Том 1 (1160083), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Расхождения могут произойти за счет округлений. Таблица выглядит так ДЛЯ СОСТАВЛЕНИЯ ТАБЛИЦ 201 а1п х 8613,46 8600,79 8587,48 8573,53 8558,94 10о 30' 11о 11о30' 8543,7! 8527,84 8511,33 8494,18 8476,39 8457,96 8438.89 8419,18 12' 30' 1Зо 130 30' 14о 14' 30' 15о !5о30' 8398,83 — 0,64 — 0,64 — 0,64 — 0,64 — 0,64 — 0,64 \б' 8377,84 16о 30' 8356,21 17о 17о ЗУ 8311,03 !8о 8287,48 8263,29 8238,46 821 2,99 8186,88 8160,13 Рбо ЗУ вЂ” 0,64 — 0,64 — 0,64 20о 30' 2!о Расхождения с точными значениями не превышают двух единиц шестого знака, да и то в конце таблицы.
9 ! 41 ЛРименение интеРпОлиРОВАния 0,156434 0,165047 0,173648 0,182236 О,! 90809 0,199368 0,207912 0,216440 0,224%1 0,233445 0.241922 0,250380 0,258819 0,267238 0,275637 0,284014 0,292371 0,300704 0,309017 0,317304 0,325568 0,333806 0,342019 0,350206 0,358368 — 12,67 — 13,31 — 13,% — 14,59 — 15,23 — 15,87 — 16.51 — 17,15 — 17,79 — 18,43 — 19,07 — 19,71 — Ю,35 — 20,99 — 21,63 — 22,27 — 22,91 — 23,55 — 24,19 — 24,83 — 25,47 — 26,11 — 26,75 — 0,64 — 0,64 — 0,64 — 0,64 — 0,64 — 0,64 — 0,64 — 0,64 — 0,64 — 0,64 — 0,64 — 0,64 — 0,64 х02 твогия интвгполиговлния и нвкотогыв вв пгиложвння !гл, 2 ф !б.
Обратное интерполирование Часто на практике возникает задача об отыскании по заданному значению функции значения аргумента. Эта задача решается методамн обратного интерполирования. Если заданная функция монотонна, то обратное интерполирование проще всего осуществить путем замены функции аргументом и обратно и последующего интерполирования, Если заданная функция не монотонна, то этим приемом воспользоваться нельзя.
Тогда, не меняя ролями функцию и аргумент, записываем ту или иную интерполяционную формулу; используя известные значения аргумента и считая функцию известной, решаем полученное уравнение относительно аргумента. Оценка остаточного члена при использовании первого приема будет такова же, как и при прямом интерполировании, только производные от прямой функции заменятся производными от обратной функции. Оценим ошибку второго метода. Если иам задана функция у(х) и Е„(х) — интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный для этой функции по узлам хш х,, хя, ..., х„, то уш~ и (Е) У(х) ~в(х) ) ~ (х хв) ' (х хв) Предположим, что нам надо найти значение х, при котором г(х) =у -(у задано). Будем решать уравнение с„(х) =у.
Получим некоторое значение х. Подставляя в предыдущее равенство, получим: Применяя формулу Лагранжа (конечнык приращений), будем иметь: где ~) находится между х и х. Если ~а, й) — интервал, содержащий х и х и ппп (~'(х)!=т,ФО, то из последнего выражения следует: мпла,ь! При этом, конечно, предполагается, что уравнение ь„(х) =у мы решили точно. Рассмотрим примеры на обратное интерполирование тем и другим способом. 6 15) 203 ОБРАТНОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ П р и м е р. По заданным значениям функции: х 1 2 2,5 у ( — у — 1 5,625 16 7. (У+ 1) (У вЂ” 5,625) (У вЂ” 16) (У+ 6) (у — 16) (у — 5,625) + ( — 5) ( —,625) ( — 22) ) 1 +2 5 ( — 17) ( — 6,625) 3 (У+ 6) (У+ 1) (У вЂ” 5,625) 2 б (У+ 6) (У+ 1) (У вЂ” 16) 22 17 ° 10,375 ' 11,625 ° 6,625 ( — 10,375) Полагая здесь у=О, будем иметь: х = 2,122.
