Том 1 (1160083), страница 41
Текст из файла (страница 41)
При этом вт+Я-1 51= ~ (у — 1),. (у — 2т+1)Р(у; 1; 2; ...; 2лг — 1)Иуе ра 1-а (1 9) так как Р(1; 2; ...; 2т) (у — 1) ... (у — 2вг+ 1) гну = 1-В = Р (1; 2; ...; 2лг) <р (2т+ Д вЂ” 1) = О. К 51 можно применить теорему о среднем, так как (у — 1)...(у — 2вг) на отрезке 12лг+и — 1, 2т+Ц не меняет знака, Следовательно, 8 =Р'(Е; 1; 2; ...; 2т) ~ (у — 1) ... (у — 2лг)ду= ив+а-1 в1явч (Е ) (у — 1) ... (у — 2вг)ду. (20) 11в+а-1 Отсюда для ра получаем следуюшее выражение: Рм~~ (Е1) г' / (у — 1)(у — 2)... (у — 2лг)1гу— Эв+а-1 Ввел-1 в1яво (Е ) в — (2в1)1 ( 'Р (у) 11у. (21) Это выражение можно преобразовать так, что оно будет содержать лишь одну производную Р~я1в1(Е), что более выгодно при производстве оценок.
Покажем, что Аг,а= ) (у — 1) ... (у — 2т)г(у и Аа 1 Г 1~(у)г( 247 й 41 ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА — КОТЕСА имеют одинаковые знаки. Рассмотрим два случая: й=О и й= 1. При )а= О имеем: А>,о= ~ (у — 1)(у — 2)... (у — 2т)о(у. о»>-> Подынтегральное выражение при у ~ (2т — 1, 2т) отрицательно. Поэтому А>, о < О. Рассмотрим э»>-> Ая,о= — ) ~р(у) о(у.
1 Здесь >р (у) = ) (з — 1) (я — 2) ... (з — 2т + 1) г(з. 1 Мы уже знаем, что на интервале (1, 2т — 1) функция (>(у) не ме- няет знака. Далее, ф (з) = (г — 1) ... (з — 2т+ 1) на интервале (1, 2) положительна. Следовательно, о>(2) ) О, и поэтому >р(у) ) 0 при всех у~(1, 2т — !). Но тогда Аао ч. О, т. е, имеет такой же знак, что и А> о. Пусть теперь и = 1. Тогда Аь>= ~ (у — 1)(у — 2) ... (у — 2т)в>у.
Так как подынтегральное выражение положительно при у ~ (2т, 2т+1), то А>,>) О. Теперь ъ» Ам, = — ~ ~р(у) >(у, о Функция ~р ® = / (з — 1)(г — 2) ... (я — 2т + 1) л>я о не меняет знака на интервале (О, 2т). Но при г~(0, 1) подынтегральное вь>ра>кение отрицательно. Следовательно, р(у) ( 0 для всех у~(0, 2т). Но тогда Аж>)0 и опять имеет такой же знак, что и Аь>. 248 числвннов диеевгвнциговйниз и интвггнговйниз (гл. 3 Воспользовавшись свойством производной принимать все промежуточные значения и тем, что А( й и Ам й имеют одинаковые знаки, мы можем записать: ~""~ (Е) Рйт=(А(, 1(+Аз, «) (2 ! ( т). зае« Зт+й -1 )'(з ((Е) (, [ у о — с .. о — 2 (уу / у(у(уу] (уу( (2т)! йа-(-й-1 1-й Выразим теперь производные от функции с'(у) через производные от функции у(х). Очевидно, Окончательно получаем следуюшие формулы численного интегриро- вания с остаточными членами: при а=2т — 1 с Зт-1 су (х) а(х = (а( — с) '5 )'1, «(су(а+ !Ь)— с ( 1 Зт+й-1 И' +~' !(Е) (2т) 1,/ ™У' (! — с Ь=2т 2 ! 2л (25) и при в=2т Ю Зт ~ (х) с(х = ((2 — с) ~„ /;, «'у (а + И) + с 1-1 ~~~'~~"~ (Е) 1 +— (2т)! — (у — 1) За+« †(у — 2т) а(у— йт.(.
