Том 1 (1160083), страница 46
Текст из файла (страница 46)
3, 4,..., будем последовательно получать все В„(~). При этом непосредственно видно, что все Ва(!) будут многочленами. Многочлены Бернулли обладают двумя характеристическими свойствами. Рассмотрим Р(1+1, х) — Ч (Г, х). С одной стороны, зта разность равна хо(!+1! а хоаг А Ааг хо!о еа — 1 еа — 1 И 2! — =хост = х+- — + — + ..., с другой, Ва «+ 1) — В„(!) Х" л! а-о Приравнивая коэффициенты при х", имеем: ЛГ = Ва«+1) — Ва(Г), (4) Это и есть одно из характеристических свойств В„(1).
Продифференцируем теперь (1) по 1. Получим: О> / или Приравнивая опять коэффициенты при х", будем иметь: В„' (!) = пВ„г (1). (5) Это — второе характеристическое свойство многочленов Бернулли. Свойства (4) и (5) з свою очередь определяют В„(Г). В самом деле, на основании формулы Тейлора п1" = В„(Е + 1) — Вз (1) = ~ —, В~„~ (1).
Используя (5), получим: ВГяа)Я п(п 1) (и А +1)В а(!) Следовательно, ~аСвВ г (1) а-г Снова получили (3), однозначно определяюшее В„(!). Рассмотрим еше ряды х 1 — +- — х = ~) Ь„х", ел — 1 2 в О х = ~ Р„(1) х". а'г — 1 %т ;1 г~ ° (6) (7) Сравнивая (6), (7) с (1) и (2). видим. что Ь„= —,, если п ~ 1, в„ в„(~) — в„ Изучим свойства Ь„и Р„(!). Заменим в (6) х на — х. Получим: слева х 1 хз~ 1 — — х= — — х= е л — 1 2 лт 1 2 =х+ " — —,х= +- — х х 1 2 286 численное диееегенцигование и интеггиговлние [гл. 3 287 % 81 ФОРМУЛА ЭйЛВРА и справа СО 171( и и-а Следовательно, все Ь„с нечетными индексами равны нулю: (8) оы-1 — — О Найдем теперь Р'„Я: в'„ (г) В„ ,(г) Р'„(1) = "„, Таким обрааом, для всех п > 2 Р'„(1) = Р, (1) -+ 11 При п= 2 получим Р„'(Г) =В,(Г).
Иа (3) следует 21= 2В,(г)-+Ве(г), В,(г) г 2 Итак, (1 0) 2' Положим в (7) 1= 0. Получим: О = ~ Р„(0) х". А=О Следовательно, Р„(0) = О. (11) Полагая в (7) 1=1, будем иметь: х= ~~~Р„(1) х . Следовательно, (12) Р„(1)=0 при п + 1. Положим еше в (7) г= —, получим: 1 2' Заменим здесь х на — хг 1 — х = ~~~~( — 1)" Р„(2).х". 288 численное диефввенциеование и интеггиеовлние [гл. 3 Вычитая друг из друга последние два равенства, будем иметь: 1 — е з + 1 1 — ж — Ж е — 1 е — 1 з 3 х, +х е' 1 — х е х — ! ее — 1 3 + х = х = 2 ) ' Р,в, ( — ) хзь '.
е-г Итак, Р,( — )= —, Реь,( — )=0 при й~~2. (13) Покажем теперь, что при й) 1 Рзь~,(1) нигде не обращается в нуль 1 на отрезке [О, 1[ кроме точек 1= О, —. 1, а Рвам нигде не обращается в нуль, кроме 1= 0 и 1. Из (10) следует а из (11) С= О. Следовательно, для Ре(1) наше утверждение справедливо. РзЯ будет многочленом третьей степени и в силу (11), (12), (13) обращается в нуль при 1=0, —, 1. Других нулей Р,(Г) 1 2' иметь не может и для него утверждение также справедливо. Допустим теперь, что утверждение справедливо для Рн,,(Г). Положим, 1 для определенности, что Ргл,(Г) ) 0 при 0 <1< — и Рц,,(г) < 0 при —, < ~ < 1.
