Том 1 (1160083), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Воспользуемся неравенством Маркова. утверждающим, что если Р(х) — многочлен степени а. а М= шах [Р(х)[, то при х~ [а,Ь[ ай(а, Ы Ь— 2лЯМ (27) а 6] пяивлиж. постяовнив многочлвнов наилучшего пгизлижвния 375 Пусть теперь х — произвольная фиксированная точка отрезка [а, Ь[, а ху — ближайшая к ней точка из рассматриваемой системы хе. х,, х... ° . Снова, применяя неравенство Маркова (27) и оценку (30) для Ь(т+н имеем: лРт тч-1 (6) [Р„те~ (х) — Р„т.„, (х) [= [х — ху[! ' ~ ( 1 —— т Далее, на [а, Ь[ найдется точка х, в которой имеет место равен- ство б(у, Р„т„.т) = шах [у (х) — Р„ть,(х) [= [/(х) — Р„т+~ (х)[. н и (а, М Пусть ху — ближайшая к ней из рассматриваемых точек (24).
Тогда б(У, Р„,т+г)=[~(х) — Р, т+,(х)[([Х(ху) — Р, чл(х)[+ + [ ~ (х) — У (ху) [+ [ Р„,, (х ) — Р„, т+, (х) [ ( (Еиа+-('="'~+[Е+Е.(У)[ — "'„,—, (32) еж= ю~, )+(Х+Е„(у)[ —" —, будем иметь: б (У, Ри, т.~.г) <'. Еч (У) + ещ.
(33) (34) Очевидно, что е„,-+0 при т — ьсо, следовательно, применима теорема п. 5, из которой следует, что [Р„,тч.г(х)[т „~1 равномерно сходится к Р„(х). Зтнм доказана сдодимость нашего процесса приближенного построения многочленов наилучшего приближения. Для оценки близости Р~,т+1(х) к многочлену наилучшего приближения, т. е.
величины ц(У. Р „) — Е„В. г) Модулем непрерывности функции у(х), непрерывной на отрезке [а, Ь[, НаЗЫВаЮт ВЕЛИЧИНУ н(З) = Зир [у(Х") — У(Х )1 (Х', а~4[а, Ь[). При ! ~~-е» ~К а З-~О, очевидно, н(з)- О. где через ю(о) обозначен модуль непрерывности функции /(х) на отрезке [а, Ь['). Обозначая сумму последних двух членов в правой части неравенства (32) через ет: [гл. 4 376 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ и найдем многочлен Р, в (х) наилучшего приближения к 7'(х) на множестве О: 7 (х ) = 1; 3' 1 Отсюда 1 7(хв) = —; 7( 1 1 — 1 1 1 9 1 9 1 1 3 1 1 3 в)2(хв, х,, х,, х,) = 1 1 3 1 3 1 1 1 Следовательно, Е, (7, О) = О. Далее.
составляем систему уравнений для определения значений многочлена Рьв(х): 7(х) Р,,(„,) о; [(,) — Р„в(хв)=9' г( 1 Рз (х,) = (); )"(хз) — Рз,в(хз) = 9. Отсюда 1, Р,,(х,)=1; Р,, (х)=Р, (хз) = З' Следовательно, Рз (х) = Р (х ) ( ')( з) + Р, (х,) ( в)( з) + в (хв — хв) (хв — хз) з' в 2 (хв — хв) (хв — хз) (х — хз) (х — хв) ( 3 /1 3 ) (хз — хо) (хз — хй ' ( 2 ) ( 4) !(+ )(' з) !(+ )( + ) шах [У(х) — Рз,в(х)[= 41 .Е,(7, О)=(). хс(-2,+2! можно пользоваться таким приемом. Находим М„,+,— — шах [,7(х) — Р„,„,ьв(х)[ хе!а,ы и Е„([, О), где 0 — множество точек хв, х,, ..., х .
Тогда Ь(7, Р +2) — Е„(У) < М +2 — Е„(7, 0)- (35) Пример. Для функции 7(х)=[х[ в 02(Р) найти многочлен наилучшего приближении на отрезке [ — 1, +1[. Рассмотрим сначала множество О из четырех точек: ! 1 3' 0 ' ! 3 2 3 3 5 6! пгивлиж. постговнив многочлвнов ньилячшего пгивлижиния 377 Таким образом, 5 Ч. Ра,.) — Ва(Л ~( —. ! 4' хо= — 1; Всего возможных комбинаций из четырех точек.