Пример, По заданным значениям функции: найти значение х, при котором у будет равен — 2, В этом случае функция не монотонна. Поэтому применяем вто. рой прием. Находим: (х+ 1) (» — 2)» (» — 2)» (»+ 1) 1( — 2) ( — 1)( — 3) 2 5 Полагая (.з(х)= — 2, получим уравнение для определения х: х' — 3 = 0 Отсюда х = '+ )г 3. Если число узлов велико, то применение второго приема приведет к решению алгебраического уравнения высокой степени.
Способами решения таких уравнений мы займемся позже. Здесь же найти значение х, для которого у= О. Единственной информацией о функции является данная таблица. Судя по таблице, функция монотонна. Поэтому применим первый прием. Получим: 204 твогия иитвгполиговлния и некотогыв вв пгиложвния 1гл. 2 остановимся только иа итерационном способе. Будем рассматривать только случай равноотстоящих значений аргумента.
Используем хотябы иитерполяциоииую формулу Ньютона для интерполирования вперед: При обратном интерполировании левая часть равенства известна и требуется определить 1. Для этого разрешим это равенство относительно 1, стоящего при разности первого порядка. Получим: уз г (г — 1) (г — 2) '+" 2 ууг 6 у1 1 1 я т у1 г я Полученное уравнение относительно 1 будем решать методом по- следовательных приближений.
За начальное приближение примем уг Уо ~о = у! Подставляя (е в правую часть, получим: Уа Уг — Уо Го(Го — ') Уг Гэ(тз 1)(тз 2) 2 уг б уг 1 1 з 2 Затем таким же способом из 1, получим ~а, а затем ~з и т. д, В зиачительном числе случаев этот процесс сходится и дает в пределе точное решеиие уравнения. Практически последовательные приближения закаичивают, когда два соседних приближения ие отличаются друг от друга с той точностью, которая нам нужна. Нет необходимости каждый раз использовать все члены правой части.
Обычно чем больше сделано приближений, тем больше используют членов. Обратное интерполирование может быть применено для решения уравнений. Для этого составляют таблицу значений функции и находят, при каком значении х функция обращается в нуль. Рассмотрим пример как раз такого рода. Пример. Найти корень уравнения хв — бх+3=0, заключенный между 0 и 1. Поставляем таблицу значений функции у=ха — бх+3 с шагом 0,1: 205 6 15) ОБРАТНОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ 71 уз з,ооооо 2,50001 2,00032 о! 150 180 0,2 !20 1,50243 570 о,з 1,01024 0.53125 ! З20 48О О,4 1 230 120 2 550 0,5 120 72О 4 380 2 550 120 6 930 840 3 390 120 960 10 320 4 350 14 670 Перемена знака функции при переходе от 0,6 к 0,7 показывает.
что 7(х) имеет корень в этом интервале. Формула Ньютона в этом случае примет вид: 0 = 0,0?776 — ! 0,40969 + 0,06930 -(- 2 + ( )( ) 0.03390 + ( )( )( ) 0,00960+ б 24 + ! (1 — 1) (1 — 2) (1 — 3) (! — 4) 120 Отсюда 0,07776 1 (1 — 1) 0,06930 ! (1 — 1) (1 — 2) 0,03390 + ' + 0,4О969 2 0,40969 б 0,40969 + ! (! — 1) (1 — 2) (! — 3) 0,00960 1 (! — 1) (1 — 2) (! — 3) (т — 4) 0,00120 24 0,40969 + 120 0,40969 или т = 0,18980205+ 1(1 — 1) 0,08457614+ + т(С вЂ” !)(1 — 2) ° 0,01379092+1(С вЂ” 1) (1 — 2) (! — 3) ° 0,00009763+ + т (1 — 1) (! — 2) (г — 3) (1 — 4) о, о 0000244, 0,6 0,07776 0,7 — 0,33! 93 0,8 — 0,67232 0,9 — 0,90951 1,О ! — 1,ООООΠ— 49 999 — 49 969 — 49 789 — 49 219 — 47 899 — 45 349 — 40 969 — 34 039 — 23 719 — 9 049 206 твогия интвгполиговлния и нвкотогыв вв пгиложвния (гл.
