Том 1 (1160083), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

+С~,"УУ'(хи)+й(У). (1) а Здесь р (х) РΠ— фиксированная весовая функция, С(") — постоянные коэффициенты, не зависящие от функции у(х), Й()) — остаточный член. Если Й(~) обращается в нуль, когда (2) ((х)=а,-( — а,х-(-агх'+ ... +а х ', где коэффициенты а, произвольны, то ае ) Р (х) ((х+ а) ~ Р (х) х (гх+ а, ~ Р (х) х' (гх+ О ] Р (х) х"' с(х = = с, (не+О(х, +Огх, + ...+О~х",']+ +се]оо'+а~хг+ Огхг+ ... +а хг ]+ + .. + + си 1ае+ а,хи+- О,Хг + ... + О,„хи ]. (2') Обозначим ) р(х) хгс(х=р, . а Эти величины целиком определятся выбором весовой функции и отрезка интегрирования. В силу произвольности а, равенство (2) будет эквивалентно следующим: сг +сг + ... +Сгь =ре.

(а) (и) (») (и) (и) (и) сг х,+с, х,+ ... +си ха=)г,, (4) сг хг +се хг + ° ° +саха=(ги. (и) »1 (а) а (и) т Получили систему и+1 уравнений для определения 2в неизвестных величин с, и х,. Отсюда следует, что максимальное значение для ш (и) будет т = 2а — 1. Правда, остается еще неясным, разрешима ли будет при этом система, будут ли ее решения действительными и будут ли все х, принадлежать отрезку (а, ()). Не)осредствеиное исследование системы слишком громоздко, и мы пойдем по другому пути. Будем отыскивать многочлен а„(х) =(х — х,)(х — х,)... (х — х„), (б) где х,— искомые абсциссы.

Оказывается, а„(х) удовлетворяет до- вольно несложному необходимому и лостаточному условию, которое позволяет во многих случаях его явно определить. Покажем, что ь / р (х) а„(х) д (х) с~х = О, а (6) если д(х) — произвольный многочлен степени не выше н — 1. Действительно, у(х) =- а„(х) д(х) является многочленом степени не выше 2л — 1.

Следовательно, Й(У) = О. Таким образом, ь п / р(х)аи(х)д(х)с(х= ~~~ с~ша„(хг)д(х ) = О, так как а„(х!) =О. Обратно, если мы найдем такой многочлен а„(х) степени л, что ь 1р() ())() а когда д(х) — произвольный многочлен степени не выше л — 1, и корни этого многочлена примем за узлы интерполирования, то в полученной при этом формуле численного интегрирования )т(у) будет обращаться в нуль, когда )' является произвольным мнигочленом степени не выше 2л — !. Действительно, пусть у(х) является таким многочлсном. Тогда у(х) = а„(х) у(х)-1- г(х), где л(х) и г(х) — многочлены степени не выше и — 1.

Отсюда ь ь / р(х)у(х) Нх= / р(х) а„(х) д(х) дх+ и а ь ь + ) Р(х) г(х) Фх= / р(х) г(х) Нх в силу нашего предположения. Но ь ~ р(х) г(х)ахая с~"'г(х)+ сь г(хь)+ ... + с~~г (х„), а 266 численнОе диФФеРенциРОВАние и интеГРиРОВАние 1гл. 3 5 5! ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ИНГЕГРИРОВАНИЯ ГАУССА 257 так как «(х) как многочлен степени не выше и — ! совпадает со своим интерполяционным многочленом, построенным по узлам х,. х,, ..., хг« Кроме того, 7 (х!) = Фа (хг) у (ха) + г (х!) = — г (х;).

