Том 1 (1160083), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Отсюда следует, что и а(„у ограничены снизу и сверху положитель(») ными числами а(з и Ве. Учитывая способ выбора точек х(»). можно ааключить, что имеется такое фиксированное число 6 (О 6 < 1), что р» — А» (1 — 6) (Ь» — А»). ,'[45) Тем более, будет иметь место неравенство А»+, — А» > (1 — 6) [Еп(7) — А»[. ',46) Из неравенства (46) следует, что Еп(Л вЂ” А».,( < 6 [Еп(Д вЂ” А»[, '47) [гл. 4 33 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ Отсюда 1 2 2 1 — 1 — — ° 2+1 2 — — -2+ — ° 1[ 2 3 3 2 [ 1 1+ 2+ 2+ 2+ 1 24 ' Система для определения значений Рз,о(х<) имеет вид: 2 1 90( <)= 1 1 Рзо( з) 211 3 ' ' 24' 1 1 — — Рд о (х,) = — ' 2 ' 24' 1 1 — Ра, а(ха) = 2 24' 2 1 — — Рз,о(х ) = — — ' 3 ' з 24' Отсюда Ра.
а ( — 1) = Рз, о (1) = 24 1 11 Рз,о( 2 )=Рз,о( 2 ) 24 Рз,о(О)= — ' (х+ 1) х(х — — ) (х+1)(х+ — )(х —,) 24( — 1/2+1)( — ~~2)( — $/'2 р2) 24 у2 ( ~2 ) 1 ( 2 ) хз 23 з/2 ~ 24 ( у'2 )( ~/'~ )/2 ) )/'2 2 24 ' 1 хз 23 Ьо(х) =((х) — Рз,о(х) =, + —, Зта функция на [ — 1, -+1[ достигает экстремальных значений в точках: Эти значения имеют чередующиеся знаки. х<о! 1 х<о! ~/')/2 1; хзо! = О! х<зо! = ~[/ 2 — 1; ха = 1.
Значения Ьо(х) в этих точках следующие: ф 6! пгивлиж. постгоение многочленов наилтчшего пгивлижения 383 Система для определения значений многочлена Р„(х) в х~~ имеет >о> вид: 1 р, >ои 3 — 21' 2 24?'2 — 35 г <о>> 3 — 2? 2 24 4 1 Р Г >о>> 3 — 2 )> 2 24 )> 2 — 35 7 >о>! 3 — 2 р 2 — — Ро~хз )= 24 — Ро~хз )= I 1 Р ( <о>) 3 — 2)>2 24 а о Отсюда Р ( !">)= (1=1, 2, 3 4 5). 24 Следовательно, Ро(х) 24, Рз, з(х) = з,а(х)+ о(х) 2 4 12 ?>2 — 17 хз 272+1 Ь (х) = ((х) — Рк > (х) = — -+ —— 1 хз 21 2+1 1 1+хо 2 4 Точки экстремума Ь>(х) на [ — 1, +!> будут: хР = — 1; хзп>= — ~7 )/2 — 1 х>з" =0; х>з" — — ~> У2 — 1; хо =1; 2У2 — 3.
( и>! 3 — 212. бз~~хз ) = ~з>~ 3 — 2 г'2 4 0>) 2~ 2 — 3 4 ?$аходим поправку Р,(х) к Рз,(х) как многочлену наилучшего приближения к Ьо(х) на множестве точек Оо = >х,, хз . хз, хо, хо !. >о> <о> >о> !о> >о» . >о> ,>о> 1 2+ г'2 (! — М )Г2 — 1) 1 (1+ ?' Рг2 — 1) 2 4 <а> „>о> 1 3 ?г2+4 (1 — У )г2 — 1)7 )г2 — 1 2У)>2 — !(!+У 3/2 — 1) 4 о(з,'з — >7 2 -+ 1, 1.М 1>2 — 1.Ф ?г2 — ! 1 2+~2 1 235 — 24)72 3?2+4 ( 2 ) 1 2 ° 2+т2 +2 312+4+)>2 ' 1 4 4 т 4 —— 0,04289.
