Том 1 (1160083), страница 33
Текст из файла (страница 33)
П р и и е р. Лана таблица функции двух переменных: р (а, <р) = / —, й = ейц а. й) )' 1 — аз з1ез ф о 5' 40' 50' 80' 0,1746 0,3499 0,5263 0,7043 0,1749 0,3520 0,5334 0,1751 0,3533 0,1754 Найти Р(10'. 15'). Составляем таблицы разделенных разностей. Эти разности будут очень малы, и мы будем давать их в единицах четвертого десятичного знака: Г (ай ар,' Р) Р (аз,' аз,' Р) Р (ай ай Р) Г (аз,' аз,' Р) 0,15 3,55 0,2 1,3 10' 20' 30' 0,07 0,53 1,67 3,87 0,1 Р(а; тб Рз) г (аз Рз! Рз) р( тз! Рз) г (' то! Рз) а 174,6 175,3 177,1 178,2 174,7 176,4 178 174,7 181,4 175,9 5' 20' 40' 10' 20' 30' 40' 50' 0,1745 0,3491 0,5233 0,6985 0,8734 190 твогия интвгполиговьния и нвкотогыв вв пгиложвния !гл.
2 а г (а; т~', тб т~) )'(а: тй тм чз) ~( тм т. т4) 5' 20' 40' 0,005 0,055 0,045 0,000 0,25 0,06 и !«; ья ги т )~ Р~ „„гито Р~ан«,; гн г,) Г(а.,;«,; ам г,) Р!ан а,; амтв Р!а„ая Гп т) 0,046 0,114 0,11 0,09 0,25 0,22 Как мы видим, разделенные разности второго порядка малы и разности более высоких порядков мы учитывать не будем. Наша формула даст Р(10', 15) = 0,1745+0,000007 5-)-0 01746 5.+О 0000002.25+ + 0,0000005 25 + 0,0000046 ° 25 = 0,2620. Точное значение гч(10', 15') с четырьмя десятичными знаками равно 0,26!9. В том случае, когда х; — хг, =сопя( и «а — у~ , — — сопя( наши формулы можно упростить. Пусть х; — хг,— — Ь, уз —,уз ~=(е По аналогии с обычными конечными разностями введем двойные конечные разности: (17) 7(хг , у.) — 7(х,, 7(х,, у.„ ) — ((хг Ь ((х, , у ) — Ь ((хя Ь 7(хо у,) — Ь 7(х,. Ь„((хо у,,) — Ь 7(х,, Ьз 7(х! ..
у,) — Ь',7(х,. у.) =Ь г'(х,, у), у) =Ь 7(х, у), у.) =ба,~(х., у), у,) =б' 7(хм у), «)=%7("г «,) , ) бз 7. (х, ) у ) = Ьз„, 7(хг у,), 12) интеРполиРОВАние Функпий мнОГих пеРеменных 191 можем заменить разделенные разности конечными В этом случае мы по формулам: у (хо;х,; у,) 1 = Л О*.Г(хо1 Уо)1 1(хо: Уо' У1) = 1 = —,дчУ(хо, Уо), 1 з = — б*.((х' у.), ~(хо, х,: уо, у1)— 1 з Уо)' 1 (хо Уо У1 У2) ~у'1 (хо Уо) 1 з з бо'11 (хо Уа)1 .((хо' -21: хз' Уо' У1) = 1 з 2~доз ~ ''з Г(хо Уо) ! — 2,Лаз Атз Х(хо Уо).
((хо Уо УО Уы Уз)— 1 з = 31 аз ~з'У(хо Уо) Г'(хо; х,; хз; У„) 1 з =да б* (("' (18) 1' (хо: ' х: хз Уо) 1 (хо х1 уо У1 У2) Отсюда наша формула может быть приведена к виду или. если обозначить 1 = х — хо У вЂ” Уо и , и=,то (хо+ й( уо+)зи) =У(хо уо) + УдиУ(хо уо) + изз1Г(хо уо) -(- Г(2 — 1) з з и(и — 1) з + 2, дж У(хо Уо)+(ибизУ(хо Уо)+ 2, дз У("о Уо)+ + Ьи 1 (хо Уо) + 2, Ь *ч1'(хо Уо) + 2 (2 — 1)(2 — 2) з Е (2 — 1) и з Ги(и — 1) 1 у, + и(и — 1)(и — 2) з . + ~( У)=у(".У.)+,"'б..((.,У.)+У,"3,.((хо Уо)+ + (х — хоНх — хз) з ° + (х — хо)(у — уо) з . ( + дз (У вЂ” Уа)(у — у1) з ( + (х — хо)(х — х,)(х — хз) з ( + 2!зз 3' о У 3! лд хо Уо (х — хо)(х — хз)(у — уо) з Г 1 + + 2! лзд — Ь~'зз (хо Уо) (х — «о)(у — Уо)(У вЂ” У1) дз ((, 21 Ьлз .зв* хо Уо + (у — уо)(у — уз)(у — уз) ~з .( + 31 йз 192 твовия интввполивовлния и нвкотогыв вв пвнложвния (гл.
