Том 1 (1160083), страница 38
Текст из файла (страница 38)
За приближенное значение второй производной при численном диф- ференцировании будет приниматься 222 численнОе диФФеренциРОВАние и интегрнРОЕАние [гл. 3 Таким образом, остаточный член в етом случае примет следующий ВИД1 + 2 "„ ~ (Х; Х; Х11 Х,; ...;Х„) +2аз„ (Х)у (Х; Х; Х; Хр; Х,; ...; Х„) Имл (х) (10) или Ф (х) У~ + ~(е) + И"' (х) У~ '61) 1 2,„(х)У~ (са) ахз (л+ 1)! Их (л+ 2)! " (л+ 3)! Если х принимает одно из значений хе, х,, ..., хан то последка[и член справа обратится в нуль и остаточный член упростится.
ааналогичные рассуждения можно провести и для любого й (л. В общем случае получим: уЧЮ(х) = й[[1'(хр; х,; ...; хь)+(ае-[-аа-+... -+а )у(хе; х,; ...; ха+1)+ -[-(арпа+враз-+ ... -[-аааа,„,) )С' ХП .;,;...; „Д+ ... -[-(;,.... а+... ° ° ° +аа+ааааа ° ° а~-1)У(хе: ха: ° ° ° ' х~)[ -[- ~а +-„— „[аз„(х))'(х; хе; х,;...; х„)[. (12) Для упрощения остаточных членов нам понадобятся выражения И за — у(х; х„х„...; х„) (т (п).
Покажем, что — /(х; хз; х,; ...; х„) = т! Г" (х; х; ...; х; х,; х,;...; х„). (13) тР1 раз Как зто следует из предыдущего, при ла = 1 и 2 зта формула справедлива. Предположим, что она справедлива при ла=г, и докажем ее справедливость при ла = г[-1, В силу нашего предположения Иа „вЂ” „г" (х; х; ...; х„) =г[Г(х; х(...; х; хе; х,; ...; х„) гз! раз — „—, г(х; х„; х,;...; х„) = г! — у (х; х;...; х; хр; х,;...; х„). а+1 раа 223 $ 2! ФОРМУЛЪ| ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Воспользуемся опять определением производной ар"+'У(Х; Х,; Х11 ..., 'Х„) Лх"" у(х', х'...,; х'! х,; х,;...; х„) — у(х; х; ...; х; х„; х,;...; х„) Н-1 раз г+! Раз = Г! !Нп Ф' ФЖ х' — х Выражение в числителе последней дроби можно записать в виде гт1 ~~.', (1(х'! х';...; х'; х; х;...; х; х;...; х„)— » раз ае1-» раз — й*' " " " . *: ' : .' " ' " : *.1) = +1 = (х' — х)~ у(х'; х'! ..,; х'; х; х;...; х; х; х,;...; х„).
» раз «+2-» раз Таким образом, и формула (!3) доказана. В силу доказанной формулы остаточный член при численном отыскании производной порядка л может быть представлен в виде я = ~)„С» — „«,у(х; хе, ...,. х„) „„,", 2-0 у (.; ...; '; ..; „ ..
' ..) »Ф1 раа (14) или » Й = ~~)~~ У<" з."1! (с ) в!"-1! (х), (15) »! (» — 1)! (л+ Г+ 1)! 1 л а 0 Где 21 — некоторые точки, заключенные в интервале между наиболь- шим и наименьшим из чисел х, хе, х,, ..., х„. Еа " /(Х; Хз, Ха,...', Хл) лх'+1 «+! = Г1 !1ш р, У(х'!...; х'! х;...; х; хр; х,; ...; х„) = » раз з-~-2-» раз =(У+1)! у(х; х;...; х; хе; х,;...; х„). г+2 раз '224 числвннов дияявгвнциговлнив и интвггиговлнив (гл.
