Том 1 (1160083), страница 54
Текст из файла (страница 54)
х„ен в которых г(х) — Ф (х) принимает поочередно значения +г'. и — Л. Докажем сначала необходимость условий. Пусть ФА(х) является многочленом наилучшего приближения для у'(х). Докажем, что для него выполнены сформулированные в теореме условия. Предположим обратное, т. е. что таких точек, о которых говорится в теореме. д+1 < и+2 (существование по крайней мере одной такой точки очевидно), Пусть эти точки будут: а (х,(х,(... <хя <Ь. Выберем на отрезке [а, Ь[ д точек ун уг, ..., у, удовлетворяющих следующим уоловиям: 1) а (хэ(у, (х,( ... (уч(х (Ь; 2) в точках у; (1=1.
2, ..., д) разйость У(х) — Фе(х) не равна ни 1., ни — С; 3) на каждом из отрезков [а,у,[, [у„уг[, ..., [у, Ь! разность у(х) — Ф„(х) достигает один или несколько раз значений [-Л или — 1., но не может достигать и того и другого значения. й Тогда найдется такое положительное значение р( —, что на 2 ' отРезках [а,У,[, [У,,Уг[, ..., [Уч,Ь! бУдУт поочеРедно выполнатьса неравенства — Е + р < У (х) — Ф (х) ( Л; — (. (У(х) — Фв(х) < г. — 16 [гл.
4 344 РАВМОМВРНЫН ПРИБЛИЖВНИЯ и, кроме того, — ь+р <у(уо) — Фо(уо) <у.— р. На интервале (у,хч) можно выбрать точку У так, что при любои х~ [у, )'[ также будет выполнено неравенство — С+р<У(х) — Ф,(. ) <~ На интервале (уч, 'г') выберем произвольным образом точки уч+2 < уч+2 < ' ( уо+212 где ло — максимальное число, для которого 4+2ш (в, Если д-[-2ло = а, то получим последовательность точек Уо ( Уо ( ° ° ° ( Ув. Если же 4+2во = в — 1.
то, приняв за ув точку 1), получим такуш же последовательность точек. По точкам у; построим обобщенный многочлен РО (Х) тт (Х) ... Гв (Х) то(У2) тг(У2) -" тв (Уг) Ф, (х) = Ф' [х. у,..... Ув[ = Ро(Ув) то(Ув) " тв(Ув) Коэффициентами прв о)о(х) этого многочлена являются миноры и-го порядка матрицы Ро (Уо) тг (Ут) "° тв (Ут) ~~(у.) т~(у.) —. т. (у.) В силу второго свойства систем Чебышева, использованного при доказательстве теоремы Хаара, по крайней мере один иа них отличен от нуля. Следовательно, Фт(х) ф О.
Наш обобщенный много- член обращается в нуль в точках у,, Уо, ..., Ув и не может обращаться в нуль ни при каком другом значении х. В частности, прн х~(а, уо) Ф,(х)=В'[х, у,, .... Ув[ чь О. Если мы будем изменять значения х, у,, у,, ..., Ув, сохраняя соотношения а<х.<у,<у ( ... <у„<б. то (Р'[х, Ум Уо, ..., Ув[ будет сохранять постоянный знак.
Таким образом. как бы мы ни выбирали значения х, х[, ..., ав, лишь бы они удовлетворяли неравенствам а~<ае<ваг< ° ° - (Х <(2, ~ 2] нАилУчшее РАВномеРное пРиелижение непРеРывных оянкций 34$ определитель ]" [га г1 ° ° ° До[ всегда имеет один и тот же знак. Положим г, = х, г1 — — у„..., г„=у„. Тогда %' [г, г,, ..., г„] = ]Р' [х, у,... „У„] = Ф, (х) для значений х Е (а, уг). Положим теперь го = у,, г, = х, г,=у,, .... г„=у„. При этом ]У [г ° ° ° . г 1=]Р [У х Уз ° ° ° У 1= Ж [х у1 уз '' у 1 ф1(х) для х~(у1, уа). Таким образом, Ф1(х) меняет знак, когда х переходит из интервала (а, у,) в интервал (ум у,).