расположенных в порядке возрастания, будет 5. Лля каждой из них нужно вычислить величину р. Вычисления сведем в таблицу: Возможные комбинации х, Ра «1 — 1,0 — 0.5 1,0 0,5 О, 25 0,75 0,5 0,5 0,25 1,0 1,0 0 0 0,75 ха У (ха) !!а а — 0,25 — 0,5 0,75 2 0,75 1,5 0,25 1,5 1,5 0,75 0,75 — 0,5 0,25 0,25 О, 25 0,75 0,75 0,25 шахр=0,125=ЕаЦ, ба) достигается для первой и последней комбинаций. Возьмем первую комбинацию. Система для отыскания значений Риа(х) в точках этой комбинации имеет вид: Отсюда и (х+ 0,5) х х (х+ 1) а,а(х)=1,125 ( ' ) +0,375 ( 5)((,5)+ +О „, (х+ )(х+0,5),+О „5 1.0,5 Приближение недостаточно хорошее.
Рассматриваем теперь множество 6, из пяти точек: х,= — О 5; ха=О; ха=О 5; х,=!. «о, хь хь ха хо, хь хь х, хо, хь х,. х, хо, х, ха, ха хы ха, ха, ха 1 — Ра,а(хо) = — 0 125 0,5 — Ра, а(ха) = 0,125, 0 — Ра,а(х,) = — 0,125, 0,5 — Ра, а (х,) = 0,125. Рм, ( — 1) = 1,125; Ра, ( — 0,5) = 0,375! Ра, а (0) = 0.125; Рм а (0,5) = 0,375 О,!25 1 9 0 1 9 0,125 378 [гл. 4 гввномвгныв пгивлижвния Для контроля вычислим Ро,о(хз): Рг, о (0.5) = О,бв -]- О, 125 = 0,375; М = шах [У'(х) — Ра,о(х)[=0,125„ ай1-г +г] б(У' Рмо) — Ея(~) (0.125 — 0 125=0 Таким образом, а(7.
Ра,о) = Ег(У). Следовательно, многочлен Ро,о(х) совпадает с многочленом наилучшего приближения Р,(х) функции г(х) = [х[ для отрезка [ — 1, [-1], т. е. Р, (х) = х' + О, 125. 3. Второй способ приближенного построения многочлена наилучшего приближения. Этот способ состоит в следующем. За начальное приближение многочлена наилучшего приближения к непрерывной функции г (х) на отрезке [а, Ь] в Н„(Р) берется некоторый многочлен Р„,(х) ~ Н„(Р), такой, что на отрезке [а, Ь] должна существовать система из (а+2)-х точек х, ( хз (... ... ( х„в, в которых разность бо(хг) =7(х,) — Р„,(х,) имеет чередующиеся знаки.
Исследуя на экстремум функцию Ьч(х). нахолим такую комбинацию точек х<о), хощ ( ( <о) (36) на котоРой бо [х(о>) имеет чеРедУющиесЯ знаки пРи возРастании ю' от 1 до л + 2. а наибольшее и наименьшее значения]ао(х1о>) ] соответственно равны Е,о и Ао, тле Ео= шах [бо(х)], а Ао — наийучшая нижняя ай1а, Ы граница для Е„Я, которую можно получить из исслелования б (х)=/(х) — Ро,о(х), как говорилось в начале этого параграфа. Многочлен Ро,о(х) целесообразно строить как многочлен наилучшего приближения к функции)(х) на множестве точек у, ( у, (... ...
(у„„,, где у,= — соз .+ —, (1=1, 2, ..., л-+2). (37) Ь вЂ” а (л+г)я а+Ь (Это — точки, соответствующие точкам экстремума многочлена Чебышева 7'„,,(() на отрезке [ — 1, +1[, если с помощью преЬ вЂ” а Ь+а образования у= — Г.+ —, отрезок [ — 1, +1] преобразовать 2 в отрезок [а, Ь].) Далее, ищется поправка Р,(х) к этому многочлену как многочлен наилучшего приближения в Н„(Р) к функции бе(х)= =Х(х) — Р, о(х) на множестве точек Оо (36).
