Том 1 (1160083), страница 57
Текст из файла (страница 57)
и р+1 — й Так как при п~р+1 справедливо неравенство и — й > л, то р+1 СР+~М(р+1)Р+~ с М Еп (у) < (р+ 1)! НР+' пя+ Из этих оценок мы видим, что если функция у(х) достаточно гладкая то Еп (У) стремится к нулю очень быстро. Ранее же мы видели, что а (У В„) 1 стремится к нулю не быстрей — при любой гладкости у(х), лишь бы у(х) и не была линейной функцией. Поэтому дая приближения функции у(х) имеет прямой смысл строить многочлены наилучшего равномерного приближения. ф 6.
Приближенное построение алгебраических многочлеиов наилучшего приближения Как уже указывалось во Введении, в вычислительной практике часто приходится приближать трудно вычислимые. функции более простыми, например алгебраическими многочленами. При этом часто требуется приблизить функцию у(х) на отрезке [а, Ь[ алгебраическим многочленом Р(х) так, чтобы его отклонение от функции )(х) по абсолютной величине не превосходило заданного числа а на всем отрезке [а, Ь[, т. е. шах [г"(х) — Р(х)[ (е.
пс(а, Ь3 Из теоремы Вейерштрасса, доказанной в этой главе, следует, что для функции г'(х), непрерывной на [а, Ь[ при любом е) О, такой. многочлен построить можно. Но для практики важно, чтобы такой многочлен имел возможно меньшую степень. Таким многочленом будет многочлен наилучшего равномерного приближения к функции ((х) ни отрезке [а, Ь[ в совокупности Н„(Р) многочленов степени не выше п при таком а, для которого имеет место неравенство Еп (У) < а < Е„т (У).
й 6] пгивлиж. постгогнив многочлгнов наилгчшвго пгивлижгния 365 В сожалению, способов построения многочленов наилучшего приближения к данной функции Е(х) нет, поэтому большое значение приобретают способы приближенного построения таких многочленов. Хотя разработанные до сих пор методы приближенного построения многочленов наилучшего равномерного приближения недостаточно эффективны, так как требуют выполнения большой вычислительной работы, мы изложим два способа. сравнительно простых по идее и нх осуществлению. 1. Предварительные замечания. Сделаем несколько общих замечаний и докажем несколько существенных для дальнейшего изло<кения утверждений. 1.
В й 2 этой главы мы отмечали, что вся теория наилучшего равномерного приближения функций Е(х). непрерывных на отрезке [а, Ь], с помощью многочленов (в том числе и алгебраических) остается в силе, если мы будем рассматривать вместо отрезка [а, Ь] любое замкнутое множество О, лишь бы оно состояло ие меньше чем из (и+ 2)-х точек.
В частности, справедлива т е о р е и а: Для того чтобы многочлен Р„(х)~Н„(Р) был многочленом наилучшего приближения к функции Е(х) на замкнутом множестве О, содержащем не менее и+2 точек, необходимо и достаточно существование таких и+.2 точек х,(х,( ... (х„чг (х<~О), 111 Е(х<) — Р„(х<) = а ( — 1)<Е (1= 1, 2, ..., и-]-2; а=+1 или — 1), (2) где Е= шах]у(х) — Р„(х)[. При этом Е=Е„([, О) — наилучшее *<о приближение функции < (х) на О а Н„1Р). Точки (1), для которых выполняется условие (2), будем называть чебышеаским альтернансом. Справедлива также и следующая теорема (Валле — Пуссен): Если Р(х)~Н„(Р) и точки х,(хг( ...
(х„+г (х<~ О) таковы. члго а<по [У (хт) — Р (х,)] = — а<ап [У (х,) — Р (хД] = = з<йп [.Е(х,) — Р(х,)] = ... =( — 1)"+ з]йп [1(х„,4 — Р(х„.,гИ, (3) то Е„(/, О) "> р = ш!и [] Е(х<) — Р(х<) [ ]. (4) <-пн ...,н+з При фиксированных Е(х) и Р(х) величина р зависит от выбора комбинации х,(хг( ... (х„г, удовлетворяющей условию 13). Верхнюю границу для р при выборе всевозможных таких комбинаций обозначим через А. Если О=[а, д], то А можно найти следующим образом.