Таким образом, ь а ~ р(х)7(х) Г(х = !>„с',"'7(ХГ) и 77(7) = О, что и требовалось доказать. В главе 5 мы покажем способы построения системы ортогональнык многочлеиов при произвольных р(х). В этой главе мы найдем обший вид ха (х) прн р (х) = 1. Обозначив ~ х„(Х)ИХ=И,(Х), х х ~ ~,(х) с(х = ~7 (х), ..., ~ Уа ,(х)Г(х = х„(х), а а будем вычислять интеграл ь ~ х„(х) д (х) Г(х, а где д(х) — произвольный многочлен степени не выше н — 1, путем последовательного применения формулы интегрирования по частям. Будем иметь: О =У.„(х),(х).х= а = ~~1(х)!7(х) — ра(Х) ~7 (х)-+ ...

+-( — 1) ~7а(х) ~7 (х))хх При х=а правая часть равна нулю, так как ра(а) = О, 1= 1, 2, ..., и. Отсюда следует в силу произвольности д(х), что 9,(Ь)=~,(Ь)= ... = Р„(Ь)=О. Итак, 7„(х) обладает корнями кратности н при х=а и х=Ь Следовательно, р„(х) = С(х — а)" (х — Ь)", (9) где С вЂ” какая-то постоянная. Отсюда ха (х) = С вЂ” а ((х — а)" (х — Ь)"). 258 числвнноз диеезгвнцигованиз и интзгвиговлнив (гл.

3 С подбираешься из того условия, что коэффициент при х" в и!л(х) равен 1. Легко видеть, что л! С= — ' (2л)! ' Окончательно получаем: л' а (х) = — ' — ((х — а)" (х — Ыл). (2л)! лхл (!0) Последовательное применение теоремы Ролля показывает, что все корни уравнения а„(х) = 0 действительны, разлячны и заключены в интервале (а, Ь). Таким образом, их действительно можно использовать в качестве узлов ин|ерполяции и полученная при этом формула численного интегрирования будет удовлетворять поставленным условиям. В глазе 5 будет показано, что и при произвольном весе р(х) многочлены а„(х) будут иметь п действительных различных корней, принадлежащих интервалу (а, Ь).

у(х) = Н(х)+(х — х)'(х — х~а... ... (х — х„)')'(х! х,! х,! х,; х,; ...; х„; х„). (11) Многочлен Н(х) имев~ степень 2и — 1, Следовательно, ~р (х) )' (х) г(х = ~ р (х) Н (х) е!х+ ь +' ~ Р (х) мл(х)У (х! хн х1!хе! ха ...' х,' х„) с(х = а л ь \т (л! Г с, Н(хг)+ р (х) юл(х)Г (х; хп х~, 'ха! ха!..., 'х; х ) Их = я ! и л ь )Лс~"~(х!)+ ~Р(х)аа(х)) (х; х,; х„х,; х,;...; х„; х1)в!х. (12) 2. Ос~а~очный член формул Гаусса. Исследуем ~еперь остаточный член полученных формул численного ин~егрирования.

Пусть ) (х) — произвольная, достаточное количество раз дифференцируемая функция, Построим интерполяционный многочлен Эрмита, принима!опций в точках х„х„, . „х„(корнях ал(х) = 0) значения У(ХД, у(ХД, ..., у(хл) и имеющий в этих точках производные, равные соответственно у'(х,), у'(хд, ..., у'(хл).

Если обозначить этот многочлен через Н(х), то 5 51 ФОРмулы чиСЛеННОГО интеГРиРОЯАния ГАУССА 259 Таким образом, остаточный член будет иметь вид ь Й ()) = ),9 (х)22а(х)) (х; х1,' х21 х21 хз,'...', ха! Ха)а!К. а (13) Так как р(х) 22'„(х) не меняет знака на (а, Ь), то Й ()) = У (1; х,; х,; х„х,; ...; х„; х ) ~ Р (х) 122 (х) 1)х = а у!2а) / р(х)12„(х)2Х, (1, 2)~(а, Ь)). а ~ 22л(х) 22а (х) а1х = — ~ рг (х) ш„(х) 2(х = а а ь ь = ~ Ф2(х) а„(х) ах= ... =( — 1)" / 1~ (х) а11а1(х) с1Х= а а ь =( — 1)" л! ~ Фа(х) 12х. а Далее, снова применяя последовательное интегрирование по частям, получим; ь ь у„(х) 1(х = —, (х — а)" (х — Ь)" 2(х = (2л)! л а а ь л!л / (х — а)""'(х — б)" ' (2л)1,! л+! а ь ((л1)2 ( (х 2)2а ( 1)а( 1)2 (Ь )2аь1 (2л)1,/ (л+ 1) ...

