Том 1 (1160083), страница 61
Текст из файла (страница 61)
У). (б) При этом все свойства нормы будут выполнены. В самом деле, !! Г!! =~/(у', Д> О и !!Д = О только при (=О: !!сг!! = зг' Ю сг) = Ъ~сс (г, О = ! с !!!д; (у+к!!'=У+а. у+8) =(у л+м .у)-+(х а)+м. а) = =!!У!!а+2)се(~, Аг)+ Щ!а, но по неравенству Буняковского А и И<ПА Р~<~ГЛЕ.Н= — ПНЭЬ Отсюда !!У+К!!е <!И!Я+2!!Л Ы+!!й!!Я=(!!Л+ Ы!!)'. т. е.
!!У+а!! <!Ф!+Ы. Знак равенства будет иметь место тогда и только тогда, когда геев, д)= !(~, л)!= и'(~, у)(л, л)= !!Д ° !!л!!. Следовательно, в этом случае, (У. а) =УТК л У(а, Ф. Как мы заметили при доказательстве неравенства Буняковского, тогда найдутся фчь О и действительное Л такие, что 389 гнльзвгтозы пгостглнстза Отсюда (=ад, а= — = Ф Подставляя это выражение для У в предыдтщее равенство, получим аМ б)=УК.г) ММ Ь) или а = ) 0 'г' (~ б) если только ) ~ О, е Ф О, Таким образом, наше множество строго нормировано (см. ф 1 гл.
4). Итак, линейное множество, в котором определено скалярное произведение, становится линейным нормированным пространством. а следовательно и метрическим пространством, Поэтому в нем можно ввееги все те понятия, о которых говорилось во Введении и в четвертой главе. Линейное пространство Я, в котором введено понятие скалярного произведения, называется зильбвртовым пространством, если оно сепарабельно, т. е.
в нем существует счетное всюду плотное множество элементов. В линейном множестве с апреле ченным в нем скалярным произведением ле~ко установить линейную зависимость или независимость системы элементов Г'„ ую ..., гп. Для этого введем понятие определителя Грамма системы. Определителем Грамма системы элементов г'„уа, ..., гп~ )с! назовем определитель (ув Л) (уьу.)." (уьу.) (Хз у!) (!ь .!ь) (уь у ) О(У!. Л " .Уч) = (ун, Г!) (ун, я " ()пуп) Имеет место те о р е и а: Для тово чтобы система элементов )г, Га, ..., у„множества )ь! была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы определитель Грамма эпьай сиспгвмы обращался в нуль. Докажем сначала необходимость, т.
е. покажем, что если система )г, )з, ..., Гн линейно зависима, то О(уг, )з,..., г„)=О. Если гг, !а, ..., Г"„— линейно зависимая система элементов )с, то существует такая система чисел а,, аа„..., а„, среди которых имеются отличные от нуля, что )!+ах(а+ ... +а„(н=О.
290 (тлг 5 сгеднвкзадгатичныв пгивлижвния Умножая скалярио это равенство слева последовательно иа ~,, уг, ..., ~„, получим: а,У,, Я+,У,, У,)+ ... + „((,. У„)=О, аг(Уг Я+аз(Уг, Я+ ° ° ° .+аз(Уг (з)= 0 а,(~„,Я+аз(У„, Уг)-+ ... +а„(У„, Я=О Рассматривая полученные равенства как систему уравнений с иеизвестиыми а,, аг, ..., а„, мы видим, что оиа имеет нетривиальное решение. Следовательно, ее определитель, являюшийся определителем Грамма системы элементов (о у,, ..., Г'„, равен пулю.
Докажем тепеРь достаточность, т. е. пРедположим, что 0(Го Уг,... ..., г„)=0, и покажем, что система ~,, гг, ..., („линейно зависима. Рассмотрим систему линейных уравиений относительно рг, (гг,... ° ° ге ~,О,. Л)+~ <~о Я+ ... +~.(Уь,(.)=О, агг(гг Л)+ага(Уг Я+ ° - +1я(Уг Я=О. р (у .Л)+р (у .Л)-+" +рн(.(е,.у,)=ОТак как определитель этой системы 0(уо уг, ..., у„)=0, то онв имеет нетривиальное решение. Пусть это решение будет аь аг,..., а„ Обозначим через Г' элемент множества Й, равный аь(,+аеу + ...
... +-аз(„. Тогда из системы уравнений имеем; д,, у)=о, ((,. ))=о, ..., (,у„. ()=о. Отсюда (аЛ-+аеУг+- ... +а„У„, ~) =К Я=О, а это означает, что у=О, т. е. агУ,+-аа(г+ ... +а„(„=0, а так как среди чисел а„а,, ..., а„имеется хотя бы одно, отличиое от нуля, то это означает, что система ~,, ~„.... Г'„лииейио зависима. ф 2. Ортоиормировапиые системы в гильбертовом простраистве Ряды Фурье Два элемента г' и и гильбертова пространства называются орлгогонольнмми, если их скалярное произведение равно нулю, т.