Тогда в силу (8), (9), (11) и (12): 1 2 Р' (Е))0 при 0<г< —, Р' (Г)<0 при 2 <Г<! ° 1 Рн (0) = Рзь(1) = О. Следовательно, Р л(1) имеет максимум при Г =— 1 2 и этот максимум единственный на [О, 1[. Ргл(Г) не обращается в нуль на [О,!) и имеет знак Рза 1(с), где ! некоторая точка от- 11 резка ~0, — з1.
Далее, 2з' эвз-1 ( ) за ( ) зв' 289 ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА Так как Р„ '(1) на интервале (О, 1) обращается в нуль только в одной точке, то Рвь(1)+-Ь,в может обращаться в нуль на отрезке 10, 11 только в авух точках, а Р,ь„,(1) — только в трех точках. Слеао- 1 вательно, с=О, —,, 1 являются единственными нулями Ры,(т). 2' +г Так как знак Р (1) не меняется на отрезке 10, 11, а знак Р',,(() меняется, то й,л имеет знак, противоположный знаку Рег (г), и по абсолютной величине меньше, чем шах ! Ргл (1) ).
Поэтому 1 нуль Ре„.гг(т) при 1= — простой. Далее, Ры(0) =О, След 1вательно, Р„',,(с), а поэтому и Р ьг,(1) при $, близких к нулю, имеет знак (ггв, противоположный знаку Рге (ч), а следовательно и знаку Рн, г(1). Таким образом, Реве,(1) будут иметь чередующиеся по л знаки. Это же будет справедливо и для дев. 2.
Формула Эйлера и примеры ее применения. После этих прсаварительных рассуждений перейдем к вывоау формулы Эйлера. Рассмотрим а+А г'(х)гх, а где Г" (х) — некоторая, достаточное число раз дифференцируемая функция. Произвеаем замену переменных, положив х = а+ггг. Тогаа наш интеграл будет равен .( (х) г(х = й ~ / (а + И) Ж = Й )Г аг (г) Н, где ~(() =Г'(а+гГг). К послеанему интегралу применим правило интегрирования по частям: рг Ф(т)г(Г=Гр(П1 — а) ГР'(Г)ит=-Ф(П вЂ” 1 1~1 — —,) (Г)дт а о 1 1 1 1 1 /'г — -;~(1)+ —:Р(О) = — Р(О)+ — Р(П вЂ” 1 (1 — —,),р (1),11. 2 2 2 г,l ', а Первые ава члена здесь лают формулу численного интегрирования трапеций, послеаний член — поправку к ней. Воспользуемся теперь формулами (9), (10) н свойствами Р„(1) и (г„ алч преобразования 290 численное диееененцигование и интвгоигононие [гл.
3 последнего члена. Снова, интегрируя по частям, получим: л~ (( — —,, ) р'(() о[Г = / Р' 00 р'(Г) о[Г = [Рв (Г) р' (ГИ 1 1 — ~Рв(г) в" (1) (г= — ~[Р',(г) — Ь,,~ ро(1) а(= о О 1 = Ьо [и' (1) — у' (О) [ — / Р' (() сро (() оУ = Ь, [о' (1) — оо' (О) !— — [Р. (() ро'(1)[„'+ ~ Ро(1) р'о (Г) (Г = о г = Ь.
[со'(1) — ю'(0)[+- ~ Ро (() оо" (() оИ. о В последнем интеграле можно заменить Рз(Г) на Р;(Г) и еше раз повторить интегрирование по частям. При этом добавится член Ь, [~'н (1) — ~" (0)[, а вместо последнего интеграла будем иметь: ,(1) рбч(г) и. о Повторив наши операции г раз, получим: ! ,/ о(г) (г= —.' ,[г(0)+-о(П! — Ьв[л(1) — о'(он— — Ь, [ро(1) — ао'(0)[ — ... — Ьв, [р~ — ~(1) — ~ — ~(0)[+Я„. где Я,„можно записать в двух видах: 1 Ло, = — $Ре,, (Г) во'он (Г) Ю = / Р,„„о (Е) ф~'~н (Г) ЖГ.