й- 1 — у(у(уу] (! — с Ь=2т ! ! 2л. (26) 4~(+Ьу)="~'(.)' (23) —, у (а+ Ьу) = ЬЗУЗ (х)...,. — „„ / (а + Ьу) = ЬЗ2 (с! (х). Следовательно, за+в-1 Ьзту(зт! (Е) )у Рй -1 (2т)! / (Р(У)(йу 1-« зт-(-« За+а-1 Ь""у (~' (Е) с (~ [ ( ( с ° (у-1 (Ф / о(а]. Зуй.(. й -1 1-« (24) 9 41 249 ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА — КОТЕСА Приведем значения коэффициентов при производных в выражениях остаточных членов для различных значений а и й: 1О Как видно из приведенной таблицы, формулы с нечетным числом ординат имеют, вообще говоря, преимушество в смысле точности.
3. Формула трапеций и формула Симпсона. Рассмотрим теперь подробнее формулы замкнутого типа при в= 2 и 3. Ввиду важности этих формул мы независимо от предыдущего получим коэффициенты формулы и остаточные члены. При в=2 интерполяционный много- член будет иметь первую степень.
Таким образом, если перейти на геометрический язык, мы заменяем кривую у =.7(х) хордой, соединяющей конечные точки кривой (рис. 25). Интеграл от интерполяционного многочлена даст площадь трапеции АВС7). Поэтому и соответствующая формула численного — — да 1 12 — — да 1 90 3 — -яеб. да — — дт 8 945 — — дт 275 12 096 — — Иа 9 1 400 8 183 518 400 — — дп 2 368 467 775 4 671 394 240 ,га 163 459 296 — да 3 4 — Иа 14 45 — да % 144 41 — дт 140 — дг 5 257 8 640 — дэ 3%6 14 175 — да 25 713 44 800 80 335 299 376 250 численное диФФеРенциРОВАние и интеГРиРОВАние [ГЛ.
8 интегрирования получила название формулы лгравеиим. Площадь трапеции АВСО, очевидно, равна Ч( ) +У(а)1. Таким образом, ~1(~)г( = — [й)+У(41+В О. е Остаточный член будет иметь вид Яг() ) = / (х — с) (х — ф~(х; с; г2) сгх = е е уе(Ч) р = — [ (х — с) (х — г() с[х = — )'е (г[). (28) (е — е)г 2',/ 12 Погрешность формулы трапеций обычно бывает очень велика.
Этт погрешность можно значительно снизить, если применять формулу трапеций не сразу ко у е всему отрезку [с, гг[, а разбить его сначала на части у и к каждой части в отдельности применить формулу трапеций. При этом надо стремиться разбивать на части так, чтобы интеграл от соответствующей вписанной ломаной был возможно более близким к интегралу от г у (х). В частности, если Рис. 25. разбивать отрезок 1с, 01 на т равных частей длины к — е л = — и обозначить через уе, уо ..., у,„последовательные ординаты, то получим: Ь У (х) ех = 2 1уе+ 2у, + 2у, + ... + 2у, + у ~[в 12 ( г) '' + (27) где хг г с.
11 с, х,. ВыРажение во втоРой квадРатной скобке Равно лг~" (1) (с с. 1 ( г2). Поэтому наша формула может быть записана так: а е — е Х(х)с[х = 2 !уе+2у,+2уг+ .. +2ум,+у ]— —,) — Хе(1). ( 8) 252 численное диФФеРенциРование и интегРиРование (сл. 3 где К вЂ” соответствующая постоянная. Тогда у (х) /зз (х)+ К(х — с) (х — — (х — б) + с+а'т +(х — с)(х — — ) (х — б)~(х; с; —; — б ы с+лаз / с+с/ с+ а' 2 2 ' 2 у Заметим, что (х — с) (х — — )(х — б) бх= О. с+ ах 2 Поэтому остаточный член нашей формулы численного интегрирования будет равен с яз(у)=~ (х — с)(х — — (х — а/)у х; с; — — а' ах.
с + с/'1з /, с+а,с+а ч 2 ) 2 ' 2 Злесь применима теорема о среднем, так как (х — с)(х — — ) (х — а) с+ а'1т 2 не меняет знака на (с, б). Поэтому Р(,(/')= ) (х — с)(х — — ) (х — б)бх= — — а— /Чгто (Ч) /' / с+лаз (а — с)су~ ~ (ч) 41,) ( 2 ) 2а 90 Итак, Мы получили сбормулу Симпсона.
Формула Симпсона также может быть применена не сразу ко всему отрезку, а к отдельным частям его. Требования к выбору этих частей таковы же. как и в предыдущем случае. Если, в частности, мы разобьем (с, Ы] на 2/и равных отрезков, то получим: 1(х)бх = 0 !ус+ 4у,+2у,+4уз+2ус+ ° » с ... +4уз„~ 1+уз 1 — ( 2 ) 00, .
