Том 1 (1160083), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Показать, что значение х в максимуме или минимуме приблизительно равно (Ьо — ат)У(а)+ (с' — а') У(Ы+ (аз — Ьс)У(с) 2((Ь вЂ” с) у (а)+ (с — а) у(Ь)-1-(а — Ь)у (с)) ' Числа хр, хд, ..., х„произвольны: Доказать зто и найти формулу для Р(х). 1б. Пусть многочлен у (х) = архи+ адхя-д+ ... + а„дх + аи 14.
Для любых л+ 1 чисел ср, сд, ..., с„возможно и притом единственным образом построить многочлеи Р(х) степени, меньшей или равной и, удовлетворяющий условиям ° (х) =ср» Р (хд) =од, ..., Р(я)(хи)=с,„ 209 нпгажннния имеет отличные друг от лруга нули хт,хз, ..., х„. Тогда "=Х ха ( 0 при 0~а~и — 2, (Хч) Л 1 Прн Л П 16. При тех же прелположенияд Ах~ ~у (х,) — х~у (хч) [ 0 при 0 [г'(хч)[ ) по а при Л <Л<2п — 2, = 2п — 1. 17. Если, кроме того, х„отличны от 0 и — 1, то = ( — 1)" [1 — хгхт х„[. ч 1 х = —, Оценить погрешность. 12 ' 19. Зная соз х при х = О, —, —, —, —, найти 6' 4' 3' 2' Оценить погрешность. 20.
Лана таблица: л соз х при 'х =— 12 ' х 340 370 2,5563025 2,5682017 2„5314789 Найти !д 355. Оценить погрешность. 21. Лана таблица: 0,176327 0,267949 ) 0,363970 0,466308 1О' 15ч ) 20ч 25' асс гй х Найти агс19 0,3. Оценить погрешность. х2. Лана таблица: х 33' 40' 00" 33' 40' 40" 33' 41' 1бч 33' 42' 00" 33' 42' 10" созх ( 0,832277 ~ 0,832169 ~ 0,832089 0,831954 0,831927 Найти соз 33' 40' 11уч и 11п 33' 40' 1О". Оценить погрешность. 18. Зная значения Ыпх при х= 0, —, —, —, —, найти з1пх при 6' 4* 3' 2' 210 тногия интвгполиговлиия н нвкотогыв ев пгиложвния [гл.
2 23. Лана таблица: х 18' 20' ОО" 18' 20' 10" !8' 20' 50" 18' 21' 00" 18' 21' 40" 0,314591 0,314775 0,314821 0,315005 сов х 0,314545 Найти з!п!8ь 20' 30". Оценить погрешность. 24. Пусть в качестве базисных функций для интерполирования выбраны е""', е"'*, ..., е ", где ໠— некоторые действительные числа, а» ~ аз при» ~ /.
Найти остаточный член соответствующей интерполяцнонной формулы. 25. Лана таблица значений многочлена третьей степени: 2 ! 3 1754 3029 113 381 7(х) Известно, что допупгена одна ошибка. Обнаружить ошибку и исправить ее.
По формуле Ньютона для неравных промежутков вычислить т (1), у(4), у (7). Восстановить исходный многочлен. Ол»в. 14хв+ х — !. Ошибка прн х = 3; У(3) = 380. 28. Показать, что л-я разделенная разность многочлена л-й степени равна козффициеиту при хя независимо от выбора узлов хв, х„ ..., х„. 27. Показать, что если у(х) = (х — хв)(х — х») .. ° (х — хя) то У(ха» х»1, ' хя) = 0 (р( и) 28. Показать, что если аргументы умножить на одну и ту же постони.
ную с, а значения функции оставить неизменными, то разделенные разности У(хв! х~', ..., 'х„) умножатся на с-я. 29. Показать, что разделенные разности не изменятся, если аргументы увеличить на одну и ту же величину, а значения функции оставить неизменными.