о о Возвратимся к старым переменным и выразим Ь„через числа Бернулли. Будем иметь: оео д В,Ьо 1(х) (л = — — [1(а)+1(а+ й)! — — '; [1'(а+ Ь) — 1 (а)!— о — — [1о(а+А) — 1" ( )! — ...— 291 $8! ФОРМУЛА ЗЙЛВРА где 1 К„= — И +'~Р „,(1)у!1+П(а+ей)г(1= о ! =й Ф ) Р2„12(1)у'~ ~ю(а-+гй)Ж. о Если применить последнюю формулу к отрезкам (а, а-+И1, 1а+й, а+2И1, ..., (а+(и — 1)й, а+пй1 и сложить полученные выражения, то и получим формулу Эйлера: аеоо у(х)1(х=-й~,~ ~(а)+/(а+й)+/(а+2И)+ ., + о +/(а+(и — 1)И)+- — ((а+-пй)~ — — ', (Г'(а+ай) — у'(а)1— — 1)'п(а+пй) — ('п(а)1 — ...— — [/!" 0(а+пй) — Р (а))+йо„, (14) где й' „= — И ""' ~~~~ ~ Р2„~, (Г) 1 0 (а + И (Г + й)) о(1 = А-О О о — 1 1 = й"+' „5„~ Ре„ов (1) ~' +" (а + й (1 + й)1 211.
(15) А=-О О Остаточный член можно записать в другой форме, если воспользоваться тем, что Р,„„(1) не меняет знака нв отрезке 10, 11. Тогда 1 1122 пй 1 ! ) ~ Р2! о2(~) г(~' о где 1 — некоторая точка промежутка (а, а+ай). Но по (9) 1 1 1 „ () ~ . () Следовательно, 2.-.2() Во о 292 численное диееегенциговлние и интеггиеовлние !гл. 3 Поэтому остаточный член можно записать в форме ив жив Васев у!вг-~в!(() (2г -1- 2) ! (16) Б некоторых случаях об остаточном члене можно судить по самим вычислениям по формуле Эйлера. Так, пусть все производные нечетного порядка функнии 7'(х) иве!от одинаковые постоянные знаки на рассматриваемом отрезке и монотонны там, например монотонно возрастающие.
Тогда на основании второй теоремы о среднем нз первого выражения (16) получим, что знак Вз„ будет определяться знаком 1 Рв„в,(!) п1, Е Вв (х) = 1; В, (х) = х — —,; В, (х) = х' — х + —; 1 — 2 б' В, (х) = х' — — х'+ —, х; В, (х) = х' — 2хв+ х' — —; 5 4 5, 1 В (х) =ха — — 4+-, В (х) =хв — Зхз+ — х' — — хв+-г ° 5 12 1. в 2 2 42' 7 в 7 в 7 в ! В (х)=х — — х + — хв — — х'+ —.
х; 2 2 6 6 В (х)=х — 4х + —,х — —, х + —, хв — —, 14 в 7 4 2 в 1 з 3 3 3 30' = хз — — хз+ бхв — — ха+ 2хв — — х; 9 21 в 3 2 5 10 = х" — бхз+ — хз — 7х'+ бх' — -- х'+ —,, ° 2 2 66' в 42 в ! 5 691 7, — — Вю= —..! В!в= — ! Ввв= — ! 31!!7 5!О ' Вз (х) Вьз (х) В,= Вы= которые будут чередоваться вместе с г. Таким образом, остаточные члены будут иметь череду!ошнеся знаки и истинное значение интеграла будет заключено между суммой г и г+-1 членов формулы Эйлера. З,ля удобства пользования формулой Эйлера приведем значения чисел Бернулли и выражения многочленов Бернулли для некоторых значений л; 294 численное диееиввнциговлние и интаггиговлнив [гл.