(32) с/ — с уою (ч) Это — обобщенная формула Симпсона. Коэффициенты этой формулы немногим сложнее коэффициентов формулы трапеций, но точность существенно больше. Приведем пример на вычисления по полученным нами формулам численного интегрирования. 253 3 4! ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА — КОТЗСА П р и м е р. Вычислить 1 7 = ~ !— — — 4 — — 0,78539816 о по обобщенной формуле трапеций, по обобщенной формуле Симпсона и по формуле Ньютона — Котеса, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. В данном случае у = 1, у, = 0,99009900, уа = 0,96158846, у, = 0,91743119, у = 0 86206896 уь = 0 8 ув = 0 73529411 у1 = 0 67114093 уз = 0 60975609 ув= 0 55248618 у1о = 0 5.
Коэффициенты формулы Котеса при п = 10 равны 511> 511> 0 026834148 711О 71111 0 17753594, 1,О 11,О ьо ш,о 7а111Ь1 = 71Н1 = — 0,08104357, 700 = 71п> = 0,45494О28, !а"е' = I!"~ = — 0.43 515512, 71"„~ = 0,71376463. Вычисления по обобщенной формуле трапеций дают: 7ж20!ув+2у1+2уа+- ... -+2ув+у1о!= 0,78498149. 1 По обобщенной формуле Симпсена получим: 7ж д! уз+ 4у1+ 2уа+ 4уз + ° ° + 4уз+у1о! = 0 78539815. 1 По формуле Ньютона — Котеса будем иметь: 7=71 оУо+ е оУ1+ .
'+ и оУЮ=О Вычисления по формуле Ньютона — Котеса и формуле Симпсона дали примерно одинаковую точность, но работы по последней формуле было значительно больше. Оценим остаточные члены каждой из формул. Функция 1 У'1х) = является производной от у= ассах. Найдем производные от этой функции через производные обратной функции. Получим: х= 1иу; У'= —,= созеу, у" = — 2созуз1пу ° У' = — 2соззуз1пу. х' Запишем эти производные в несколько иной форме: у' = сову ° з!п (у + — ), у" = созе у ейп 2 (у + — ) .
254 численное диФФБРенциРОВАние и интеГРиРОВАние 1Гль 3 По инаукции можно получить: ую1 = (и — 1)!сов" уз!пи(у+- — ~. 2!' Отсюда остаточный член обобщенной формулы трапеций будет оце- ниваться следующим образом: )Й1/)~ (!2 Оо — — ~ — — 0,00166 .. Для формулы Симпсона будем иметь: Для формулы Ньютона — Котеса получим: Наши оценки, естественно, дали завышенные погрешности. ф 5. Формулы численного интегрирования Гаусса 1.
Построение формул. Абсциссы формул Гаусса. В предыдущем параграфе мы получили формулы численного интегрирования путем замены подынтегральной функции алгебраическим интерполяционнцм многочленом с равноотстоящими узлами интерполирования. Можно ожидать, что, избавившись от последнего требования, мы можем получить формулы, обладающие теми или иными преимуществами. В этом параграфе мы будем получать формулы, дающие возможно большую точность. Прежде всего надо условиться, что мы будем понимать под точностью формулы численного интегрирования При замене подынтегральной функции алгебраическим интерполяционным многочленом, построенным по п узлам интерполяции, мы получим такую формулу численного интегрирования, для которой остаточный член обращается в нуль, если подынтегральная функция является произвольным многочленом степени не выше п — !.
Как мы видели, в случае формул Ньютона — Котеса с нечетным числом ординат остаточный член обращается в нуль, если подынтегральная функция является произвольным многочленом степени и. Может оказаться, что при каком-то другом расположении узлов эта степень еще может быть повышена. При использовании одинакового числа узлов будем считать ту формулу численного интегрирования более точной, для которой эта степень будет больше.
Это определение точности формул численного интегрирования несколько условно, так как могут быть такие случаи„ что менее точная в нашем понимании формула даст более точный результат. Но мы получаем все же какую-то характеристику ~очности. э 5) ФОРмулгя численнОГО интеГРиРОРАния ГАуссА 255 Наши формулы численного интегрирования будут иметь вид ь ] Р(х)У(х)((х= С( ~~(х,)+С»э ~~(хг)+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
