Том 1 (1160083), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Опустим в нем нулевой элемент, если он имеется, а также все элементы, линейно зависящие от предыдущих. Оставшуюся систему элементов ортогонализируем и нормируем так. как это было показано ранее. Получим не более чем счетную ортонормированную систему элементов (иь!. Докажем, что эта система полна. В самом деле, пусть г является элементом гильбертова пространства, ортогональным ко всем элементам системы (д,(, т. е. (У, иь)=О при всех и. Так как каждый элемент чч системы ~р~! есть линейная комбинация элементов до иг, ..., ио то (7, 'уь) =О при всех я. При любом а) О, в силу плотности множества (оа! в Й. а 2) оетоноемиговьнныв систвмы в гильвветовом пеостгьнствв 393 можно найти такой элемент !ур что !!У вЂ” чу!!(е.
Тогда, используя неравенство Буняковского и равенство (р, у)=О, получим; !!У!!г=И.И=У й — Оу И=(У вЂ” Э 0<У вЂ” у !! !!Л< !Л. Следовательно, !! г !! ( е, а так как е — произвольное число, то !! г !! = О. Это означает, что г = О, т. е. система (дй! есть полная ортонормированная система элементов. Пусть теперь л'!, яг, ..., э„, ... — какая-то ортонормированная система элементов гильбертова пространства Я. Скалярные произведения а!=(г, эь) назовем коэффициентами Фурье элемента г по ортонормированной системе (у,!.
Элементу э можно поставить в соответствие ряд (или конечную сумму, если ортонормированная система конечна) У и!й"1+ ай|а+ ° + веке+ называемый рядом Фурье элемента г" по ортонормированной системе э!, эг, ..., д„.... Для коэффициентов Фурье имеет место важное неравенство, называемое неравенством Бесселя.
Рассмотрим квадрат нормы разности Г' и эь, где вм — п-я частичная сумма ряда Фурье. Получим: !!/†!!г = (у в э у — э ) = (у Л вЂ” (эь у) †(г э ) +-(э(, в,)— = !!у!!г — ~~' ий(уй, у) — ~! аг,(г,йй)+-~~р~,)~ ийаВ(эй, о~) = й ! й ! э=13 1 и ч и и = !! Г!!г — ~~~ айай —,)~~ алий+„~ айай — — !!у!!г — лчч ! а !г ь О.
й-! й ! й й ! Отсюда Х ! "й ! < !!г' !! . (2) Так как это неравенство справедливо при всех п, то ряд ~~' /ай/г й ! сходится и Х !"й! < !!у!! ° (3) Это и есть неравенство Бесселя. Докажем теорему: Если гильбертово пространство )с полно, то ряд Фурье элемента Г ао ортонормированноб системе (Ей! сходится. Пусть И!+ И.+ " +- .Е.+- " [гл. 5 394 сРеднеквАПРАтичные пеиБлижения является рядом Фурье элемента ь. т. е.
и!=(ь, йь). Оценим величину Так как система [у„! ортонормирована, то [[э — э [! = льи ! А! ° и-и+! В силу сходимости ряда ~~', !и„!з сумма ~ [ив [а стремится к нулю А=! а-и+! при неограниченно возрастаюших и и т, т. е. Последовательность частных сумм э„есть последовательность фундаментальная, а в силу полноты пространства гс должен сушествовать элемент э, являю- щийся пределом этой последовательности, т. е. 1[ш в„= э. Докажем. что разность у — э ортогональна ко всем элементам ортонормированной системы [йь!.
Действительно, (У вЂ” ю ад=(У Ь) — ( ° ад=О, М вЂ” (в — э ° аЭ вЂ” (е ° ад. Пусть П,Р й, тогда (г — в, йь)=аз — (з — э„, Рь) — и = — (ив откуда по неравенству Буняковского О ( ! ( !Р в, кь) ! ( [! э — в [! [! ь"и [! = [! э — э [!, П р ав ая часть стремится к нулю при неограниченном возр астании и, а левая часть от и не зависит. Следов ател ь но, (У в, кь) = О п ри всех й. Если ортон о р м и ро ванная система ! уи ! полная, то из этих равенств следует, что à — в = О, т . е.