2 Последовательные приближения дают (а = 0,19; 1,= 0.1868; (з = 0,180752; тз = 0,18092680; (ь = 0 18091906' (ь = О 18091937! 1в = 0 18091936' 1, = 0.18091936. Значения тв и (т совпадают. Поэтому в качестве х можно взять х = 0,618091936. УПРАЖНЕНИЯ 1. Локазать, что совокупность функций ! х х" й(х) ' )7(х) ' ''" )7(х) ' гае 77(х) — многочлен, образует систему Чебышева на всяком отрезке, на котором Й (х) не имеет корней. 2.
Доказать, что функции ! 1 ' а,+х' ' " а„+х образуют систему Чебышева при х) О, если аа) 0 (а = О, 1, ...). 3. Найти многочлен наименьшей степени, принимающий в заланных точках заданные значения: 1,36 1,!4 3,14 4,15 5,65 Ошв.
— !4,2хз+ 28,67х+ 91,37. 2 5 ! 12 147 Отв. хз+ хт — х+ 2, х 0 1,5 3,4 6,8 3,!4 1,45 4,11 4,65 Оиш. — 0,0205хз — 0,02хз+ 2,73х+ 1,45. 20т УПРАЖНЕНИЯ 14 18 19 21 Х И 13 2758 , 5850 ( 6878 9282 у 1342 2210 Отв. — 4,1хо+ 337,8хв — 11283,9хз+ 182940,4хт — 14608!ух+ 4593561,7. 4. Используя способ Эйткена, найти указанные значения функции для следующих данных: х ~ 14 ~ 17 31 У(27) = 2 у ~ 68,7 64,0 ! 44,0 [ 39,1 Отв. 49,46.
х !00,0 ~ !04,2 108,7 /(102) = г 19.91 11,38 12,80 14,70 17,07 Отв. 15,38. 6 ( 9 0 2 У(5) = 2 у ~ 658503 704969 ( 729000 804357 830584 384736 ( 1т-$ ' Ся~-! ( 1) +1 (т+и — 2)! Х- и (т — 1)! и! ! о Указание. Применить формулу Лагранжа к функции у (х)— (и — х) (и — 1 — х) ... (2 — х) Положить хо О, И=!, х=и+т, Отв. 778 687. 5. Используя интерполяционный миогочлен Лагранжа, доказать, что яят Х- ( 1)т 2зт+в (2р+ 1 — 2т) т! (2р+ 1 — 2т)! [(2р+ 1)!)т ' ( 1)Р т о Указание.
Рассмотреть 7(х)=1 на [ — 1, 1! и взять в качестве точек деления х! Рь')= — 1+ (т — О, 1, 2, ..., 2р+1). 2р+ 1 б. Локазать, что х08 твогия иитвгполигования и ивкотогыв вв пгиложвния (гл. 2 7. Используя интерполяционный многочлен Лагранжа, получить следующую формулу: 1)я-ь т я т — л зьо т — и а-о 8.
Используя интерполяционный многочлен Лагранжа, получить следуюрцую формулу: т Ит „а Ь =~~( — П - — с"С„ а т — л зыо' т — Ь т и (т) л). ь-о 9. Доказатдь что йр (х)+ йы( )+ " + Е ( ) = 1, (хо — х)ь»ои(х)-(- (хд — х)" Еда(х) + ... + (х„— х)" й „(х) =б, (Ь=!, 2, ..., л), где Ь»а (х)— (х — хр) (х — хд) ... (х — х» д) (х — х»„.,) ... (х — х„) (Х» Хр) (Х» Хд) ° (Х» Х» д) (Х» Х».»-д) (Х» Х»») 10. Доказать, что + х — хр (х — хр) (х — хд) хо — хд (хо — хд) (хо — хо) '''+ (х — хо) (х — хд)... (х — х д) ив (Хр — Хд) (Хр — Хт) ...
(Хр — Х„,) 11. Пусть Еи (х) — интерполяционный алгебраический многочлен сте.пени л, построенный лля функции у(х) по узлам хо, х,, ..., х,„Получить ннтерполяционную формулу Лагранжа, разлагая лробь й„(х) (х — хо) (х — хд) ... (х — х„) на простейшие. 12. Даны значения функции в т+ л точках. Доказать, что можно найти такую рациональную функцию, числитель которой имеет слепень т — 1, а знаменатель л, которая совпадает с заданными значениями в заданных точках. 13. Взяты три значения функции у(х): У(а), у(Ь), у(с), вблизи ее максимума или минимума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