[гл. 4 884 Ряэномегные пгиэлижения Это означает, что Рз, г(х) = Рз(х); Ез(у) = 4 — — 0,04289, 3 — 2)~2 т, е. мы нашли точное выражение многочлена наилучшего приближения Р,(х) и наилучшее приближение Ез(У). Замечание. При построении многочлена наилучшего приближения в О„(Р) на множестве 5 иэ и+2 точек иногда бывает проще вместо того, чтобы находить Ея(У, В) по общей формуле (15), а затем по значениям Р„(хг), определяемым иэ системы (19), строить интерполяционный многочлен по любым и+1 значениям, рассматривать систему (19) как систему с п+2 неизвестными: ая, а,, ..., а„ (коэффицненты искомого миогочлена) и 1=аЕя(У, В), и решать ее непосредственно. УПРАЖНЕНИЯ 1.
Среди многочленов вида Ах+ В найти многочлен наилучшего при. ближения для функции у(х) =р'1-[-хл иа отрезке [О, 1[. Используя его, показать, что если а н Ь вЂ” катеты прямоугольного треугольника (а)~Ь), то с точностью до 4,5% величины а гипотенуза треугольника с равна 0,955а+ 0,4145. 2. Среди всеь многочленов вида я-1 Ах" + ~~~~ ~азха где А — заданное число, не равное нулю, найти многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [а, Ь), 3.
Среди всех тригонометрических миогочленов вида я-г А соз их + В зш пх + ~~~~ ~(ал соз ах + рл я1п дх), ь-о где А и  — заданные числа (Аз + Вт чя О), найти тот, которыи наименее уклоняется от нуля на отрезке [ — и, + я). 4. Показать, что Р„(х) = — Ыя (х) (а ) 1), 1 где Вя (х)— (* ~-Г*' — О" ~ — ~ -/- Гт** — Н ( — Н ~ + 2 (х — а) (ая — 1) (а+ агам — 1)" + (х — ггхя — 1)" [ах — 1 — У (хя — 1) (ая — 1) [ 2 (х — а) (аз — 1) (а+ У аз — 1)" есть многочлен степени не выше и, являющийся многочленом наилучшего приближения к функции у(х) = 1 на отрезке [ — 1, 1[. Найти величину х — а наилучшего приближения Ея (У) 385 гпглжнвиия 5.
Среди всех многочленов Р„(х) степени вь принимающих в точке 5 лежащей вне отрезка [ — 1, +Ц, значение ть найти многочлен, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [ — 1, +Ц. Т„(х) Ощв Р„(х) = ч Тя(Е) ' 6. Найти многочлены Бернштейна Вя(х) для функции Т(х) =вя на от резке [ — О, Ц. 7. В Нв(Р) найти многочлен наилУчшего пРиближениЯ к фУнкции у(х) = [х [ на множестве точек: х = — 0,5; — 0,25; 0; 0,25; 0,5; 0,7о. 8.
В Нт(Р) найти приближенно многочлен наилучшего приближения к функции 7 (х) = [х [ на отрезке [ — 1; 0,5] так, чтобы 5 (,~ Рт) ~ Ел(У)+0,0001. 9. В Нз(Р) найти приближенно многочлен наилучшего приближения к функции у(х) = 1 1+ [х[ на отрезке [ — 1, +Ц так. чтобы Ь (Т, Рз) м, < Рз (Х) + 0.0001. 1О. Показать, что среди многочленов степени не выше л многочлен 2 +' — — 1 ~ "+'(М) " "(М)+' " т(М))+ 1 дает наилучшее приближение к функции Т(х) = — на отрезке [ — м, +м[, 1 — х Г1 где М(1, а а= — — [7 — — 1. =м У м Указание Воспользоваться упражнением 4 и соотношением Т„(х) = — [(х -[- У хт — 1)" -[- (х — угу — 1)"[.
2 ЛИТЕРАТУРА 1. И. П, Натансон, Конструктивная теория функций, Гостехиздат, 1949. 2, Н. И. А х и е з е р, Лекции по теории аппроксимаций, Гостетиздат, 1947. 3. В. Л. Гончаров, Теория интерполирования и приближения функций, Гостехиздат, 1954. 4. Е. Гь Р е м е з, Общие вычислительные методы чебышевского приближения, Изд.