е. (у, и)=0. Элемент г называется нормированным, если его норма равна единице. 9 21 ОРтОИОРмиРОЕАнные системы В гильвеРтовом ИРостРАнстве 391 Конечную или бесконечную систему элементов мы назовем ортогональной системой, если любые два ее элемента ортогональны. Система называется ортонормированной, если она ортогональна и элементы ее нормированы. Ортонормированная система всегда линейно независима, так как определитель Грамма ее равен единице. Докажем следующую теорему: Если р1, рг, ..., р„— система линейно независимых элементов гильбертова пространства, то молсно построить такую ортонормированную систему й1, иг, ..., и„, что элементы ее будут линейными номбиниииями элементов системы 1р1, 1ра, ..., о„, и наоборот.
Так как 1р1, рг, ..., е„— система линейно независимых элементов, то среди них нет нулевого элемента. Поэтому ()1рь(! = =~/(ры р,) ) 0 (1=1, 2, ..., и). Будем строить ортонормированную систему последовательно. Положим и1 = Т1 . Очевидно !)й1()= 1. 1Т11 Рассмотрим далее элемент фь=ра+ай1 и подберем а так, чтобы (фг, и1)=0.
Получим: 0=(фг, и1)=(р,, «1).+а(и1, й1). а= — (1рг, и1). Очевидно, йфа()Ф О, так как в противном случае было бы ~р +ай1= а =рь+ — р1=0, что невозможно в силу линейной независимости 1Т1»' 1Р1 и ~Р». Положим тепеРь иг= — '. Тогда !)йг(! =1 и (иг, иа)=0. !1 т !! ' Пусть уже построены элементы йн и„..., и» такие, что ))у,)( = = ))йг!) = ... = ))ДЦ =1, (дн ир)=0 пРи 1+ / и элемент иь является линейной комбинацией элементов р„ р,, ..., рн Построим элемент Ф»-11= т»+1+ "1Б1+ ° ° ° +а»Б» и подберем числа а„, а„..., а» так, чтобы (у»+1,иь) =0 (1=1, 2, ..., й). Получим: 0=(ф»ь йь)=(р»ь ° Ю)+аг(йь йь)=(т»+1 й)+аь. т, е.
иг= — бр»+1, ис) (1=1, 2, ..., й). Элемент ф»+1 есть линейная комбинация оь ог, ..., о», р»но Он не может быть нулевым элементом, так как р»ь1 входит в ф»ь1с коэффициентом 1 (в ео йг...., и» элемент р»„1 не входит) и 1р„р,,... ..., 1р», р»+, по условию линейно независимы. Поэтому Н»,ь,~~ О. Положим теперь «» 1 — — . Очевидно, что ))й» „1)! = 1 и Ф»+1 ! ! Ф» + 1 ! ! (и»+1, иь)=0 (1=1, 2, ..., й). Кроме того, и»,1 есть линейная комбинация элементов ро рг, ..., р»+1.
Таким образом, по индук- ЦИИ МОЖНО ЗаКЛЮЧИтЬ, Чта СУЩЕСтВУЕт СнетЕМа ЭЛЕМЕНТОВ и'1, йг,..., Ам. 392 (гл. 5 сгвднвквадгатичныв пгивлижвния являющаяся ортонормированной системой, каждый элемент которой есть линейная комбинация элементов исходной системы. Так как тачч = (! Фа+ ~ (! Кь+1 — а1а1 — ° — иейь. то и обратно, элементы оь вг, ..., ~у„являются линейными комби- нациями элементов системы иь йг, ..., и„.
Назовем ортонормированную систему полной, если не существует никакого другого элемента, отличного от нулевого, который орто- гонален ко всем элементам системы. Другими словами, полнота системы означает, что ее нельзя расширить присоединением новых элементов до более широкой ортонормированной системы. Докажем теорему: В гильбертовом пространстве любая ортонормированная система не более чем счетно. Так как гильбертово пространство сепарабельно. то существует счетное всюду плотное в нем множество элементов (уь!. Пусть (к!— некоторая ортонормированная система элементов пространства Й. Пусть р — некоторый элемент этой системы.
Для него можно найти такой элемент оа, что ((оь — о(! . —. Покажем, что не может 'г' 2 2 существовать другого элемента из системы (а(, для которого имело бы место такое же неравенство. Пусть такой элемент и' существует, т. е, ((~уа — й'((( —. Тогда, с одной стороны, Тс2 2 !(й — П = (! (й — Ь)+(~ — а')(! ~!(й — М1+ И вЂ” К'!!(М2 а с другой стороны, !(й — а'!! =у(а — й' а — й') =ус(й К)+(а'. й') =М2 что невозможно, а это уже означает, что множество (и! не более чем счетно. Докажем следующую теорему: Во всяком гильбертовом пространстве сушествует не более чем .счетная полная ортонормированная система элементов. Рассмотрим в гильбертовом пространстве счетное всюду плотное множество элементов (~~а!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
