Том 1 (1160083), страница 37
Текст из файла (страница 37)
А. О. Гельфонд, Исчисление конечных разностей, Гостехиздат, 1952. 3. В. Л. Г о и ч а р о в, Теория интерполирования и приближения функций, Гостехиздат, 1954. 4, И, Н. Н а т а н с о н, Конструктивная теория функций, Гостехиздат, 1949. 5. Хаусхолдер, Основы численного анализа, ИЛ, 1956. 6. Милн, Численный анализ, ИЛ, 1951. 7. Э. Уиттекер, Г. Робинсон, Математическая обработка результатов набльтдений. 8. И. Ф.
Ст ефенсен, Теория интерполяции, ОНТИ, 193. ГЛАВА 3 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ В двиной главе будут рассмотрены численные методы решения простейших, но очень распространенных задач математического анализа — дифференцирования и интегрирования функций. Дифференцировзние и интегрирование являются частными случаями функций, определенных на функциональных пространствах, о которых говорилось во Введении.
При этом каждой функции некоторого функционального пространства )с ставится в соответствие либо снова функция (при отыскании производной или неопределенного интеграла), либо некоторое число (если ищется проиаводная в определенной точке или определенный интеграл). Например, понимая под )с совокупность всех функций, имеющих на отрезке (а. Ь) непрерывную производную, можно рассматривать дифференцирование как функцию А()), определенную на )с, с помощью которой элементу у(х) ~ гг ставится в соответствие функция 1~(х) ~ С, где ср(х) = ('(х), т.
е. А (г) = у'(х) или А и†н . — . и'х ' Во многих случаях значения этих функций не могут быть найдены точно использованием методов дифференциального и интегрального исчисления. Тогда прибегают к приближенному решению этих задач, используя общий метод, описанный зо Введении.
В этой главе мы будем рассматривать методы численного дифференцирования и интегрирования, основанные на замене пространства )с другим пространством )с. т. е. будем заменять задачу А(г') =ч УЕ Л залачей А (7) = ч, У ~ гг. В основу замены )с на )с положим уже рассмотренный метод нриближення — интерполирование. $ 1. Задача численного дифференцирования К численному дифференцировзнию приходится прибегать в том случае, когда функция у(х), для которой нужно найти производную, залана таблично или же функциональная зависимость х и у(х) имеет очень сложное аналитическое выражение. В первом случае методы 218 численнов диеевгвнцигованив и интвггивованив [гл. 3 дифференциального исчисления просто неприменимы, а во втором случае их использование вызывает значительные трудности. В этих случаях вместо функции у(х) рассматривают интерполирующую функцию <у(х) и считают производную от г(х) приближенно равной производной от са(х).
Естественно, что при этом производная от г(х) будет найдена с некоторой погрешностью. функцию г"(х) можно записать в таком виде: У (Х) = Ф (Х) + гг (Х), где с<(х) — интерполируюшая функция, а )с(х) — остаточный член интерполяционной формулы. Дифференцируя это тождество й раз (в предположении, что у(х) и Ф(х) имеют производные <з-го порядка), получим: (<а< (Х) = <а<а) (Х) +.
))<а< (Х). Так как за приближенное значение <<в<(х) принимается о<а<(х), то погрешность есть г<" ~(х). При замене у(х) ннтерполирующей функцией Ф(х) предполагается, что остаточный член мал, но из этого совсем не следует, что мало )<« ~(х), ибо проязводные от малой функции могут быть весьма велики. И на самом деле, практика показывает, что прн таком способе вычисления производных ~<а<(х) получается сравнительно большая погрешность, особенно при вычислении пронзводнык высших порядков. Рассмотрим формулы дифференцирования в общем случае, когда интернолнрующая функция т(х) строится как линейная комбинация базнсныл функций та(х), тт(х), ..., т„(х), образующих систему Чебышева на рассматрнваемом отрезке (а, б).
Пользуясь результатамн нредылущей главы (см. (2) й 4 гл, 2), запишем функнню г(х) в виде Х(х) = в (х) + Х ф< (х) Г К(хаз) т.в<.т (у (знс<з. Здесь Ф (х) = ~~»', у(х<) Ф< (х) — ннтерполяцнонный многочлен Ф< (х) — линей -а ная комбинация базисных функций чл(х) (а =<с 1, 2,..., и), удовлетворяю щая условиям Ф<(ху) = Ь<у, х< — узлы интерполирования, та (з) тт (з) ° ° ° тя (з) та (з) Ф< (з) " тв (з) (2) К(х, з) = ))г (та(з) " тв(з)) <в-ц ( ) у<в-П ( ) <я-ц ( ) та(х) т<(х) ... тв(х) 2в+з У (з)3 )р (та (з), " , тв (з).
Х (з)! (р' ' (та (з), " т (з)1 (З) 2!9 Ф 1] элдлчл чиолвнного диеевгвнцигования Диффереицируем обе части равенства. Получим: У'(х) = ч' (х)+ ~)„Ф, (х) ~ К(хь з) б„чт [У(з)]»(з+ + )~~~ Ф»(х) К(х», х) Х.„+»[У(х)]. »-а Но )» Ф»(х) К(х», х) Уп..» [У(х)) = Еи„» [У(х)]~~~', Ф» (х) ~Ч~~~ Ф (х») Оу (х) =- а-а с-а з-а = »пь» [У (х)] ~Х» Ф» (х) 6» (х) = »и+» [у (х) ) д (х, х) = О. Таким образом, У'(х)=т'(х)+ ~ Ф,(х) ~ К(х», з)»п+»[у(з)]»»з. При численном дифференцировании за приближенное значение производной берут ч'(х).