3 Здесь как раз было применимо замечание, сделанное относительно оценки остаточного члена, когда производные нечетного порядка функции 7(х) знакопостоянны и монотонны. Пример. Вычислить сумму ~'., )з~, где р — целое положительное число. А 1 Положим в формуле Эйлера а= — О, и=1, 7(х)=хв. Тогда хгг(х= —, 0+ 1 +2г+ ... +(п — !)т+ — п-— ' ° 2 2 о — — рпг — — р(р — 1) (р — 2) пг Вт, В -а 21 41 Здесь ряд обязательно оборвется на каком-то шаге, так как производные с некоторого порядка будут равны нулю. Отсюда '+ лр ляе' лв рпя ' р(р — 1) (р — 2) р и р+1 + 2 12' 720 л-г р(р — 1) (р — 2) (р — 3) (р — 4) +- 30420 + Так, для р= 2, 3, 4, 5 получим следующие выражения: л в 1 л4+ в-1 л л (п+ 1) (2п+ 1) Зп~ пе (л+ 1)з 12 4 Вычисления дают: 0,050 000 000 0 0,090 909 090 9 0.083 ЗЗЗ 333 3 0,076 923 076 9 0,07142857! 4 О, 066 666 666 7 0,062 500 000 0 0,058 823 5294 0,055 555 555 6 0,052 631 578 9 0,025 000 000 0 0,693 771 403 1 — —, ° (0,01 — 0,0025) = — 0,000 625 1 12 — ° (0,000 1 — 0,000 006 25) = ! = 0,000 000 833 — 0,000 000 052 1 —,' .О,ООООО1(! — —.')= 252 ' ( 641 = — 0,000 000 003 9 — О,ООО ООО 01 (1 — — ) = =0,0000000000 ...
— 0,000 624 222 7 !п 2 = 0,693 147 180 4 Точное значение !п 2 = 0,693 147 180 5 ... 295 ФОРМУЛА ЗйЛЕРА П Х '=-'— и' аз 4пз 24п 1 Ь' = — + — +- — — — = —, п (а + 1) (2а + 1) (Зп'+ Зп — 1). 5 2 12 720 30 Ь 1 Х '=.' и" па 5п' 60пя п ь + + ' — (2иь + бп'-+ биз а) 2 12 720 12 В 1 Пример. Вычислить сумму ряда 1 1 1 1 НП + 1Оз + 105Я '+ !О7, + В формуле Эйлера положим Ь= 2, Г'(х) = —,, Тогда а=101, п= Оо. Э 1 11х 1 1 1 1 х + + ' + хз 2 1011 1031 1051 1О1 Вычисления дают В = 0„004 999 ЗЗЗ Зб.
СОз х пх = — сОз —, +. —, соз ( — — ).+ —, ~з!п ( — ) — з)п ( — — )~ Ь Ь Ь Ь Вяля . Ь . Ь1 — — (з1п( — ) — юп( — — )~+ + ... — ~" (( — 1) з1пЯ) — ( — 1)'з1п( — ~)~+ г . Отсюда Ь Ь йч ЬявВвь, Ь 2гйп — =Ьсоз — — 2 ~( — 1)в яп — +й . 2 2 а~а (2Ь)! 2 11 А-1 ь ь ь Деля на 2з!п —, и перенося — с1и — в л 2 2 2 1 — сги —,= Р ( — 1)1— ь ь ъч вь 2 2 л я' (2Ь)! л-о евую сторону, получим: Ь21 ~'11. 2 а!п —, и 2 П р и м е р. Используя формулу Эйлера, разложить в ряд по стех х пеням х функцию — с1и —, В формуле Эйлера полагаем 7"(х) =созх, а= — —, п= 1. ь 2 ' Тогда 296 численное диееееенциговлние и интеггиеовлние Ггл. 3 Это и есть искомое разложение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