рассматриваем равность Ь (х) = Е(х) — Р (х). 1)ус< ь [гл. 4 366 влвномввныв пвизлижения Ь= щах [1'(х) — Р(х)[. Возьмем число й(Оч й<с) и обозначим лещ, ы через Р и 5 два замкнутых множества точек отрезка [а, Ь[, на которых выполняются соответственно неравенства Ь (х) ) й и Ь(х) ( — й. Лополнением суммы этих множеств до наименьшего отрезка [с, д[, содержащего эту сумму, будет открытое множество, состоящее из конечного нли счетного множествз интервалов. Те интервалы, которые одновременно граничат с Р и 5, обозначим через 1,, 1з, ... (рис, 29). Если их число больше и, то наверняка Рнс. 29.
имеет место неравенство Е (~)) й, так как в этом случае на [а, б[ найдутся и+2 точек х, С ха с.... (х„„з, для которых будет иметь место (3) и ) Ь (х,) [= [1(хг) — Р (х ) [, й (1 = ), 2, ..., л-+ 2). Если одно значение р известно, то, полагая й=[ь, мы получим случаи, когда число интервалов 1„1,, ... не меньше и+ 1. 1(алыче увеличиваем й до тех пор, пока число ик все еще остается не меньше а+1. Это предельное значение й и будет А. Его можно определить, практически исследуя на экстремум функцию Ь (х) = 1 (х) — Р (х) . Заметим без доказательства, что если (Р(х)! (2М, где М= шах [1(х)[, хебь ь[ то для длин интервалов 1,, 1з, ...
существует положительная нижняя граница 1(й), зависящая только от й (а не от Р(х)), причем 1(й)-+О только при й-~О. 2. Найдем выражение Е„(1, О) через значения функции 1(х) в точках чебышевского альтернанса, Пусть Р„(х) = ~', аьхл — много- ь-о 6 6) пгивлиж. поствоянив многочлвнов наилячшвго пгивлижяния 367 член наилучшего приближения к 7(х) на множестве 0 в Н„(Р), а х, <ха « ...
хв„а — чебышевский альтернанс для него, т. е. 7(х;) — Р„(хг) = а( — 1)'Е„(7, О), (6) (1= 1, 2, ... а+2; а=+.! или — 1). рассмотрим определители 0„;=В„,;(х„х,, ..., х! о х;~н ..., х„~а) = 1 х, 1 ха (! = 1, 2, ..., а+ 2). (6) 1 хв х„а... х,",+ Все определители Вв, а положительны, так как х, < ха < . <хв„а, Далее, при й=О, 1, 2, ..., и а ь ь вва ь хаВв,а — хаВв,а+хаВв,з — .. ° +( — 1) хвеаВ, -а= х1х,к...х", к х 1 х х ...ха = О. (7) ь а в хв+а 1 хв+а кв+а " хв+а Умножая (5) на ( — 1)'Вв; и суммируя по 1 от 1 до и+2, будем иметь: вч-а~ Г в ! в+а Х ( — 1)'В, г ~ Х вахЦ= Х (( — 1) Х(хг)+- Е„(7,0)) В,а.
4 3 Меняя слева порядок суммирования и учитывая (7), убеждаемсв в равенстве нулю левой части, т, е. в+а аЕ„(7, О),'5~ Ввь а= ~~.'~( — 1)~ '7(х!)В„а=В„, з-а а-а где Вв=Вв(х„х„, хв+,, 7) = у(хв+а) ! к ч.а к а " в+а а,в х ...хв г ''' 1 х' ... х" а "° а 1 к!1 х;1...кГ в 1 к... к,,, ... ха+1 /(ка) 1 х! х, ... х", У(ха) 1 ха ха ха ~. (8) [гл. 4 влвномезныз пеизлижвния Таким образом, ~~'~ ( — 1)' У(х!) Ва, ! ЕУ6) — '' '~ и„, (9) %+3 ,"Е ))и, ! ! ! Е„(г, О)= ))„, Иа (б) и (9) следует, что ыдп( у (х,) — Р„(х!)) = — з)дп ()„.