3 Если точка х находится вне отрезка, солержащего точки ха, х, , х„, то остаточный член может быть представлен более простым выражением. Для этого рассмотрим многочлен <,»(х) = Е„(х) +Се„(х) (С = сопл<). Он совпадает с функцией 7"(х) в точках ха, хн ..,. х . Подберем постоянную С так, чтобы в точке х', для которой производится оценка, имело место равенство <)<"» (х') = 7.я<" (х') +- Со4" ,(х') = у<"» (х'». Это возможно, так как все корни уравнения и<а»(х) = О лежат в наименьшем отрезке, солержащем ха, х„..., х„. Рассмотрим вспомогательную функцию т (х) = 7 (х) — Ь„(х) — См„(х). Эта функция обращается в нуль в точках ха, х„..., х„. Следовательно, первая производная ее обращается на наименьшем отрезке, солержащем точки ха, х,...., х„, в нуль по крайней мере и раз.
Проводя те же рассужления лальше. получим, что производная порядка я обратится на этом отрезке в нуль по крайней мере и + 1 — А раз. Но в силу выбора С она обратится в нуль и в точке х', лежащей вне этого отрезка. Таким образом, она обращается в нуль по крайней мере в и +2 — х точках. Снова будем последовательно применять теорему Рояля.
В конце концов, придем к выводу, что производная порядка л + ! обращается в нуль по крайней мере в одной точке Е Но фя+'»(х) = у<" г'» (х) — См<"э'» (х) = у<"+'»(х) — С(л-(- !)< Отсюда и <яэ!) ! (х') — 7.„» (х') = ( ) м<л» (х'). (л+ 1)< я (! 6) Получили более простое выражение остаточного члена. Рассмотрим пример на применение формул численного лифференцирования.
П р и м е р. По таблице 16' 20' 0,275637 0,342020 225 ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ используя формулы численного дифференцирования, найти соя !5' н сйп[5'. Составляем таблицу разделенных разностей: у(хн х,е,) У(Х4 Х44Ь Х442) У(Х4 Х444 Х442, Х442) х, 7(х) 10' 0,173648 144 0 241922 16' 0,275837 17068,50 16857,50 16595,75 — 35,17 — 43,62 20' 0,342020 Отсюда получаем,) учитывая, что в нашем случае ае = 5, а, = 1, П2— сов[5'= [7 (ха; х4)+(аа+аг) 7'(хе; х,; х,)+ 180 +(пап, +свая+агав) 7 (ха; х,; хя, ха)[ — = = [0,0!70685 — 0,0002!1 +0,00000084[ ° 57,295779 = 0,965912.
180 Множитель — справа появился за счет' того, что у нас х взято в градусном измерении. Точное значение с шестью верными знаками соз 15'= 0,965926. Используя формулу для второй производной, получим: /180)2 з)п 15' = — 2 [) (ха; х,; хв) +(ае+а, + аД ) (хе; х,; ха; х,) [1 — ~ = = 2[0.00003517 +5 0,00000084[3282,8063 = 0,257027. Прн этом Фа (х) = (х — 10') (х — 14') (х — ! 6') (х — 20~ [ — 1, )130) ' Фа (х) = [ (х — 14') (х — 16') (х — 20') + + (х — 10') (х — ! 6') (х — 20') + (х — 10') (х — 14') (х — 20') + +(х — 10')(х — 14')(х — 16') [ ! — ' [ . 1180г Точное значение з!и !5' с шестью знаками равно 0,258819. Расхождения получились довольно значительными.
Это и естественно, так как функции могут быть и очень близки друг к другу, но иметь сильно различающиеся производные. Произведем оценку погрешности. В первом случае остаточный член будет иметь следующий вид: Ум) (80 4 У(ь) (4 ) 41 2 51 22б численное диеевгвнциговлнив и интвггиговлнив [гл, 3 При х = 15' получим: вз(!5 ) = 25.0 000000092, в,'(!5 ) = О.
