Том 1 (1160083), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Будем разыскивать многочлен Рз(х, у) второй степени, принимаюЩнй В ЭТИХ тОЧКаХ СООтВЕтСтВЕННО ЗНаЧЕНИЯ Яо, Яо Ем Хз, г4, Хо. Для этого построим определитель второго порядка: (Г1 Гзз) Гз. Гм) (Г 1 Гзз) (Гзз Гзз) ' (Г1 '1з) (' з ' м) (гы ' 1з) (г з гзз) (б) Этот определитель является многочленом второй степени относительно х и у. Он обращается в нуль в точках (х,, у1) (хм Рз) (хз Уз) («4, У,), так как при этом обращаются в нуль элементы первого столбца. Он обращается в нуль и в точке (х„, уо), так как при этом первый и второй столбцы совпадают, Нужно еще убелиться, что наш определитель не обращается ~ождественно в нуль.
Прежде всего заметим, что второй столбец в нуль не обращается. Действительно, если бы он обращался в нуль, то иэ выбранных нами шести точек по крайней мере четыре лежали на одной прямой. Но в этом случае все шесть выбранных нами точек лежали бы на одной кривой второго порядка, распадающейся на две прямые, одна из которых проходит через четыре указанные точки, а вторая — через две остальные.
Если бы наш определитель тождественно обращался в нуль, то нашлись бы две постоянные а и Ь (а'+Ьзчь О) такие, что а(г„, Г*, ) (г, г* )+Ь(ГР Г*, ) (г, г').= О. ! (гш, г, 4)(гоз, гзз) (г „г, )(гав гд ) (гозгзз)(гозгм)(г41гзз)(го гз4) (6) получим многочлен второй степени относительно х и у, обращающийся в нуль в точках (хп уг) (4 = 1, 2, 3, 4, 5) и равный единице в точке (хо, уо). Аналогично можно построить многочлены второй Это невозможно. Тождественное обращение в нуль этого выражения будет только в том случае, если четыре точки (х,, У,), (х,, у,), (х,, У,), (х,, У,) лежат на одной прямой.
Поделив наш определитель (5) на й 121 интеРпОлиРОВАние Фхнкций многих пеРеменных 188 степени, равные единице в каждой нз точек 1хп у;) и обрашаюшийся в нуль в остальных заданных точках. Тогда, так же как и в предыдущем случае, строим многочлен Р21х, у), Он может быть записан в виде !!ГР ЪК! '!3 / (Г5! Г!3) (! "2 Г24) (Г5!' Г13)(г:3' ! 34) ~ (! 5!' ! !3) (Г53' ! 24) ! (ГР г!3) (гз ! зз) (ГР Г13) (Гз, Гз!) Р21х у) Ео ! (го1 Г1з)(' оз гзз) ('о! 'М)('33 'ы) (гз г2з) Гг4 гз ) (гз, гзз)(гз, гы) (Гоз Г23)(Г04 Г1 ) (г, г )(гоз, г .) (Г,,г,)(1,! .) Ггго гы) ( гоз Г35) (Г13, Г34) (! 1Р !'-0) (г!3 ' зз)('14 'зо) + +аз (Г24' Г45) (Гзо Г01) (1, г ) (1,„-, г,) (г, гзо)(г, г, ) (гз, 1,„)(!.,„г, ) 17) Получилось очень громоздкое выражение. Оно станет еще более громоздким, если расписать все определители н скалярные произведения.
( !2' '3) (Г!4' Г45) (Г12' Г24) (Г13' 35) (' з ' ы) ('5 ' зо) (' з ! а)('4 '4о) (гзз гз4) (г ' Гоо) ( Г2М Г3 ) (Го!, Гзо) (г4 гз ) (го гы) ( 4' 40)( 5' ! 5!) ! (Г45, Гзв) (!'41, Г14) ( 45' 51) (! 40' ! ОЗ) (го гы)(гз (г, !. )(ге г, ) ! (гвз Г01)(гзз, г ) (г,,г )(гпг,) (г!3 гзз) (г!5 ггм) (гпо г .) (гьп г ( Ы' 45) ( 40' О!) (!2, г )(г ., г,„) (г, гд) (г, г,) (г, г ) (гзм гз,) ( 39 50) ( 31' 12) (гы гы)(гзо гоз) ( 35' 50) ( 3! ' 12) (, 5!) (Гам Гов) (гзо г01)(г43 гы) ('4О 'Оз) ('40 '14) (Г40, Г01) (! 43, Г23) (г,го)(г Ог,) 186 твоеия интвгполивования и нвкотовыв вв пвиложвния [гл.