Далее, если положить го=У,, Е,=У,, г,=х, г,=У,, ..., г„=у„, то полУчим: ]Р ]го. г1 ° ° ° го]=]Р'[Уо Ун х Уо ° ° Уа]= = ]е']х у1 уз ° ° уо! = Ф1 (х) для хЕ(уз, у,). Итак, Фг(х) снова изменила свой знак при переходе через точку уа. Аналогично показывается, что Ф,(х) меняет свой знак при переходе через каждую из точек уь. Рассмотрим теперь многочлен Фз(х) Фо(х)+еф1(х) где з выбрано так, чтобы шах ]зф,(х)! <р а й !а, о] и на интервале (а, у) знак еф,(х) совпадал бы со знаком г(хо)— — Фо(хо). В силу выбора точек у, и только что доказанного свойства функции Ф,(х) знан еф, (х) будет совпадать со знаком Г'(хь) — Фо (хь) прн хЕ [ужуь+11 для всех й < д.
Вследствие этого и того. что 1(УА) — Фо(уа) Ф + (., Мы будем иметь на отрезке [а, у [: [1 (х) — Ф (х)1 < 1.. Далее, так как на отрезке [у, г'1 имеет место неравенство — Е+а <у(х) — Ф,(х) < Š— ]1, а ! еф, (х) ! < р., то при х~ [у, г'] имеет место неравенство [ Г'(х) — Ф, (х) ! < 1'.. Иа интервале (у, г) мы взяли четное число точек уя+„..., Уяея . Поэтому знак зф1(х) на полуотрезке [уооя . Ь) будет такой же.
как и у Г (хя) — Фо(хч). Следовательно, при д+ 2ло = а и при 346 [гл. 4 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ д+2т=л — 1 (но хч не равном Ь) и на отрезке [уяьа, Ь! будет выполнено последнее неравенство. Рассмотрим еще случай, когда у„=Ь з х = Ь. Пря этом последнее неравенство будет выполнено для всех точек полуоткрытого интервала [а, Ь), но в точке Ь будем иметь [ ( (Ь) — Ф, (Ь) [ = У.. Найдем тогда такой обобщенный многочлен Ф, (х), который бы в точке Ь не обращался в нуль. Такой многочлен всегда существует, так как ~;(х) образуют систему Чебышева я не могут все одновременно обратиться в нуль (см. доказательство теоремы Хаара).
Можно считать, что Ф,(Ь) [Х(Ь) — Ф,(Ь) [ > О, так как в противном случае мы умножили бы Фа(х) на — 1, При достаточно малом Ь)0 и в последнем случае мы имели бы тогда [у (х) — Фа (х) — ЬФ, (х) [ ( Е. для всех х~[а, Ь[. Тем самым мы показали, что Фе(х) не является многочленом наилучшего приближения, вопреки нашему предположению. Полученное противоречие доказывает необходимость условий теоремы Чебышева. Докажем теперь достаточность. Пусть для Фз(х) выполнены условия теоремы, но ФБ(х) не является многочленом наилучшего приближения. Пусть, далее, Ф,(х) является многочленом наилучшего приближения для 1(х) на [а, Ь!.
Рассмотрим разность Ф, (х) — Фз (х) = [~ (х) — Фз (х) [ — [ У (х) — Ф, (х) [, Первая квадратная скобка справа принимает в некоторые точках а(хз(хг( ... (х„„.г(Ь поочередно значения (. н — 1.. Вторая квадратная скобка по абсолютной величине меньше 1,. Поэтому рассматриваемая нами разность будет иметь различные знаки при х; и при хг„, для всех 1 (Ь=О, 1,2, ..., и). Следовательно, она обращается в нуль по крайней мере один раз в каждом из интервалов (хох;~,). Всего таких интервалов л+-!.
