Том 1 (1160083), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Пусть, например, нам нужно вычислить интеграл +1 у= /' (3) Подынтегральная функция обращается в бесконечность в точках +!. Представим ее в виде (4) )'! — хв 7~ — хт )г!+~1 и будем рассматривать функцию ! г' 1 — хз как весовую. Тогда будет применима формула численного интегрирования Эрмита: -1- 1 (х„= сов —,' и). (б) У"1 — х4 " 7 ! -1-хз -1 В 1 ь 1.
Метод выделения особенностей. При вычислении несобственных интегралов с конечными пределами интегрирования удобнее всего использовать метод выделения особенностей. Существует два ме тода выделения особенностей: мультиилинативныд и аддитивный. Суть мультипликативного способа выделения особенностей состоит в следующем. Пусть нам требуется вычислить интеграл ь 310 численное диеезгзнциговлнив и интзггиговлнив [гл 3 При л = 6 получим: У вЂ” " + + 1 = 2,221329. г~~ ттеыте И ";,Ф г|,,ГР ] у" (х) = <р (х) + ф (х), (9) где ~у(х) не имеет особенностей и обладает достаточным числом непрерывных производных, а интеграл от ф(х) может быть найден точными методами интегрального исчисления.
Возьмем в качестве примера следующий интеграл: У= ~ 1пяп х~х. о (1О) Подынтегральную функцию представим в виде 1п з(п х = 1п х +1п з1п х х (1 1) Тогда У = У, +ге = / 1п х г(х + ~ 1п — ' ах. х (12) Первый интеграл легко вычисляется: 1, = [ 1и х Их = — 11п — — 1) = — 0,861451. (13) 2~ 2 о Подынтегральная функция в г не имеет особенностей на отрезке интегрирования. Вычислим Уе по формуле Симпсона, взяв и = 1. Получим: †,, [0 — 0,4200356 — 0,4515825) = — 0,228189. (14) Таким образом, !=У, + Уз = — 1,089640. (15) Значение интеграла с шестью верными знаками после запятой равно г' = — 1,089045. (16) (7) Значение интеграла с шестью верными знаками после запятой равно г = 2,221441.
(8) Аддилгивмый способ выделения особенностей состоит в следующем. Подынтегральную функцию представляют в виде ф!1) вычислвнив нвсозстввнных интвггллов 811 Л. В. Канторович, предложивший этот способ, указал также и на некоторые приемы представления подыитегральной функции в виде (9). Пусть 7 (х) имеет вид у (х) = (х — с) р (х), (17) где с~(а, Ы, а) — 1 и р(х) может быть представлена на отрезке (а, 1)) формулой Тейлора по степеням (х — с) с остаточным членом. зависягцим от производной порядка гп.
Тогда /(х) можно записать в виде г (х) — ~~(с) (х — с) + (х — с) + (х — с) -/-... ... +, (х — с) 1+(х — с)' ~~р(х) — ф(с)— э! "> (с) «эь ) — (х — с) — (х — с)' — ... — — (х — с)") (18) т'(с) вл (с) т< ! (с) 21 гн ()с <,, лг). Первая квадратная скобка правой части является степенной функцией и поэтому интегрируется без труда. Вторая квадратная скобка обрашается в нуль при х = с вместе со всеми производными до порядка и включительно. Следовательно, ее произведение с (х — с) не будет иметь никаких особенностей при х= с, Более того, при х= с это произведение будет обладать непрерывными производными до порядка )г -!- (а) включительно.
Поэтому можно ожидать, что применение формул численного интегрирования к нему даст хорошие результаты. Указанный прием можно применить и в том случае, когда подынтегральная функция имеет вид 7(х)=(х — с) !п (х — с) э(х), (19) где р — натуральное число и а, с и в(х) таковы же, как и ранее. В этом случае получим разложение 7(х)=1пв(х — с) [Т(с)(х — с) + ", (х — с)"~ +... ... + —,(х — с) ~+1п (х — с)(х — с)" Х т( '(с) .+ь) Х ~<р(х) — <р(с) — — (х — с) — ...
— — (х — с)а~. (20) ч' (е) т!"'(с) И Л! Опять интеграл от первого слагаемого правой части выражается в конечном виде через элементарные функции, если применить интегрирование по частям. Второе слагаемое правой части будет. гладкой функцией. 312 численное диивгвнциговлнив и интвгвиговлнив [гл. 3 Прием можно обобщить, взяв несколько особенностей на промежутке интегрирования. Пусть, например, у(х) =(х — с,)" (х — сд"... (х — с„)" ф(х), (21) где аз) — 1, с;+су (1Ф у), его[а, Ь[, а ф(х) обладает на [а, Ь[ непрерывными производными достаточно высокого порядка.
При этом последовательно исключаем особенности в каждой из точек сь Сначала, как и при наличии одной особенности, представляем у(х) в виде у(х) =(х — с,) '[а~'~.+а(п(х — с,)-+ ... -[-а)п[х — с,) '[+ф,(х), (22) где ф, (х) — достаточно гладкая функция в точке с,. Затем таким же образом исключаем особенности в точке сз у ф, (х), в точке сз у фз(х) ° ., в точке с„у ф„,(х). В конце концов, дело сведется к вычислению суммы интегралов ~ у(х) Их = ~ ~ )~~~ аЯ(х — су)'у с(х+ ~ ф„(х) Их, (23) а з-за-а где ф„(х) уже не имеет особенностей на [а, Ь[.