) = э, и мы до кзза ли теорему: В полном гильбертовом пространстве гс ряд Фурье любого элельента по полной ортонормированной системе элементов сходится н этому элементу. В этом случае, так как [!У вЂ” [!'= !!.г!! — Х ! ь! ° ь=! то, переходя к пределу, получим! (4) [[т !!а=2' ! Е[з и ! т. е.
вместо неравенства Бесселя имеем равенство, называемое равенством Ларсеволя. 33! пгивлижения В гильвеРтОВОм пРОстРАнстВВ 393 ф 3. Приближения в гнльбертовом пространстве Пусть Н есть линейное подпространство гильбертова пространства )с, а г' — некоторый элемент из гс. Можно поставить такую задачу: в подпространстве Н найти элемент Ьо, дающий наилучшее приближение элемента г", т.
е. элемент. для которого !!У вЂ” До!!= )п1 !!У вЂ” Д!!. Ачя Докажем теорему: Если в Н существует элемент гго, дающий наилучшее при- ближение и элементу у', то разность г — Ьо ортогональна но всем элементам надпространства Н, Допустим противное, т. е. предположим, что существует эле- мент из~ Н, для которого (г — ио, из)= а+ О. Можно считать, что норма а, равна 1. так как в противном случае вместо )г, можно было бы взять — „, Рассмотрим элемент )22=Во+-игз, и оценим В, 1!В,11' норму у — ггг: !!у ьг!! =(У "г у ьг)=(!зе "о! и"з !ге "о! иьз) = =Ч вЂ” йо. У вЂ” до) — и(йз У вЂ” до) — и(У вЂ” до.
дд+ии(дз ад= =!!у — д !!' — — + =!!у — д !!' — ! Р. Отсюда !!У 'гг!! (!!У 'го!! что невозможно, так как а — по условию элемент наилучшего при- ближения. Из доказанной теоремы следует, что в Н не может существо- вать двух элементов наилучшего приближения. В самом деле, допустим, что для элемента ~~)т существуют два элемента наилуч- 1 щего приближения: )го и гго~ Н.
Тогда (У' — Ьо, гз)=0 для всех а~Н, (У Ьо Ь)=0 для всех Ь~Н. В частности, (У вЂ” Ьо "о — Йо)=О и (У вЂ” йо До — )го)=0. Но !! "о — Гго!! =(Ло — Ьо ° "о — "о) =((до — Л+-(у — Йо), Ьо — йо) = =1!г — г. Ь вЂ” 1го)+ з) — Ь . й — Ло)=0, / а это означает, что )го = Ьо. Если Н= Н„ образовано всевозможными линейными комбинациями некоторых а линейно независимых элементов гс: Лз. Лг, ..., Ь„, то на основании результатов предыдущей главы элемент наилучшего 396 !гл. 5 сгеднвквадгатичныв пгивлижвния приближения всегда существует. Этот элемент будет единственным на основании только что проведенных рассуждений.
Для конечно- мерного случая единственность будет также следовать из строгой нормированности гильбертова пространства. 1. Построение элемента наилучшего приближения. Рассмотрим теперь вопрос о построении элемента наилучшего приближения. Пусть подпространство Н„порождено элементами Ь,, Ьа, ..., Ь, а Ь,— элемент наилучшего приближения к У~)с в Н„.Ь, как элемент Н„может быть представлен в виде Ьа= Ь+ Ь+. + чЬч.
(2) Следовательно, задача построения элемента наилучшего приближения сводится к отысканию коэффициентов яо аа ..., а„. Мы видели, что (У вЂ” Ьа Ь) = 0 для всех Ь~ Н„ (3) н только для этого элемента имеет место это свойство. Но это требование равносильно и условиям: (У вЂ” Ьа, Ьс)=0 (1= 1, 2...., и). (4) Из этих условий для отыскания ап аа, ..., и„получим систему линейных алгебраических уравнений: и (Ь! Ь1) + аа (Ь Ь!) ! + (Ь Ь!) (у Ь!) "' (Ьо Ьа) '+ ~' (Ь' "') + ' ' + "~ (Ь"' "а) (У ' "')' , (5) ! ,(Ь,, Ь„)-!-;(Ь,, Ь„)+ ...