2л ((2л)1!2(2л+ 1) а Итак, при р(х)= 1 2 12 1 2 (Ь вЂ” а)2"+' (л1)4 1еа! ((2л)1Р (2л+ 1)2 И в этом случае при р(х) ==.1 можно упростить выражение для интеграла, стоян!его в правой части. Будем иметь: 260 численное диьььвгвнцигованив и интвггивованив (гл.

3 3. Коэффициенты формул Гаусса. Найлем теперь выражения для коэффициентов при )(ха), полученных формул численного интегрирования. Для этого рассмотрим функцию фа „(х)= ~ Р (х) Ф, (х) а!х = !Ь с(л!фьа „(хг) = с~"!фь„„(ха), Ото[ода ~ Р (х) ( а „(х) Их ~ Р(х) Фа (х)лх с<ю а (15) Фа, л(ха) /я ел (ха) Отметим здесь же, что все с!"! положительны.

При Р (х) = 1 можно получить более удобные выражения для с<л>. Для этого применим к числителю правило интегрирования по частям. Будем иметь: ь )' (*) ( ',() ~ Я ь ь л (х) л„(х) лх еь (а) л~ (ь) х — ха а — ха Ь вЂ” ха и ь х — ха а Подсчитаем значения а'„(а) и а'„(Ь), По формуле )!ейбница имеем: л! 0л ы (х) = — — 1(х — а)" (х — Ы"1 = (2л)! ахл ~л-а (2л)! ~а ~"Лха 1(х а) 1 л а 1(» а-ь Отсюда а (а) = — ' л! (а — д)л = ( — 1)", (б — ау' л! л „(л!)я л (2л)! (2л >! л! и (л!)ь л 1 ( а ) л ( б а ) (2л)! (2л) ! Квадрат этой функции является многочленом с~еисми 2л — 2. Сле- довательно, 261 ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ГАУССА Таким образом, „'(Ь) в„(а) (л!)4 (Ь вЂ” а)ав 1 1 х>, — Ь х» — а1 Ь вЂ” х>, [(2л) >[э а — х» (л!)4 (Ь вЂ” а)~+' (х» — а) (х» — Ь) [(2л)![з Функция в (х) ш„(х) х — х>, является многочленом степени 2л — 2.

Поэтому ь в 2 а>х = 2 ~ с< --Х Ф (х) в (х) ц« в> вв(х<) в (х<), <в> ж, х — х>, .2~ Хг — Х» а < 1 Итак, ь «„>,т !' (л!)4 (Ь вЂ” а)Я"+' <в> с» ~в( й) ф» в(х)а>х= [(2 )>[,( а)(х Ь)+2С»" ы (ха). а Отсюда (л!)4 (Ь вЂ” а)~в»' (16) [(2л)> [Я (х» — а) (Ь вЂ” х») в„(х») ЗГО И ЕСТЬ ИСКОМЫЕ ВЫРажЕНИЯ ДЛЯ КОЭффИЦИЕНтОВ С<в>. Произведем в ув(х) замену х на, +у. Получим: Ь+а т, е. ув(х) симметрична относительно прямой х= . Отсюда а+Ь 2 следует, что и корни уравнения ыв(х) =(> будут симметричны отно- а+Ь сительно точки х = .

Характеристики

Список файлов книги