и. Из этой теоремы следует, что во всех случаях, за исключением случая, когда У(х) — линейная функция, порядок стремления и нулю уклонения а(У, В„) не может быть больше —. 1 Интересно отметить, что при некоторых дополнительных условиях на функцию 1(х) будет иметь место не только равномерная сходимосчь многочленов Бернштейна к функции у(х), но и сходимость их производных к соответствующим производным функции.
Так имеет место следующая теорема: Теорем а. Если функция /(х) всюду на 10, 11 имеет непрерывную производную 1'(х). то В'„(х) равномерно сходится ку'(х). (гл. 4 354 Равномвзные пзивлижзння В самом деле, и В„'(х) = '~„у'( — ') С„"йх'-'(1 — х)"-"— а-1 и-1 —,)~~ г ( — „) Са (и — й) х (1 — х)" а-о и-1 = ~~ у('+')с„""(й+!) "(! — )"-"-'— а-о Р— ! — '~~ ) ( — ') Са( — цх" (! — «)"-'-'.
а-о Но (й + 1) С„+ = (и — й) С„= иСа, Отсюда В„'(х) =и ~ ~У Щ вЂ” У ( — ')~С„',х" (1 — х)"-'-'. По формуле Лагранжа о конечных приращениях И(у(а+!) у(а)~ — у~~ХСи!) (а ~ и!< а+1) поэтому В„(х) = ~~~~ У (ла"~) Си,х (1 — х)" а-о или В„(х) = ~а у' ( — 1) С„" ах (1 — х)" + а-о о-1 + Х Р'( „"~) — У' („~ Лс„",х'(1 — )" " '. В правой части последнего равенства первая сумма представляет из себя многочлен Бернштейна (и — 1)-го порядка для произволиой у'(х) и будет равномерно сходиться к у'(х) на отрезке [О, 1). Далее, так как «+1 а а а+! и и ' и и — 1 и то ~ з(и1 й 4[ тгигономвтгичвскиз многочлены нлилгчшзго пгиалижвния 355 В силу равномерной непрерывности Т'(х) для любого заданного е) 0 для всех и, начиная с некоторого п,, будет иметь место неравенство при всех й. В силу этого неравенства и тождества (1) вторая сумма при и) пе будет меньше е, а это означает, что вторая сумма равног мерно на [О, 1[ сходится к нулю, а следовательно, В„(х) равномерно сходится к Т'(х).
Справедлива и более общая теорема: Если Т(х) имеет на [О, 1[ непрерывную производную й-го порядка Т!ю(х), то В!ю(х) равномерно на [О, 1[ сходится к Тол(х). Как следует из теоремы Вейерштрасса, Е„([) -ь 0 при и -ь со, Порядок этого стремления будет зависеть от структурных свойств функции н сам в свою очередь определяет эти свойства. Мы позже посвятим этому отдельный параграф.
$ 4. Тригонометрические многочлены наилучшего приближения Из второй главы нам известно, что тригонометрические функции 1, и!их, совх, з!и 2х, соз2х...., я!ппх, совах также образуют систему Чебышева на полуотрезке [О, 2я). Поэтому и к ним применима общая теория, изложенная в й 2, И в этом случае Е„(Т', Ти) — отклонение функции г'(х) от тригонометрического многочлена наилучшего приближения — будет стремиться к нулю, что подтверждается следующей теоремой, носящей название второй теоремы Вейерштрасса: Если Т(х) непрерывная периодическая функция с периодом 2к, то для любого е) 0 существует такой тригонометрический многочлен Т(х), что при всех х~( — оо, +со) имеет место неравенство [г(х) — Т(х)[(е.