Тогда второй член справа будет давать остаточный член. Дифференцируя последнее равенство еще раз, найдем: '»))' Ф' ,(х) К (хп х) Е„„[У (х)] = Е „[/ (х)] ~~~~ Ф' ,(х) '1)' Ф, (х) Оу (х) = »-а »-а ,-а а =Е ь, [у(х)) ~)Л Ф,. (х) 0 (х)=Е» [у(х)) — ' ( =О. а а в-а Позтому Уа (х) = Ча (х) + ~~~~~ Ф, (х) ~ К(х», з) У.„+» [У(з)] а»з, (о) »-а Опять первый член справа дает приближенное значение производной, а вт»- рой — остаточный член.
Эти рассуждения можно провести для производных любого порядка, меньшего или равного и. Из полученных выражений остаточиых членов видно, что формулы численного дифференцирования дают точное значение для производных, если у(х) является произвольной линейной комбинацией базисных функций ва(х), ет(х), ..., чп(х). г» (х) = та (х)-)-~ Ф; (х) ~ К(х», з) Еи+» [у (з))»(з -1- »-а Ж» + ~~~„Ф, (х) К(х, х) Е [у (х)) » а И в атом случае 220 числвнноя диеевгинцигованив и интзггиговлния [гл.
3 В следующем параграфе будут рассмотрены конкретные формулы численного дифференцирования, в основе которых лежит интерполирование с помощью алгебраических многочленов. ф 2. Формулы численного дифференцирования 1. Формулы численного дифференцирования для неравно- отстоящих узлов. Будем исходить из интерполяционной формулы Ньютона для неравных промежутков: с (х) = с (хо) + (х хо)с (хо хс) + (х хо) (х хс)с (хо хс хг) г ...+(х — х,)(х — х,) ... (х — х„,) 1(хо; хб ...; х„) -! — (х — хо) (х — х,) ...
... (х — хо)Г(х; х,; х,; ...; х„). (!) Для сокрашения записей обозначим х — хо=ао Дифференцируя обе части равенства (1) один раз, будем иметь: г'(х) = [(хо; хс)-+(ао-[-ссс)1'(хо; х,; хг)-!— +. ("о"с+.аоаг+асаг) ((хо! х,; х,; хг)-[- ... ... -! — (аеас... а„,-[-аоа,... а„,сс„,+...-[-сосаг... ао с) [ (хо; х,; ...; х„)-4- Х,ХО,Хс...,,Х е Х сгх За приближенное значение первой производной при численном дифференцировании будет принимзться Р 1.„(х) = г" (хо; х,) -[-(ао -[- а,) [ (хо; х,;ХД +- -+(аеас-[-аоаг-[-асаг)с(хо, х,; х,; х„)-4- ...
... -+ (аоа,... а„, + аоа,... а„,а„,.+ ... [-а,аг... а„,) М Х с(хо; х,; ...; х„). (3) Остаточный член будет выглядеть так: Упростим второй член справа. По определению, Лу(х; х,; .. л х„), у(х', хо' хй ...; Хя) — у(х; х,; х,; .. Л х„) = [пп осх х' — х !!вс У(х'! х; хо! х,; ...; Х„) =У(х; х; х„; хб ...; Х„). Таким образом, С!ос„(Х) й = †„ †"„ — У(х; х,; хб ...; х„) + е„ (х)У'(х; х; х,; х,; ...; х„) (б) еогмьлы числанного диеевгвнциговлния 22! й 2! или, если использовать связь разделенных разностей с производными, л-.
( ) у!" и(!) у("'"(! ) Й= в! ( ! 1 ! + Я(Х) и+2)! (6) В узлах интерполирования хо, х,, ..., х„второй член справа обращается в нуль и выражение остаточного члена будет более простым. Дифференцируя еще раз, получим: го(х)=21 (хо; х,; хг)+2(ао.+а,-+аг)у'(хо; х,; х,; х,)+... ... -!-2 (аоа,... а„, + аоа,... а„„а„г+... +- агав ° ., а„в) Х агввв (Х) Ху( Р б ...; .)+,"., У(; х.;,: ...; х.)+ +-2 " — (х! хо,' х,;...; х )+ ' '''' ов (х).
(У) ае„(х) в(г всву(х; хо' ° ., хв) !.„(х) = 2 (в(хо', хб хг)-!-(аз+а,+аз)7(хо! х,; хг; х ) ! —... ... +(аоа,... а„в+аоа,... а„„а„г+ ... +агав... а„,) Х ХУ(хо1 х,; ...; х„)!. (8) Остаточный член будет иметь вид авен (Х) й = — „" — у(х; хо; х,; ...; х„)+ лев(х) в!у(х; хо;...; х„) + агу(х: хо',..., 'х„) а'х Второй член справа упрощается так же, как зто делалось для пер- вой производной.
Упростим третий член. В силу определения произ- водной и свойств разделенных разностей будем иметь: лв вг — у'(х; хо! ...! х,) = — у (х; х; х,; ...; х ) = Лхг ' ' '''' ох у(х', х', хо! хв;...: х„) — у(х; х; хо; х,;...; х„) а' же х — х у (,«'; х', хо,' хв;...; х„) — у (х'; х; хо! х~,' .. „' х„) = Ит ж' -«а у(х', х; хо; х,;...; х„) — у(х; х; хо, хй...; х„) + Ищ Ж'.3 Ф х' — х = Ивп у(х'! х'1 х; хо; х,;...; хп)+ Ищ у(х! х! х1 хо1 х,; ...; хв)= х' эю х о а = 21'(х; х; х; х„; «,; ...; х„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