30. Локазать; что У(х»; хз', ...', хи)= ) ... ~ 7(я 0(» х,+»ьс + ... +»ихи) а»»,Ж, ... »»»я, где интеграл распространяется на все положительные значения »», удовлетворяющие условию »т+»т+ " +»я=1. 31. Показать, что если 7(х) = т(х) ф(х), то 7'(ав! ав ...; аи) = ~~~', Р (ав; ай ..., а») ф (а»ь»1 а»+т) ..., а„). »-а 2! ! УпРАЖнЕНИЯ 32. Обобщить предыдущую формулу на случай Д сомножителей, т.
е. показать, что если 7(х) = То(х) Рз(х) . - Ра(х), то 7 (ао) лт! ...! а ) = = т',ТГ(ае! а,; ...; а;) ТЗ(аз+т1..., ат,) . Та(ао ОГ! °: Пи) где сумма распространена на все значения Гп то, ...,!Аог, удовлетворяющие неравенствам 0<1,<го< ... <1О о <и. к у(х) 7 (х) 0,231422001936 0,232125550246 0,2328296%032 20 22 24 0,229314%5248 0,230016702495 0,230719052039 26 28 30 Найти У(21) и 7(29). 39. Лана таблица: у (х) 7 (х) 0,5633233 0,5716157 0,5798158 0,55 0,56 0,57 0,5292437 0,5378987 0,5464641 0,5549392 0,51 0,52 0,53 0,54 Найти У(0,5124) и У(0,5716). ЗЗ.
Конечная разность первого порядка функции у(х) имеет вид охо+ Зло+ тх+ 3, Найти, какой вид имеет /(х). 34. Лана таблица натуральных синусов с шагом в 1'. Какова наибольшая погрешность линейной интерполяции) Тот же вопрос, если шаг равен 1', 1е) 35. Лана таблица натуральных логарифмов чисел от ! до 1О. Какова наибольшая погрешность линейной интерполяции, если шаг равен 0,0017 2 /' 36. Таблица интеграла вероятности — 1 е ~ па от х = 0 до х = 3 дана о с шагом 0,001. Какова наибольшая погрешность линейной интерполяпииу 37. Таблица ее дана от 0 до 1 с шагом 0,01. Какова наибольшая погрешность линейной интерполяции? 38. Лана таблица: 212 теогия интегполигования и нвкотогык вв пгиложения !гл. 2 40. Лана таблица: У(х) У(х) 1 769 589 805 1 772 478 361 1503 1501 Сгустить таблицу до шага 0,1, 4!.
Дана таблица значений полного эллиптического интеграла первого рода К(а): К (а) К (а) Получить таблицу с шагом в ЗО'. 42. Дана таблица пятизначных логарифмов чисел: 310 320 330 2,47712 2,49136 2,50515 2,51851 !он х Составить по ней таблицу с шагом 1. Сравнить результаты с табличными. 43. Лана таблица: х 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 1,127Я 1,15510 1,18547 1,НИМ ) 1,66188 ) 1,мЮ~ о02я ейх Сгустить таблицу в пять раз. Сравнить результаты с табличными. 44.
Взяты 2г+1 различных значений й О, ш тт; 'ь тт;...; ш тг. Выписать ннтерполяционную формулу, использующую узлы хз = а, хт„= а — (,И, хэ т = а+ тгИ. Найти остаточный член этой формулы. 1500 1501 1502 75' 76' 77ч 78 79' 1 760 912 591 1 7Я 806 922 1 766 699 326 2,76806 2,83267 2,90256 2,97857 3,06173 80' 81' 82' яч 84о 3,15339 3,25530 3,36987 3,50042 3,65186 УпРАжнениЯ 4б.
При обозначениях предыдущей задачи и при Р(') ='П("-'~) Рг(') ='И((* — 'А) й-! й-! й.г! будут иметь место следующие формулы: г У (а + У Л) + у (а — И) = д %"4 УРу! (У) 14 УВРВ(УВ) (у(а+ Уйл)+У(а — гйл)) + а й ! где Р =йлщчягР (у) у (а + и; а; а + уул; ...; а ч- угл) у'(абдулу — х (а — и) = т (у'(а+гйл) — у (а — уйл))+ ух, %! РВ (У) дьа РВ (Гй) В ! где Л = Лаг" уР (У) тУ(а+ И; а; а + Ууй; ...; а + У Л) + +У(а — И; а; а Ч' У, Лх ..! а Л Угй) 46.