2 Зто — обобцение формулы Ньютона для интерполирования вперед функций двух переменных. Аналогично можно получить обобщения и других интерполяционных формул. 3. Другие способы построения интерполяционных многочленов для функций многих переменных. Возможен и другой подход к интерполированию функций многих переменных при помощи много- членов, Мы уже не будем требовать, чтобы степень интерполяционного многочлена была наименьшей, и будем рассматривать такие системы узлов, для которых решение поставленной интерполяционной задачи будет не единственным. Но сам способ интерполирования будет выделять из всего множества возможных интерполяционных многочленов один единственный интерполяционный многочлен. Пусть, например, нам заданы следующие узлы интерполирования: (хв Уо) (хо Уо) ° ° (х Уо)* (хв, у,), (х,, у,), ..., (хи, у,), (20) (х,у ), (х,,у ), ..., (х„,у ).
и даны значения функции г'(х,у) в этих узлах. Возможен следующий способ приближенного определения значения функции г' в некоторой точке (х, у), не совпадающей с узлами интерполирования. Сначала интерполируем нашу функцию как функцию одного переменного х при фиксированных значениях у; (1 = О, 1, ..., т). При этом мы каждый раз используем одну строку заданной таблицы узлов, Таким образом, мы можем найти приближенные значения у(х, у;) (1 = О, 1, ..., т). Затем по найденным значениям г'(х, ув) путем интерполирования по у находим г'(х, у). Посмотрим, как будет выглядеть интерполяционная формула при таком способе интерполирования, Применяя интерполяционную формулу Ньютона для неравных промежутков, будем имстгп .У(х У) =Пх Ув)+(У вЂ” У)У(х' Ув' И+ .+(У вЂ” Ув)(У вЂ” Уг) (У вЂ” У )У(х'Ув У' 'У )+ +(у — Ув)(у — У) (У вЂ” У )У(х'Ув'Уб 'у;у) (21) Снова применим интерполяционную формулу Ньютона для неравных промежутков к ((х;ув;у,; ...;У„); рассматривая эту разделенную разность как функцию х, получим: Лх' УО' У1' ', Уь) = =У(хв; У; У,;...; Уь) + ( — ) Г" (хв; х,; У; У,;...; У„) +...
... +(х — х,)(х — х,)...(х — х„,)У(хв;х,;...;х„;у„у,;...;У„)+ +(х — х )(х — х,)...(х — х„)у(хв; х,;...; х„; х; у,; у,;...; У„). (22) з 12[ интеРпОлиРОВАние ФУнкЦий мнОГих пеРеменныл 12З Подставляя эти выражения в предыдушую формулу, найдем: «(х, у) = ~ ~~~~(х — хо)(х — х)... (х — «Г,)(у — уо) (у — у,)... 1-о 1-о ... (у — у )«(хо; х,;..."! х11 у;у,;...: УГ) +(х — хо)(х — х,)... ...(х — х„) ~~[о (у — у ) (у — у,)...
(у — у,) «(х; хо; х,; ...; х„; у; у,;... )-о ; у,)+(у — уо) (у — УГ). (у — у )«(«! у: уо' уб °; у„). (23) Здесь при 1=0 и «= 0 получатся множители (х — х,) и (у — у д). Мы условимся считать их равными единице. Заметим далее, что и «(х; х; ...; х„; у) = „~~ (у — уо) (у — у,)... (у — у,) Х )-о Х «(х; хо; х,; ...;х„; уо; у,; ...; у ) +-(у — у,)(у — у,) ... ...
(у — у )«(х; «о' «б ° ° ' хи! Уо: уб ° ° ° 'у: у) (24) Таким образом, «(х, у) = ~~.', ~~в~ (х — хо) (х — х,)... (х — х;,) (у — уо) (у — у,) ... о-о т-о ... [У вЂ” У,,)«(хо; х: ".: х!' Уо! у' ".' У,) +(х — о) (х — х ) ." ... (х — хи)«(х;х,; х,; .. „х„;у)+-(у — уо)(у — у,)... (у — у„) Х Х «(х; У; У,; ...; У ) — (х — хо) (х — х,)... (х — хи) (У вЂ” Уо) Х Х (у — у,)... (у — у ) «(х; хо;...; х„; у; уо; у,; ...; у ).