Значении много- 4 6) пенвлнж. постепенна многочлянов нлилзчшвго пвивлнжвння 379 члена Ро(х) в точках х(о) опРеделЯютси из системы Ьо (х(о)) Ро (х(о)) — [(1о (х(зо)) Ро (х(зо))[ [Д (х(о)) Ро (х<о))[ ( 1) +'[Ь (х(о) ) — Р (х(о) )1 — ар(х(о) х(м ... х<о) )=ар (38) где а= з(дило (х()))) Ро= ,((о) (39) Р , (х) = Р, (х) +- Р (х). Исследуя на экстремум функцию Ь,(х) =7(х) — Р,(х) =Ь (х) — Р (х), находим множество точек б)г <~1)< о)< .. <хп~ в которых Ь,(х, ) имеет чередующиеся знаки, а наибольшее и ()и наименьшее значения среди )Ь)(х, )) равны соответственно Е, и А, / (<)ъ (Е, и А, имеют такой же смысл для Ь, (х), что и Ео и Ао для Ьо (х) ). Затем строим м ногочлен наилучшего приближенн я Р, (х) к функции Ь)(х) на множестве Оо используя (38) и (39) с заменой х)о) на х<') Миогочлен Р„а(х)=Р„г(х)+ Р<(х) = Роно(х)+Ро(х)+Р,(х) бу- дет следующим приближением.
Оценку точности приближения можно проводить так же. как и в первом способе, т. е. вычислив М,„= шах () (х) — Р„~(х) ( а4 <а,ы для разности Ь(), Р„ „,) — Е„(7), характеризующей точность прибли- жения, будем иметь неравенство О (Ь(), Р, ) — Еч(')) <М,„— р . (42) (41) Сходимость этого процесса получается из следующих соображений. Прежде всего имеет место следующее неравенство: Аг <р(=р(хг', хз). °... х(+з) <А,+<. (43) В самом деле, Ь,~((х) принимает по очереди значения р,з18пЬ,(х(1)) и — р,з(япб,(х(1)) в (а+2)-х точках х<) <х11) « ...
х< ),. (х<о) — х<о)) (х<о) — х(о))... (х<о) — х<о) ) (х(о),— х<о))... (х(о) — х(о))'1 Найдя Ро(х), получим первое приближение многочлена наилучшего приближенною 380 [гл. 4 Равномерные пРиБлижения Следовательно (п1п ~ Ь» (хб)) ~ = р». (=г. п, ..., и+з Но за А», мы по определению принимаем наибольшую из нижних гРаниц [[о»»((х~)[[., а „,длЯ всевозможных комбинаций точек Х( < Ха « ' ' Хпьа, ДЛЯ КОтпрЫХ з(ип Ь»~» (х,) = — з(дп (1»+( (х,) = =з)8па»„~(ха)= ...
=( — 1) з(ип()»„(хп,), г. е. А»,()~рн а так как вез Х 4'а [' (4')! ( то р» заключено между наименьшим и наибольшим из значении ~ Ь»(х)"~) ! (7= 1, 2, .... и+ 2), т. е. А» <р» <Ео Следовательно, неравенство (48) справедливо. Г[оследовательные точки в системе х, хз « ... х„+в не могут находиться друг (») и) (») от друга на расстоянии меньшем, чем минимум длин интервалов ((и, )я, °... о которых мы говорили в начале параграфа при определе- (О нии величины А».
Но, как мы отмечали, минимум длин этих интервалов при фиксированных и, 7'(х) и [а, Ь] зависит лищь от )с', которое в данном случае равно Ао и может стремиться к нулю только при (с' — и О. Но так как в нашем случае при .реходе к каждому следуюшему приближению величина А» не убывает, то эта нижняя граница длин интервалов для всех» мо)кет быть выбрана одна, пусть она будет 1 > О. Отсюда следует, что (Б.Кх,') — х»~ <() — а ()'>7»;7, и=1, 2,..., и+2; »=О, 1,...).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