+.„(Ь„, Ь„)=(У, Ь„). ) Определитель этой системы есть 0(Ьн Ь„..., Ь„), а так как Ь,, Ь,, .... Ь„линейно независимы, то он не равен нулю и система имеет единственное решение. Решая ее, мы найдем ао аа, .... а„, а следовательно и Ьз — — ~~'., агЬн Найдем теперь наилучшее приблиз 1 жение элемента 1 в Н„, т. е. величину а= !!У вЂ” Ь !!.
Имеем: 31=!!У вЂ” Ьо!!'=(У вЂ” Ьм У вЂ” Ьо) =(У вЂ” Ьо Л вЂ” У вЂ” Ьо Ьо)= =(У вЂ” Ью Л=(У Л вЂ” (Ьо Л (б) Отсюда йа=(Г,Д вЂ” а,(Ь,, Д вЂ” аа(Ьа, Д вЂ” ... — а„(Ь„,Г). Исключая отсюда и из системы для определения а; все ан получим: (Льай (Ь,,ЬП ... (Ь„,ЬП У,ЬЬ (Ьь Ь,) (Ь,,Ь,) ... (Ь„,Ь,) (У,Ь,) = О. (Ьь Ь ) (Ьь Ьа) .. (Ь„ач) (Х Ь ) (ЬьУ) (Ь.У) ... (Ь„,У) За — (У,У) наив!!ижвния в гильввгтовом пгостванствь 897 й з) Итак По индукции легко показать, что вообще определитель Грамма системы линейно незаеисиловгх элементов положителен. Построение элемента наилучшего приближения особенно просто. если Ь,, Ь,, ..., Ь„ — ортонормированная система элементов, так как в этом случае система уравнений (б) примет вид а! =(Х. Ь).
,=(У. Ь,). (8) т. е. и„иа...., а„являются коэффициентами Фурье элемента 7 по системе Ь,, Ьо, ..., Ь„, и элементом наилучшего приближения будет Ьо="А+. Ьа-+ "° .+аоЬ ° Величина отклонения о может быть также легко вычислена! йа=(7, Д вЂ” а,(Ь,, У) — аа(Ьа, 7) — ...
— и„(Ь„, Л= =!!7!! — а « —,,— ... — а„.о, т. е. о 8=1/ !Ла — Х ~и !а в-! (9) Наконец, рассмотрим в гс полную ортонормированную систему элементов Ь,, Ь,, ..., Ь„.... и предположим, что го в полное гильбертово пространство. Рассмотрим последовательность подпространств Н,, Н,, ...,Н„. .., где Н„ порождено элементами Ьо Ьа, ..., Ь„. Лля У~ г! булем последовательно находить элементы наилучшего приближения в Н„ На, ..., Н„, ... При этом элементом наилучшего приближения Ьо для 7 в Но будет являться Ь-я ' (а! частичная сумма ряда Фурье для 7 по 'ортонормированной системе функций (Ьо).
Величина наилучшего приближения !! е!!а ~~ ~а,~г е-! стремится к нулю при Ь -+ со. а последовательность (Ь~ ( сходится (а)! к элементу 7. 32 6(дь Ьо ' ' Ь У) (7) 6 (Ьь Ь,,..., Ь„) ' Заметим, что при и= 1 6(Ь!)=(Ь!, Ь) О. При и=2 и Ьа= 7 тогда будем иметь: о =йа)0, т. е. 6(Ь!,Ьа)>0. 6 (Ь!) 398 [гл. 5 сРеднекВАЯРАтичнне пРиБлижения й 4. Среднеквадратичные приближения Функций алгебраическими многочленами Возьмем в качестве )т множество функций, интегрируемых с квадратом на [а, Ь[, Можно показать, что это множество линейно. Ограничимся случаем действительных функций и будем рассматривать линейные комбинации с действительными коэффициентами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