Обобщенный многочлен Ф (х) = Ф,(х) — Фз(х) должен обращаться в нуль на [а,Ь! по крайней мере е-+1 раз. Это невозможно. Тем самым мы доказали и достаточность условий Чебышева. Теорема доказана полностью. Сделаем теперь несколько замечаний, 1. Пусть Ф(х) — некоторый обобщенный многочлен и на [а, Ь! существуют такие и+2 точек ха( х,(ха( ... ( х„,, ~ 3[ АПГББРАические МИОГОчлены нАилУчшеГО пРЯБлижениЯ 347 что разность 7' (х) — Ф (х) принимает в них значения с чередующимися знаками. Тогда если т — наименьшее по абсолютной величине из этих значений, то Ь(7)> [Гл[. Для доказательства достаточно предположить обратное и рассмотреть разность между многочленом Ф и многочленом наилучшего приближения, как это делалось при доказательстве достаточности условий Черышева. Это замечание позволяет дать оценку величины Ь(у).
действительно, если М= шах [7(х) — Ф(х) [. ле[а,ы М) Ь(7')) [ЛГ[. то 2. При доказательстве теоремы Хаара и обобщенной теоремы Чебышева мы считали, что все функции определены на некотором отрезке [а, Ь[. Фактически это при доказательствах не использовалось. Если проанализировать доказательства, то легко обнаружить, что теорема Хаара будет справедлива, если в качестве области определения взять произвольное замкнутое ограниченное множество евклидова пространства любого числа измерений. Обобщенная теорема Чебышева будет справедлива, если все функции определены на некотором замкнутом множестве, принадлежащем отрезку [а.
д[, содержащем не менее (л+2)-х точек. ф 3. Алгебраические многочлены наилучшего равномерного приближения будем обозначать Е„К Р„'). Нижнюю грань значений Е„(7', Р ), когда Р„(х) пробегает все множество Н„(Р), обозначим через Е„(7) и будем называть наименьшим отклонением. На основании результатов предыдущих параграфов можно утверждать, что существует Как уже известно из второй главы, функции 1, х, х', ..., х" обраауют систему Чебышева на любом отрезке [а, д[. Следовательно, вся полученная нами теория наилучших приближений применима к этой системе .функций. Обозначим через Н„(Р) множество всех алгебраических многочленов степени не выше и.
Если 7(х) — некоторая непрерывная на [а, д[ функция, а Р„(х) ~ Н„(Р), то отклонение 7(х) от Р„(х) на [а, Ь[, т. е. свах [7(х) — Рч(х)[ чй1ш ь1 348 [гл. 4 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ единственный многочлен Р„(х) ~ Н„(Р), для которого Е„(у, Р„) = =Е„([). На отрезке [а,д[ имеется л+2 точек х,< х,« ...х„„, в которых разность 1(х) — Р„(х) поочередно принимает значе- ния +Е„(1') и — Е„([). Лля обнаружения того, что некоторый многочлен Я„(х)~ Н„(Р) является многочленом наилучшего прибли- жения для функции 1(х) на [а, б[, достаточно проверить, что на [а, Ь[ найдутся такие л+-2 точек хо<х1« ''' хлэ1' в которых 1(х) — Я„(х) поочередно принимает значения [-Е„(Г, СГ„) и — Ел(у,(г„).
(Здесь мы не требуем, чтобы Е„(г,1',)„) было наимень- шим отклонением.) Этим свойством часто удается воспольаоваться для фактического отыскания многочленов наилучшего приближения. Так. например, можно утверждать, что для функции у= з!п4х на отрезке [О, 2Н[ многочленом наилучшего приближения в Н,(Р), Н,(Р), ..., Н,(Р) будет Р(х)= — О. Действительно, Е„(з)п4х,О)=1, л=0.1,2,..., з(п 4х — 0 достигает последовательно значений + 1 и — 1 в точках е зч 5ч тя йл 11л 13к 15я 8' 8' 8' 8' 8' 8 ' 8 ' 8 т. е. в восьми точках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