2 Идя по этому пути, можно написать явные выражения интерполяционных многочленов третьей и более высоких степеней. Мы здесь это~о делать не будем, а рассмотрим один частный случай расположения узлов, 2. Обобщение интерполяционных формул Ньютона на случай (и+ 1) (и+ 2) функций многих переменных. Возьмем узлов, расположенных следующим образом: (хо Уэ) (хг Уэ) (хэ, у,), (х,, у,), (х„,, у„), (х„, у„), (х„,, у,), (8) (хэ, у„,), (х,, у„,), уха ~хэ при г~ц (хэ, у„) [,у; ФУГ при 1~ г ) Значения х; и у) мокнут быть произвольными, так что взаимное расположение узлов может быть ловольно общим. Проверим, что чет кривой и-го порядка, проходящей через все эти узлы. В самом деле, если бы такая кривая имелась, она содержала бы точки, расположенные в первом ряду.
Этих точек и+1, и все они лежат на одной прямой. Следовательно, вся прямая также принадлежала бы кривой порядка и. В этом случае кривая порядка и распадается на прямую и (и + 1) и кривую порядка и — 1, проходящую через остальные 2 точек. Для нее можно было бы провести аналогичные рассуждения, Продолжая этот процесс, мы в конце концов пришли бы к заключению, что три точки (хэ, у„,), (х,, у„,), (хэ, у„) лежат на одной прямой. Этого нет. Следовательно, выбранные нами узлы не могут лежать на одной кривой порядка и. Построим теперь интерполяционный многочлен по нашим узлам.
Обозначим его через Р„(х, у), а Р„(хо у) через з;у. Если рассмотреть только те нз выбранных нами узлов, для которых 1-[-У ( и, то на тех же основаниях мы можем построить интерполяционный многочлен Р,,(х, у) степени и — 1, принимающий в точках (х;, у)), 1-~-/( и, аначения зм. Образуем разность Р„(х, у) — Р„, (х, у). Она будет являться многочленом степени не выше и, обращающимся в нуль в точках (хо уу), г+у(и. Будем разыскивать ее в виде Р„(х, у) — Р„, (х, у) = А„э (х — хэ) (х — х,) ... ... (х — х„г)+А„ь, (х — хэ) ... (х — х„а)(у — у)+ +Ал-,а(х--хэ) - . (х — х — я)(у — уэ)(у--уд+...
+Аа„(у — уэ)(у — у,) ... (у — у,). (9) й 12! интвгполиеовлнив егнкций многих пвгвмвнных 181 Покажем, что действительно можно так подобрать постоянные А„<;, что этот многочлен, обращающийся в нуль в точках (х;, у)), <+.у ( и, будет равен Р„(хн Уу) — Р„, (х;, УГ) при 1+)'= л. В точке (хп у„<) все члены его обратятся в нуль, за исключением Аи о-< (х< — хо) ... (Хг — х< 1) ( к„г — У ) ... (Уо г —.Уи-г-г). Таким образом, коэффициенты А; „, определятся однозначно.
В силу единственности представления интерполяционного многочлена по выбранным нами узлам это и будет единственным значением разности, Итак, Р„,<х, у) = Р„ ,(х, у) +- ~ А„ ,,(х — ха) <-о (х — х„г,)(У вЂ” Уа) ... (У вЂ” У<,), <1О) Поступая так же с Р„,(х, у), а затем с Р„,(х, у) и так далее, получим: Р„(х, у) =- Ага+ А1о(х — хо) + Аог (У вЂ” Уо) + Аао (х — хо) (х — х,)+ +Ам<к — хо)(У вЂ” Уо)+Аоз(У вЂ” Уо)(У вЂ” Уг)-<- ... ... +А,(х — ха) ...