(25) Двойная сумма дает интерполяционную формулу, а остальные члены— остаточный член этой формулы. Остаточный член можно записать в другой форме. Действительно, рассматривая «(х; х; ...; х„"1 у) как разделенную разность по ха при фиксированном у, будем иметь; 1 до+1 «(х; х; х,; ...; х„; у) =, — „, «(с, у), и[п [х, х;[ ( с ( шах [х, «1[ Аналогично 1 ди'+Г «( У[ Уо! У'' ° ° ! У~~) = (ЛГ+!)! д» ~+Г «(» т!) пн'и [у, у,[ ( т! ( шах [у, у [. 194 твггия «нтвгполиговлния и «вкотогыв вв пвиложвння [гл. 2 Далее, считая х, хв, ..., х„фиксированными, будем иметь: У(х: хв' ' х 'у;ув;.;у„,)= дьч~-1 )'(Х; Хед1 Х,; ...; Х„; ч) ).
Снова используя представление резделенной разности через производную, получим: 7 (х: хв' ° ° ° 'х ' У' Уя1 У ' . ' У ) = дт+ чя ("'+ 1)1 ("+ 1)~ дх"+'дузь~ Таким образом, остаточный член может быть записан в виде и„(х) дчьь' . ю„, (у) д~ (и+1)' дх" ьч ' (гл+1)1 дучя+ч чь (х) шчя (У) д ( (9бч (и+1)! (ж+1)[' д " гд + У( В случае, если разности х; — х;, иу — у, постоянны, мы можем, как и в предыдущем случае, получить формулы с двойными конечнымн разностями. Мы здесь их выписывать не будем.
В заключение этого параграфа отметим, что можно получить формулу, которая будет пригодна при любом расположении узлов. Опять для сокращения записей используем векторные обозначения. Наша формула будет иметь вид (гь гп) (г,, гсд... (г,, гп ч,) (гььо го я+у)... (г„, г;„) Р (х, у) = ~~ гг (ггч гп) (гсь гн) ° ° (гг г-ч гьг — д)(г;„+и гьчьч)...(гпп ггя) (27) Проверим, что она удовлетворяет интерполяционным условиям. Числитель каждого слагаемого представляет собой многочлен степени и — 1 по х и у. Следовательно, и вся сумма будет являться многочленом по х и у степени не выше и — 1. Если точка (х, у) совпадает с одним из узлов интерполирования, например с (хну), то все слагаемые суммы, у которых индекс при г не совпадает с 1, обратятся в нуль, так как в числителе обязательно встретится скалярное произведение (г у, г; ), равное нулю.
Если индекс при г равен у, то дробь соответствующего слагаемого обратится в 1 и Р (х, у) будет равно г;. Из самого вида формулы видно, что построение возможно при любом расположении узлов инчерполирования. действительно, знаменатели всех дробей отличны от нуля, если среди узлов нет совпалающих. 9 13) интегполиговлние эвикций комплексного пегеменного 195 Построенный нами многочлен обладает следующими замечательными свойствами. Значение многочлена целиком определяется величинами х в узлах интерполирования, положением узлов на плоскости и положением точки, для которой проводится интерполирование, на плоскости.
Оно не изменится при любом перемещении осей координат. Если все узлы интерполирования расположены на одной прямой, то значения Р (х, у) и значения интерполяционного много- члена Лагранжа на этой прямой совпадают. Изменение нумерации узлов интерполирования не меняет Р (х, у). Можно показать, что Р(х, у), удовлетворяющий этим условиям, будет однозначно определяться нашей формулой. ф 13. Интерполирование функций комплексного переменного Сделаем несколько замечаний относительно интерполирования функций комплексного переменного с помощью алгебраических многочленов, Очевидно, формула Лагранжа и все ее видоизменения, приспособленные для различных частных случаев расположения узлов, будут годны и для функций комплексного переменного.
Но остаточные члены, которые мы ранее получали с помощью теоремы Ролля, в этом случае будут непригодны. В этом параграфе мы дадим интегральное представление интерполяционного многочлена и остаточного члена для функций комплексного переменного. Пусть С вЂ” простая замкнутая кривая и /(я) — аналитическая на С и внутри С функция. Пусть, далее, узлы интерполирования гв, гн ..., гв также лежат внутри С. Рассмотрим интеграл Р( )= — / („) ( ) /(()с(г, 2. г .У ш (") (~ — х) с где а(г) =(г — зв)(з — г,)...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