И в этом случае можно ввести дополнительные логарифмические множители. Рассмотрим еще один случай. Пусть у(х) = ф[ф(х)[, (24) где ф(х) — гладкая функция, принимающая в точке х=с~[а, [)[ значение, при котором а имеет особенность. Представим ф(х) в виде ф (х) = [ф(с) +.ф' (с) (х — с)[-)-[ф (х) — ф (с) — ф' (с) (х — с)[. (25) Тогда у(х) = ф [ф (с) +- ф' (с) (х — с)[+- [ р [ф (х) [ — р [ф (с) [ — ф' (с) (х — с)ц. (26) Предполагаем, что ф[ф(с)[-ф'(с)(х — с)[ можно проинтегрировать в конечном виде. Интегрирование второго слагаемого можно осуществить по формулам численного интегрирования, так как фигурная скобка не имеет особенности при х= с.
Приведенный выше пример (10) принадлежит как раз к такому типу, Ланные нами методы выделения особенностев можно применять не только для вычисления несобственных интегралов, а и в том случае, когда подынтегральная функция ограничена, но не обладает лостаточно большим числом ограниченных производных. При этом, как показывают выражения остаточных членов, формулы численного 5 11) вычислении нвсовстввнных интвгеллов 313 интегрирования дадут, вообще говоря, большую погрешность. Метод выделения особенностей позволит иногда представить подынтегральное выражение в виде суммы функции, интегрируемой в конечном виде.
и достаточно гладкой функции. ~ ~ (х) г(х = й (с!( (Ь) -+ сзУ (2Ь)1 о при любых а, р и й. Из (28) следует ! а Э 2а(2й)'+ — (2Ь)'р= с,(айз+рйз(+с, ~= Ьз+р у 2йз~. (29) 3 )Г 2 (28) Отсюда 2 у' 2=с,+сев — 2 (ЗО) 4 У 2=с,+се Г' 2. илн 8 .г- 4 Итак, в нашем случае (31) 1(х)"=й~ ~з У(й) — зу(2Ь)~. Газ! 2 4 (32) о Аналогично находим: оь '1ах " + рх" ! г(х — й ' 2 г' 37 (Ь) о -) — —", ! ! 3! (,ах о+~хо+ 7хз/с(х=й~ — ф'Зу(й) — — 3г'Ч(2Ь)+ 3 У(3~)~ о (34) (33) 2, Специальные приемы. Если известен характер поведения подынтегральной функции вблизи особенности, то можно построить специальные формулы, учитывающие особенность и позволяющие получить значение интеграла на некотором небольшом отрезке, содерз<ащем особенность.
Интеграл по остальной части отрезка интегрирования будет вычисляться по обычным формулам численного интегрирования. Пусть, например, левый конец отрезка интегрирования есть О и функция г'(х) вблизи него может быть представлена в виде ! ! 7 (х) = ах з -Ф- рхз. (27) Подберем коэффициенты с, и с, так, чтобы имело место 314 числвинов дифееевнцивовлиив и иитвгвиговлиив (гл. 3 яь (ах ~ + рх3) Их = й ~ — 'и' 27 (д) + — !' (28) ~, о зь 1 (ах'+рхз)г(х=л~б р 37(л)-1- 87(Зл)~, (36) о зь (ох' +-рхя+ (х ) Хх= — л~ Т)73~(И)+за~(2д) -+3" 7(Зл)~.
(35) (37) Во всех этих случаях 7 (х) означает подынтегральную функцию. Точно таким же способом можно получить формулы для вычислеиия интегралов вблизи особенностей другого характера. В качестве примера используем формулу (32) для вычисления интеграла 1 (38) Подынтегральная функция имеет особенность при х = 1 как раз такого характера, который учитывается этой формулой. Возьмем и=0,1 и представим интеграл (38) в виде (39) 'У 1 — (04)э "г' 1 — (05)э гг1 — (Об)э г~ 1 — (07)т + +- + + 1! = †' 27 823303 У'! — (0.8)е.( 3 ' (41) Первый интеграл вычислим по формуле (32). Это даст ! / =0!1 , ~~т'2 У1 — хт ( 3 У ! — (0,9)т 3 У ! — (08)т ° 2,294137 — 1,666667~ = О— ' 19,287761. (40) Второй интеграл вычислим по формуле Симпсона, взяв л=0,1 и л= 4.
Получим: о,з ~ — = —,'1+ + + + Нх 0,11 4 2 4 У1 — хт 3 1 У 1 (01)т )Г! — (0,2)т $~ 1 — (0,3)Я 4 2 4 12) пРББлиженнОе Вычисление кРАтных интегвллов 315 Таким образом, ! — 4,7111064 = 1,570369. 3 (42) Точное значение интеграла таково: 7 = 1,570796. (43) ф 12. Приближенное вычисление кратных интегралов 1. Метод повторного применения квадратурных формул. Как известно из анализа, вычисление кратных интегралов может быть осуществлено путем повторного вычисления однократных интегралов. Поэтому одним из простейших путей получения формул для приближенного вычисления кратных интегралов является повторное применение полученных нами формул численного интегрйрования однократных интегралов.
Проиллюстрируем это на примере вычисления двойного интеграла 7= ~ ~ 7(х,у)Нхс(у, где область О представляет собой прямоугольник 1а ( х ( Ь; с (у ( с(1. Интеграл (1) можно записать в виде ь з 7=~ (х ~ У(х у)7у. (2) Применим формулу Симпсона для вычисления внешнего интеграла. Это даст (3) Каждый из интегралов внутри квадратной скобки будем также вычислять по формулам численного интегрирования. Применим, Приемы и методы вычисления несобственных интегралов, приведенные в этом параграфе, не могут исчерпать всего многообразия случаев, которые могут встретиться на практике. Да и невозможно в одной книге, какая объемистая бы она не была, дать рецепты на все случаи жизни. Однако высказанные здесь идеи могут помочь читателю найти подход к решению конкретной задачи, с которой он встретится. 316 численное диееевенциговлнне н интеггиговлние [гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