Доказать, что при тех же обозначениях и при обозначениях н(у) = ц(уя — гй), н, (у) =П(у' — гй) й ! й ! ВЯ! будут иметь место следующие формулы: у(а+И) = — т 1 %ч Нй(Г) 2 д'и Уу,Ну,(ГВ) Нг+ Уй) 1(а+ Уйл) — (У вЂ” Уй) У(а — Уйлн+ Ус, В-! где Л=Л Н(Г)у(а+уй!а+Гуйу...; а+(Л) у(а — Лу) = — у " ((у+ уй) у(а — уйй) — (à — уй)у(а+ Гу,й)1+ ус, Н, (У) 2 ья уйН» (уй) й! где й = ЛзгН (У) У(а — И; а + У,Л;...; а + У„Л). 47. В прежних обозначениях имеют место следующие формулы: Г у(а+уй)+у(а — (Л) = 7 (у (а+(ВЛ)+у (а — ГВЛ)) +Р, %" НВ(У) ?4 НВ(УВ) В-! где уг = Ла Н(Г) (у (а + И; а + Ггй;...1 а + У Л) + У(а — И; а + (уй)...1 а + Ггй) У(а+И) — У(а — И) = т — (у(а+УВЛ) — у(а — (ВЛ)1+ Я, %-т УНу, (У) а уйнй(гй) й-! 214 теогия интвяполиговлния и нвкотогыв вв пгиложвния [гл.
2 где Я= 2ягс+к(Н(Г) У(а+ И; а ~ Гкк!; ...; а + Гтя), 48. Вывести формулу .ге к -! у(а+ И)+у(а — И) = 2К"(а) — 2 — 4 е (Г! — Г!)+ КС, .йй (2Я)1 П4 й ! ! е где (йе+в) а (() язве! ц( ! а) (2а+ 2)1 49. Вывестн формулу у(а-(- И) — у(а — И) = ~~): где (е~и.к! с 2 У () Лев+к,п (Г! Яй) (2п+ 1)1 в-! БО. Вывести формулу у (а+ — + И) + у (а+ — — И!) к,гд-е е а =у(а)+у(а+ й)+2 1) П(г! ( ) ~+кг, где л-! 51. Вывести формулу у(а+ — +ГЛ к — у1а+ — — И) = где Я=2 Г (с) йв"+!к~: ~(Г! (2й — 1)~) й ! 215 упРАжнения 52. Построить интерполяционный многочлен Эрмита по следующим данным: — 1 0 уз многочлен Эрмита по следующим Отз.
— хз (5 — Зхэ). 1 2 54. Пусть интерполяционный многочлен Эрмита ищется методам неопределенных коэффициентов, т. е. рассматривается многочлен Р(х) = се+ с,х+ ... + с1зхм с неопределенными коэффициентами и сз, сь ..., сы подбираются так. чтобы з=0,1,..., а,— 1, Р(ю( )=ум', ' '"" ' ' =,+ +".+.— 1. Л = 1, 2, ..., и, Показать, что получающийся при этом определитель отличен от нуля и вычислить его. 55. Показать, что (хт; ...; х„хэ;...; хэ;...; хль ..., хя) з.
ть и 1 Р-т =~) (11~ У(т... ~ ф.У(-1)(у)а з а е Ов1з. — — хз+ — х' — — хз+ хэ+ 1. 37 65 117 8 4 8 зЗ, Построить интерполяциониый данным: о ! ( 216 тногия интнгполигования и инкотогыв вн пгиложвния [гл. 2 где У = (1 Г~) хс+ (Гс — Гз) хе+ ... + (Гр-т Гр-т) хи 1+ Гя-!хи, (1 — (т)"-'((,— (т)" ' ... (Г, т — Г, т) и-' (иг 1)1( е 1)! (ир 1)1 ЛИТЕРАТУРА 1. Ш, Е. М и к е л а д з е, Численные методы математического анализа, Гостехиздат, 1953. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