(10) (11) Если в (9) числитель и знаменатель разделить на (х„— х;) в+зЯ а~! и ввести обозначение 1 (х! — х!) (х! — хз) ... (х, — х, !) (х,+, — х!)... (х„.з — х!) (12) то получим: Е„(Х, П)= ~а !гя, ! (13) В частности, если у(х!), ) (хз),..., у(х„~,) имеют чередующиеся знаки, то ~„~у(х!) ~ и'„! Е„(г", б) = ";-,.'к (14,' т ( Е„(У. 6) ( М,, ! (У(х!)Ц, М= так ((у(х!)ц. где я! = ппп г, г, и е в 3. Пусть У,, У,,У„„,— произвольные точки множества (), расположенные в порядке возрастания у! ( уз.с.
° ° ° ( уя+з. Положим ! в(У! Уъ °" У"+м |) | ()б) Р (У! Уз ° ° "Ув+з) — ез т!в, ! (уь уя ' у! ь у!+ь ' ув+!) 9 6] пгивлиж. постговния многочланов наилячшвго пгивлижания 369 Эта величина обладает тем свойством, что 1) р(уо ув "ув+)~(ЕпЧ О): (16) 2) существует система точек х,( ха(... (х„+а (ха~ О), для которой р(х,, ха, ..., х„„,) = Е„(7, О). (17) Эта система точек образует чебышевский альтернанс и, следовательно, в1яп1у(хг) — Р (х,)) = — а)яп О„(хо ха, ..., х„а, ~), (18) где Р„(х) — многочлен наилучшего приближения к 7(х) на О. Для доказательства этих утверждений обозначим через 5 множество, состоящее из (и -+ 2)-х указанных точек у,, уа,..., у„+,, через Р„(х) и О„(х) — многочлены наилучшего приближения к функции г" (х) соответственно на множествах О и 5 в Н„(Р), а через Е„(7, О) и Ев(7, 5) — соответствующие наилучшие приближения.
Пусть х, < ха (... ( х„,а — чебышевский альтернанс для 7'(х) на О. По доказанному ранее (см. (10)) р(х,, ха, ..., хв„„г) =Е„(7, О). Так как множество 5 состоит только нз (и+2)-х точек у,, у..., ..., У„ю то они образуют чебышевский альтернанс 7"(х) по отношению к 5, а следовательно, р(у,, ув, ..., Уз+а,)= Е„(7", 5). Далее, Е„(7', 5) = шах ) у(х) — Ов (х) ! ( шах (г" (х) — Р„(х) ( ~„ вяз вяз ( шах ~ 7" (х) — Р„(х) ) = Е„(7', О).
вйо Отсюда р(у1 уа у„+а) =Е„(7 5) ( Е' (7 О) и неравенство (16) доказано. Если х, < х, < ... (х„в есть чебышевский альтернанс функции /(х) на О, то р(х,, х,, ..., х„а)=Е„~Я, О), а так как в силу теоремы существования многочлена наилучшего приближения и теоремы Чебышева он всегда существует в О, то р(у„ую ... ..., У„эа) достигает своей верхней границы на любом из этих альтернансов. Пусть теперь 5 есть множество точек х, ( х, ( ... ( х„+,. для которых Р(х,, ха, ..., х„~а)= Е„(7, О), 8У0 (гл.
4 Равномегные пРЯБлижения а Р„(х) и ~„(х) — многочлены наилучшего приближения к ((х) в Н„(Р) соответственно на множествах 0 и 5. Из равенства (ж) следует, что р(х,, х,, ..., х„,е)= Е„(г", 5)= Е„(у, г)) Но 5 г= б. Следовательно, Е„ Ц, О) = шак) г(х) — Р„(х)~ ) шах( У(х) — Рв(х)! ) .реп веа в. шах )/ (х) — Я„(х) ~ = Е„(У', 5). е4з Но так как Е„(г, 5)= Е„(г, О), то шах ! У (х) — Р„(х) ! = шах ~ ((х) — (~„(х) ). вез вча Это означает, что Р„(х) есть многочлен наилучшего приближения к у(х) иа 5 и в силу единственности многочлена наилучшего приближения Р„(х) = 9„(х) (х ~ 5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