Таким образом, [ Я[ С вЂ” 0,000000092 — 0,0000000!9 . !(= ') в" (х)+2 ') в'(х)+2 (') в (х) 4! вз х 3! з 61 При этом вз(15)=(!80) [ 52[ — — 0 0003 52= — 0 00!56. Таким образом, [!э[ < '66136 + '26 ОООО(ЯЮ692 = О,ооообб. 24 720 И в этом случае вычислительная погрешность очень велика. 2. Формулы численного дифференцирования для равноотстоязцих узлов. Если узлы интерполирования расположены через равные промежутки, то удобнее использовать соответствуюшие интерполяционные формулы.
Так, например, взяв интерполяционную формулу Ньютона для интерполирования вперед у(.) = у (.. +гй) =-.у.+г.у', +'",, "у',-+ '" ! (! — !) (! — 2) (! — 3) 4! з в результате последовательного дифференцирования получим: ЛУЛ! 1 [ у~ +2! — ! +3!я — 6!+2 .з + ШЙх л~ 1 2! з 3! з 4Р— 18!я+ 2И вЂ” б 41 ~в+ (13) ( х ) 1 .а+Я вЂ” б .з+ 12!я — 361+22 + 3! 4! з У',+' 4!" У;+.. 1. ув(~)= р Эта величина значительно меньше фактически полученной погрешности.
В данном случае вычислительная погрешность значительно перекрывает погрешность метода. Во втором случае 227 9 2] ФОРМУЛЫ ЧИСЛЗННОГО ДИФФВРВНЦИРОВАНИЯ В частности, при х = х будем иметь: 1 «1 з 1 (! 9) (20) Здесь предполагается, что формальное разложение !и (! +Ь) = ая д« 2 =Ь вЂ” — + — — ..., доведенное до постоянных разностей, формально возводится в степень как многочлен. Дадим операторный л' вывод этой формулы. Если оператор — обозначить буквой А), то лх формула Тейлора 1(хе+И) — Г(хд+Ч (хэ)+ Г (хе)+ может быть записана так: 1(хо+И) =~!+ И() + — 0'+- ...) Г(хе) (1+д)Г(хо) = е" .Г(хо).
«и или Отсюда Беря логарифмы от обеих частей равенства, получим: ()= 1 1п(!+Ь) или О 1 (!и(!+Ь)) Получили как раз то выражение, которое было дано выше. Проверим наши формулы на примере многочлена, для которого они должны давать точные значения производных. 11ри мер. Найти методом численного дифференцирования производные первых трех порядков для многочлена х' — 2х — 5 в точке х = !. Если использовать значок Ь для разностей, то последние формулы будут иметь следующий, легко запоминающийся операторно-символический вид: 228 численное диФФВРенциРОВАние и интеГРВРОВАние )гл.
3 Составляем таблицу разностеи: уз 17 1б 18 35 51 24 59 5 По нашим формулам получаем: х М7 — — + —, )з=1, У(1)=б 6+2 — 1 ду' азу Азу Дх 2 3 Последовательные производные будут иметь вид йЧа(~) =7„+11,+'"',, 'У:+" . 7з'у" (х) = 70+ Г7ч+ ... (22) В частности, при х= ха О) .70 31 А) + 51 з (21)з )ззгаа(х ) агз 31(1 + 2 ) гз+ 0 0 5! 0 (23) Если использовать другие формулы интерполирования, то можно получить другие формулы численного дифференцирования. Возьмем, например, формулу Стирлинга ~(х) =У(хо+7з() =.70+~У,'+ 21 У,'+ еогмклы численного диеевввнцивовлния Если взять формулу Бесселя «(!в У(~)=У, +(Š— —,') У', +'" — ') У', + 3 а а Е (Еа — 1) (Š— 2) 4! (24) то получится: ЗЕз — ЗЕ +— 1 2 2Š— 1 а + —,— у, з уз + 4! (25) Еьау'"(х) =г', + 41 а а и при к=ха 1 — — У'+" 12 а У ( з) =Уь — 2 г'ь 3 а лау" (х,) = г', — — г, з а азуьл (х ) = уз ! у4 ь з Мы уже получили выражение оператора дифференцирования Е) через операторы Е1, Е!а, ЕГз, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