АН УССР, 1957. 5. С. Н. Бернштейн, Экстремальные свойства полиномов, ОНТИ, 1937. !'ЛАВА 5 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В данной главе, так, же как и в гл. 2 и 4, будут рассмотрены вопросы приближения функций у (х), принадлежащих к некоторому классу )с, функциями 1!1(х) из более узкого класса гс', но за меру близости будет приниматься величина ь Ь = ~ р(х) щх) — р(х))»с(х а или Ь = ~к~ р (х,) щх,) — 9 (х,)!' 1 где р (х) — заданная неотрицательная функция, называемая весом. Такое понятие близости имеет смысл по следующим причинам: 1. Во многих случаях нет никакой необходимости требовать близости г" (х) и 1!1(х) в каждой точке х~ !а, б), т, е, требовать равномерного приближения, а достаточно лишь «интегральной» близости функций.
2. Очень часто приближаемая функция у(х) задана лишь таблицей ее значений, причем последние получены из эксперимента, т. л. имеют случайные погрешности. Если в процессе решения задачи требуется находить значения у'(х) для промежуточных значений или иметь аналитическсе представление функции у(х), то нецелесообразно прибегать к интерполированию, так как совсем не естественно требовать точного совпадения приближающей и приближаемой функций в некоторых точках, так как значения самой приближаемой функции неточны. Практика показывает, что приближающие функции, построенные по методу среднеквадратичного приближения, значительно лучше представляют реальную функцию г (х), чем интерполяционные много- члены 3.
Так определенная мера близости позволяет расширить класс )11 приближаемых функций. При рассмотрении равномерного приближения мы ограничивались классом С непрерывных функций, и это было существенное требование, если ставить задачу равномерного 387 ГИЛЬББРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА приближения функции ~(х) многочленами с любой заданной точностью. Здесь же требование непрерывности излишне. Нужно лишь требовать з существования / р(х))э(х)дх, г.
е. можно рассматривать приблив жение функций из класса Ц(р) функций, интегрируемых с квадратом с весом р(х). Для упрощения изложения начнем его с обшей задачи приближения в гильбертовом пространстве, а затем уже рассмотрим и конкретные вопросы среднеквадратичного приближения и их приложения. 9 1. Гильбертовы пространства Введем еще одно очень важное понятие функционального анализа Пусть Й вЂ” некоторое линейное множество. Будем говорить, чт о в нем определено скалярное Произведение, если каждой паре его элементов у, и у,, взятых в определенном порядке, поставлено в соответствие комплексное число (~,, Я, называемое скалярным произведением этих элементов, удовлетворяющее следующим условиям: 1) скалярные произведения (~,, уз) и(гз, у,) являются комплексно- сопряженными числами (Л Л)=(Уь Уз)' 2) для любых элементов (о уз, уз~ге и любых комплексных чисел а, и а имеет место равенство (азЛ+аа(з Я=аз(Л Я+аз(Л, Я; (2) 3) скалярное произведение элемента г' на самого себя есть неотрицательное число, равное нулю тогда и только тогда, когда )=0, т.
е. (У', ()) 0 и ((, 0=0 только при (=О. (3) Из этих свойств скалярного произведения следует, что (4) (~,, аз )з + азЯ = а, (1Н (з) + аз (1м )з). В самом деле. ((н агЛ+азУз)=(ПА+в~Уз И=аз(Л Я+аз(Уз, Л)= =аЯ~, )з)+аз(1~, Я =аз((о Я+а ((о Я. Далее, для любых элементов /, у~ гс имеет место неравенство 1(У. 8) ~' <(У ЛМ б) (5) называемое неривенслзвом Буняковского. Действительно, если (1. П) = О, то доказываемое неравенство очевидно. Пусть теперь (1, и) = а чь О. Скалярный квадрат 388 !гл. 5 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ элемента р г + Лл, где Л вЂ” произвольное действительное число, а р = /и! /(у, ф)! — по свойству 3 скалярного произведения есть не- а (у,д) отрицательное число, т.
е. О «8У+Ай. Р~+ Л~) = 6(~. Л+8Л(~, Л+ 8Л(У, й>+Л (8, ) = =(у; ()-!-2Л!у, л)!+Л (а; д). Так как это неравенство справедливо для любого действительного числа Л, то дискриминант квадратного трехчлена относительно Л, стоящего в правой части неравенства, отрицателен, т. е, !(У. а)!Я вЂ” (У ЛМ, а) <О. Заметим, что знак равенства достигается здесь тогда и только тогда, если при некотором Л ф+Лу= О. Если в линейном множестве )с определено скалярное произведение, то его можно нормировать, определив норму элемента у~ )с следующим образом: !!Л ='Р'(У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