(х — х„,)+ А„,, (х — ха) (х — х,) ... <х — х„. )(У вЂ” Уо)+ . +А,(У вЂ” Уо)(У вЂ” Уг) <У вЂ” У ). (11) Выразим теперь коэффициенты АВ через значения функции ам.=-у'(хы х,). Подставляя в правую и левую части равенства (х,, Уо), получим Аао — — У(хо, уа). В точке (х,, уо) Р„=< (хг, уо) а правая часть равенства (11) равна Ааа-<-Ага(х,— ха). Следовательно, у(хг уо) — у(ха уо) Аг = х,— ха (12) Р(х, уо)= Аао+-Ага(х — ха) +- ... + А„а(х — х,) ... (х — х„,).
Это интерполяционный многочлен относительно х, принимающий в точке (х;, уо) значение 1 (х<, у„). Следовательно. Ао = 1 (хо' хь' ° ° ' хб Уо). (13) Это отношение является разделенной разностью функции у'(х, У,) при фиксированном у=уа, Мь< будем его обозначать у(хо; х,; у ). Аналогично полУчим Аы — — < (хо; Уа; У,). ЗафиксиРУем тепеРь У, пРидав емУ значение, Равное Уа.
ПолУчим: 188 таовия интвеполивов»ния и нвкотовыв вв пеиложания [гл. 2 При у =у, наш интерполяционный многочлен примет вид Р (х У!) =- [А»о+ Аог (У~ — Уо)[ + [ 4|о+ Ап (У1 —.Уо)! (х — хо) + + [Аао-[- Аа| (Уо — Уо)! (х — хо) (х — хг)+ .. +[4о-ьо+Ав ьг(у~ Уо)[(х — хо) . ° (х — хо-а)-'— + Ало(х — хо) (х — х1)... (х — хо .1). Этот интерчоляционный многочлен относительно х должен в точках (хну,)([=0, 1, 2, ..., и — 1) принимать значения у(х;, у,). Последний член при этих значениях х; обращается в нуль. Следовательно, все члены правой части, кроме последнего, дают интерполяционный многочлен Ньютона степени а — 1, принимающий в точках (хо у,) (1=0, 1, 2, ..., и — 1) значения )''(хн у,).
Таким образом, А»о.+А»г(У1 — Уо)=((хо' хь', , 'х»' ,Уг). Отсюда У(хй х; ...; х», У,) — У(хо', хб ...; х»; Уо) »г= У| Уо Выражение в правой чзсти имеет вид разделенной разности по у и будет также называться разделенной разностью. Итак, А„, =У(хо' х,; ...; х»' Уо', у~). (14) Вообще, если мы уже знаем, что Аы =г'(хо, хо -, х», 'уо, у, ° °, у») для всех 1( т, то, рассматривая Р(х,у,„), получим Р(х, у )= [А +А,(у — уо)+... +Ао (у — уо) (ум — у,) ... (Ум — Упз-~) [+ [А|о+ Аг (У в — Уо) +- ...
-»- А,,„(у,„— у ) (у,„— у,) ... (у — у,) ! (х — х,) +... Рассуждая, как и прежде, найдем: А»о-[-А»г(уе — Уо)-+ +А»м(У вЂ” Уо) .. (У~ — У~ г)= =у'(хо, х,, ..., х»; у„). Рассматривая это выражение как функцию у, получим снова -4Ы=У(Хо: Х,; ...; и»' Уо: Уб .: УГ). (15) Таким образом, мы можем записать окончательно нашу интерполяционную формулу в виде о Ро(х. У)= ~' ~ (х — х,)... (х — х;,)(у — у,) ...
»-о гоу=» (у уг 1) г(хо: хб .' хб уа' уб . ° .' уу) (18) 12) интеРпОлиРОВАние ФУнкЦиЙ многих пеРеменных 189 Это — обобщение интерполяиионной формулы Ньютона для неравных промехсулчнов на случай интерполирования фуннций двух переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
