Том 1 (1160083), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

Но тогда, если занумеровать их в по- 2 рядке возрастания х,СХЯ( ... хв, то получим: (х» — а)(хь — Ь)а>' (хь) = (хв » 1 — а)(х » — Ь)а>' (х ь. 1). Следовательно, (17) с<в> = с<в> Ь В-»4-1 т. е. коэффициенты при >(хь) и у(х„»41) будут совпадать. Полученные здесь формулы численного интегрирования были впервые найдены Гауссом. Поэтому мы будем называть их формулами Гаусса. Было бы невыгодно каждый раз, как нам нужно использовать формулу численного интегрирования Гаусса, заново находить еа„(х), вычислять корни уравнения е>„(х) = 0 и подсчитывать коэффициенты с[у>. )[ля случая р(х)= — 1 и отрезка интегрирования [ — 1, 1[ такие вычисления были произведены для различных и. Произвольный отрезок [а, Ь[ может быть приведен к отрезку [ — 1, 1[ простой заменой переменной интегрирования: х= — + Ь+а Ь вЂ” а 2 2 Приведем некоторые значения коэффициентов с)з> и абсцисс для формул численного интегрирования -а-1 аа 2~Фа(л!)а ! > ( !)+[(2л)![з(2п [ !) а (6) — 1 ! 1 х,= О.

—,са — — 1, >та= —,7'(5); 1 11> 1 2 ' ' 1 3 =х,=0,577 350 269 189 6258, — с!1~>= — с",>= —, 2 2 2' 135 — х, п=3: — х, =х,=0,774 596 669 241 4834, ха=О, — са = — сз = —, — са = —, Йз= . У (1); 1 !з» и> 5 1 аз> 4 1 и> 2 13' 2 9' з 15750 л=4: — х, = х, = 0,861 136 311 594 0492, — ха = ха —— 0,339 981 043 584 8646, — с'," = — са ' = 0,173 927 422 568 7284, 2 — с11> =---сана =0,326 072 577 431 2716, 2 2 1 <в> 3 472 375 262 численное диФФеРенциРовАние и интегРНРовАние [гл.

3 9 5! ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ГАУССА 20'3 а=5: — х, = х, = 0,906 179 845 938 6640 — ха = х = 0,538 469 310 105 6830, — с(,! = †, с(а' = 0,1!8 463 442 528 0945 — с(а" = — с~~! — — 0,239 314 335 249 6832 — са(а( = —,=0.284 444 444 444 4444 2 '225 1 Оо! 1 237 732 550 х,=Π— х, = ха = 0,932 469 514 203 1520 — х, х,=0.661 209 386 466 2644 — х,=х,=0,238 6!9 186 083 1970 — с(," = —,са(м =0,085 662 246 189 5852 — с1" = — с(Г" = О,!80 380 786 524 0693 2 2 — са(" = — сз"' = 0,233 956 967 286 3455 ! ((а( 643 Ч34 486 !50 ~ — х( = ха = 0,949 ха=ха 0 741 107 9!2 342 7596 531 185 599 3944 845 !51 377 3970, — ха —— х,= 0,405 — с, = —, са = 0.064 1 ги ! Го 2 2 ха=О 742 483 084 4348 †, са(и = †, с!(! = 0.139 852 695 744 6384 — саи! — са('! = 0,190 915 025 252 5595 — са(И = — =0,208 979 591 836 7347 2 1225 ((а( 470050192 !11 500 ~ 1(ак видно из этой таблицы, коэффициенты сДч и абсциссы х» очень громоздки.

Поэтому формулы Гаусса следует применять в тех случаях, когда требуется большая точность и значения функции при большом числе аргументов получить затруднительно. 4. Формула численного интегрирования Эрмита, Если взять ч качестве р(х) функцию р(х) = 1 (18) и в качестве отрезка интегрирования отрезок 1 — 1, +Ц то получим формулу численного интегрирования е! и Ых = ~ с~л!/(х!) +Й(Г). 1 ! -1 (19) Если х; являются корнями многочлена я„(х), ортогонального с весом ! произвольному многочлену а(х) степени ~а — 1, то Й(Т! )' 1 — хе обращается в нуль, когда г'(х) являетсч произвольным многочленон степени (2л — 1.

Как будет показано в глаге. б, в качестве жл(х) можно взять 1 1 вл(х) = —, Т„(х)= —,соз(л агс сов х), (20) т. е. многочлены Чебышева, о которых говорилось з предыдущей главе. Следовательно, х; = соз , (! = 1, 2, ..., л) (21 — 1) и 2л (21) ьз ел (х) гГх Тл (х) (х — х) н (х!) У 1 — хз Г (х — хг) Т„(хб У! — ~~ (22) Для с!"! можно найти числовые значения. Для этого произведем под знаком интеграла замену переменного, положив х= соя В.

Г!олучим: с!"! = соз лВ лв (соз 6 — соз ВН Т„(соз Вб Но Т„(соз 8;) = 3~ 1 — созе в! з!и В! а соз лв соя 6 — со 6 оо+ В!соя В+ Взсоз28+... +Вл !соя(л — 1) В. 2б4 численное диееегенцпеованив и интвггигование (гл. 3 5 51 ФОРмулы численнОГО интеГРиРОЕАния ГАуссА 265 6" и 6 бб=кво. сов 6 — сов 6, о Чтобы найти В, в предпоследнем равенстве, положим там 9=9|, 0,.+-", 9,-1-2'--', ..., 9|+(п — 1)— и воспользуемся соотношениями сов п (6|+ й — ) сов пб ! сов' пб ! и в|и пб| сов 0 — сов О» !о о сов 0 |о о в|и О» сов 1пб|+ 2ав) 2ит сов (01+ й — ~ — сов О| 2в1 соо(0|+ Д вЂ” ) — сов 6» П Получим: В +-В,совб;+В сов20|+...

+В„,сов(п — 1)0|= В +В,сов(9, -+ — ")+В,сов2(9|+ — )+ ... 2и! ... + В„, сов(п — 1)(8! + — ) = б, Во + В, сов ~0! + (п — 1) — ~ + В, сов 2 ~ 9, + ( и — 1) — „~ + ... 2 ! ... + В„, сов (и — 1) ~0, + (и — 1) — ~ = О. Складывая эти равенства, будем иметь: п в|и пб| в|и ив| о — |и б так как и-1 ~) сов!Г(0|+у — )= ~' 2сов!Г(8|+/ — )в!п — = Р-О 2 в|и — в-о п и-1 "~6',~в!НА~9|+('~+" ~ — в!Нй~б|+ "У ') Д=.

2 в|и — ' о п ~ в!НА~9! + 1 — в!п !в [0! — — 1~= О 2 в|и— и (и = 1, 2, ..., и — 1). так как левая часть последнесо равенства является четной функцией 0 и числитель ее обязан делиться на знаменатель нацело, ибо Тп(х) делится на х — хл Отсюда 266 численное ДНФФеРенци! свАние и интеГРИРОЕАние [гл.

3 Отс!ода с1,! "В~ Т„(х!) (23) Получили формулу численного интегрирования Ф! а .!. 1 — у( !)+, ! ' У(х) сРх а У У1за) (1) [' Т„(х) ах У1 — хь п аа! ' ' (2п)1,/ 2!а-з )' 1 — хе — г(х!)+ — ! !.=1 -1 2! — 1 х. = соя —;-а,!. 2л (24) Остаточный член мо!кет быть упрощен, если воспользоваться результатами главы 5: (25) 5.

формулы численного интегрирования Маркова. Если пользоваться классификацией, приведенной в предыдущем параграфе, то формулы численного интегрирования Гаусса следует отнести к формулам открытого типа. так как концы отрезка интегрирования не принадлежат к числу узлов. А. А. Марков рассмотрел формулы численного интегрирования, лля которых )с()) обращается в нуль, когда Т(х) является произвольным многочленом степени (2и — 2 при дополнительном требовании. что либо х, = и, либо х„= Ь, и формулы численного интегрирования, для которых Й(Т) обращается в нуль, когда Т'(х) является произвольным многочленом степени < 2п — 3 при дополнительном требовании. что х, = а и х„= д.

Рассмотрим сначала первый случай. Обозначим через 8„(х) много- член степени л со старшим козффициентом 1, корни которого равны искомым узлам. Рассуждениями, как и при выводе формул Гаусса, покажем, что необходимым и достаточным условием для того. чтобы В„(х) удовлетворял поставленным условиям, будет ь ~ р(х) 9„(х) у(х) ь(х= О, (26) а где п(х) — произвольный многочлен степени <и — 2. Отсюда ь ь ~ р(х) [9„(х) — а!а(х)[ д(х) !1х= ~ р(х) 8„(х) п(х) а!х— а а ь — / р (х) а1„(х) и (х) Ух = О. а Эта формула является частным случаем формул Гаусса и носи! на- звание 99ормулы Эрмитп. 9 51 ФОРмулы численнОГО интеГРНРОЕАния ГАуссА 267 Поэтому 8„(х) — о1а(х) может лишь постоянным множителем отличаться от о1„1(х): 8„(х) — „(х) = а„„, (х), Для получения постоянной а„положим в этом равенстве х=а.

Получим: еи (а) -1 (')" Итак, 8„(х) = о1„(х) + а„о1„1(х). (27) И в этом случае 8„(х) имеет а действительнык корней, один из которых равен а, а остальные расположены между а и Ь. Доказательство полностью совпадает с тем, которое проводится в главе 5 ала о1а(х). Для отыскания коэффициентов А)~ ~ формулы численного интегрирования возьмем в качестве 7(х) функцию х — х где х',.— один иа корней уравнения 8„(х)=0. 7(х) — многочлен степени а — 1. Поэтому ь а )" Р (х) У(х) ~х =,Уа МА'7 (ХА) = и',гв 8„'(х;) а А 1 и о 7)1а1 / р (х) З (х) ах / (х — х,) 6„(х,) Остаточный член будет иметь вид: ь Г11 -Н(П /' 81,(х) (29) а Аналогично можно построить формулу численного интегрирования ь а о ума-Н (Р) ° ф'„(х) р (х) у (х) г(х = ~~~ Е',аЧ(ха)+ —,, ~ р (х) " ах.

(30) а 1 1 а где х» — корни уравнения ф„(х) =0; фа(х) = о1а(х)+ Ра(аа 1(х), Р„= — ", (31) ь Е1„> / р (х) фн (х) (32) (х — х,) ф (х,) 268 численное дивьвгвнциговлнив и интвггиговлние [гл. 3 Наконец, в последнем случае узлы х',« будут корнями уравнения (я(х) = О, где 44 (Х) 44« (а) аа (Ь) ",„(Х) = 41„,(Х) ш„1(а) «„1(Ь) 1 ! . (33) ~„-1 (а) ~ч-1 (й 44ч 1 (а) шч 2 (Ь) 44„2 (х) 44„, (а) ш„г (Ь) Коэффициенты Г(сч формулы / р(х) Г(х) 4(х= ~ Р~"~~(х; )+Ге„()) (34) определятся из равенств (35) и остаточный член будет иметь видь ь )41 (4') =, ' 1 " 4(х. Г42«-г! (() /' р (х) (~ (к) (2л — 2)1 ./ (х — а) (х — Ь) (35) Приведем значения х',." и Р)") для некоторых значений и при р(х) = 1 и а = — 1, Ь = 1.

хг = О, х,= — 1, Хг= 1 4 ~2 3' 1 3' 1 Рг= — ' х, =- — 0,2, Х2=02 х,= — 1, 1 ГЧ1 = —, б' б Рг= б 1 Г = —; б' 3 х = — —, 2 7 ' а=5: х,=О, Хь 49 64 ~З ' ~4 99' гч1 = 0,1, В заключение приведем вычислительный пример на мул Гаусса и Маркова. Прим е р. Вычислить по формулам Маркова и взяв п = 5.

(Ы ( ( (х) р (х) 41х 1 1 (1 «4~„4~ 1 4(Х 1+хг ' ь 3 — х =1, 7 ' ь 49 Рв — 0,1. применение форГаусса интеграл 9 б) ФОРмулы численнОГО интеГРНРОИАния чевышеВА 269 Преобразуем интеграл к промежутку [ — 1, -) — 11. Получим: с'х 7=2 / + —,. — 1 В формуле Гаусса: /(х,) = 0,24945107, /(хД = 0.23735995, /(х) = 0.2, /(х ) = 0,15706261. /(х )=0.13!00114. Вычисления лают /ж0,78539816. Все знаки верны. В формуле Маркова: !(х1) = 0,25, /(ха) = 0,24276181, /(х ) = 0,2, /(х1) = 0,14841465, /(х ) = 0,125, Вычисления дают /ж 0,78539214.

ф 6. Формулы численного интегрмрования Чебышева 1, Построение формул. В предыдушсм параграфе мы получили как частный случай формул Гаусса формулы численного интегрирования Эрмита. Они характеризуются тем. что все коэффициенты при /(х;) равны. Это оказывается существенным, когда значения /(х;) подвержены случайным ошибкам (напримсо, получены из эксперимента). Тогда выражение с, /(хг) + с,/ (хя) + ...

Характеристики

Список файлов книги