Том 1 (1160083), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Необходимо только исследовать остаточный член. Для нашего случая дягьз Вггья ( 1)г+! соя с (2г+ 2)! 2 2 Следовательно, Воспользуемся выражением для Ва„, полученным ранее Л„( )Ь)~~~ "+'~ 2 ~2Ф ~ Д ~ ! Д 1 (2я)эг+Я (2г (- 2)! 2 и!в — 2 ~ з1п — ~ 2 ~ 2 ~ Следовательно, ! 2 Таким образом, при !л~(2п остаточный член стремится к нулю.
В заключение дадим вывод формулы Стирлплга асимптотического представления и!. Для этого в формуле Эйлера положим а = 1, л = 1, у (х) = ! п х. Тогда и !пхг(х= — !п1+!п2+ ... +!п(и — 1)+ 1 1 Вэг Г (2г — 2)1 (2г — 2)11 (2г)1 1 лаг-1 Отсюда и()пи — 1)+! = !п(и1) — — !пи+С вЂ” — — — ' 1 . В В 2 2л !2ла !п(и!) = С+(и+ — „1!пи — и+в 11 1 1 где С вЂ” некоторая постоянная. Для ее определения воспользуемся формулой Валлиса: ч . 2а" Гл!)4 2 „, [(2л!))Я(2л+ 1) * 91 РАзностные ФОРмулы численнОГО интеГРиРОЕАния 297 Логарифмируя ее, получим: !п — =- игл !4п !п 2-Ф-4 !п(п!) — 2 !п((2п)!1 — !Н(2п+-1)) = 2 „Ф, йгп ~ 4п !и 2+4 Ип+ — ) !Нп — п+С~— Ч.Э со 2 — 2 ~(2п+ — ) 1п (2п) — 2п + С1 — 1п (2п + 1) ~ = — 2 1п 2 + 2С. Следовательно, С = — !Н(2я).
1 2 Таким образом, окончательно получаем: ! г! г= — Г 1 1 п1= з ~/г2 ~ "[1+ — „— . + ...~. 12Л Зббпз Это и есть формула Стирлинга. $9, Формулы численного интегрирования, содержащие разности подынтегральной функции 1. Формула Грегори. Перейдем теперь к изучению формул численного интегрирования, содержащих разности подынтегральной функции, Пусть нам задана функция г" (х) в точках а, а+ И, ..., а+пй, Составим таблицу разностей: Представим Г"(х) на интервале (а, а+и) при помощи формулы Ньютона для интерполирования вперед: Ьх) = 1(п+ Ю = 1, + Гй, + Г(г — 1) Г(à — 1)... (à — и+1) 2! и! я!а я!' 298 численное диэезгзнциговлние и интегеиговлниа (гл. 3 где '. Я = ' ' "' ")Д"+'У'" п(()(о~( (и+-Д).
(2) Интегрируя обе части равенства по интервалу изменения х от а до а+и и деля на д, получим: а+в л 1 Я Нх)( =уо+~з~'" "",, '+" щ„,+~К„,а. (З) ь-го Нам часто будут встречаться интегралы г(г — 1) ... (г — а+1) Д1 Л. о Поэтому для сокращения записей будем обозначать их через Л. Положив Ао= 1, будем иметь: а+ь и У(х)с~х= ~',Аау,"и -(- ~ й-~Ю* Перейдем теперь к интервалу (а +й, а+ 2й). Если мы возьмем за начальное значение Ун то Уже нельзЯ бУдет воспользоватьсЯ формулой Ньютона, если мы хотим пойти до разностей и-го порядка, так как У",, отсутствует в нашей таблице.
Поэтому мы воспользуемся диаграммой Фрезера и выберем путь, идущий от у; по диагонали вниз до ("„'„, и затем по диагонали вверх до у„"„. (В таблице он показан сплошной линией.) Соответствующая формула будет иметь вид у(х) = у(л -)-д+ дг) = у, + (у,' -(- Г(à — 1) ао г(г — 1) ... (à — и+2) ал-г 21 ~з ' (и — 1)1 з ~л.~.шз + Г(г — 1) ... (г — и+ 1) и1 Учи+ Йла.
(б) где х — а — И ь ф 9) глзностныв еоемтлы численного интвгеиговлния 299 Интегрируя по интервалу изменения х от о-)-й до а+2л и леля на л, получим: а 1-1а в-1 1 У(х) г(х = т Ае 7!ыз1а14-Авува+ / !!(вагам. (6) ~ч в аа1 Зля интервала (а+2й, а+.Зй) выбираем путь, начинающийся с уз и идущий по диагонали вниз до разностей (и — 2)-го порвана и палее по диагонали вверх. Соответствующая формула после интегрирования будет иметь вид а+за и-а %ч ь в-1 — Цх) г(х = т АаД!ыа!+а+ Ав 17!вагвв+ + 7«,1 ( ';" Ж+ / )1 з(г) Ж.
(7) Продолжим этот пропесс далее. Йля последнего интервала (а+(и — 1))1, а+пЦ получим: — / 7(х)с1х=у' 1+А!у'„1 о+Азу'„,+ а+!в-1! Ь 1 1 !'(г+ 1) г (г — 1) „ /' (г+ 2) (г+ 1) г (г — 1) +1в И / 3! 1в-3 / 4! О а ! ! + ув ! (г+ л — 2) ... (!+1) г(г — 1) '((+ !')7 ~г (9) в1З ! и! вв Сложим теперь все полученные интегралы.
В левой части будем иметь: — „! г" (х) г(х. а Первые слагаемые справа аалут в сумме уа-+Л+ . ° +-У Вторые слагаемые дадут А1(Ув+/ь+ ° . + 1' г~ = А (ув — 1о1. 300 численное диивевнциговлнив и интвгеиеовлние (гл. 3 1 Но А,= —. Складывая последнюю сумму и предыдущую, получим: !— 1 1 2 !е+!г+ +!" !+ 2 ~" При сложении членов с вторыми разностями не будем учитывать вклааа от послелнего интеграла. при сложении членов с третьими разностями не будем учитывать вкладов последних двух интегралов и т.
д. Тогда сумма остальных членов с «-ми разностями даст А«~Уч:(<«пе — Д(а«г1!я~ («=2, 3, ..., л). Соберем теперь оставшиеся члены с «-ми разностями. Они дадут ! Г (Г+1) Г(à — 1) ... (à — «+2) х -ига~ ь+,/ «1 о ! / (г+ 2) (г + 1) г 0 — 1)... (г — «+ 3) «1 о ! / (! ./. ! — 2 ) ...
(! "!. ! ! ! — ! ! «1 о Если обозначить через ср(г) произведение г(( — 1) ... (à — « -1-1), то послелнее выражение можно записать в виде ! ! ! уь 1 1 т(Г),((+ / т(Г+ 1),(Г+ ) Ч((+« — 2) ~~~ у +,' «1 ч о илн если заменить во втором интеграле 1+1 на 1, в третьем Г+.2 на ( и т. д., то квадратная скобка примет внл В« = г (г — 1) ... (г — «+ 1) Ж. о Если « — нечетное число, то в силу показанной ранее симметрии функции ((() относительно середины интервала (О, « — 1) это выражение булет равно нулю. Пусть теперь «четное.
Тогда Веч,=О. Но М ! !'г(1-1) « — «), С'г( — 1) . ( — «), "+! ,/ («+ П1 ~~ ,/ («-(- П1 о о У г(г-!)" (г-«), О («+ 1)1 1 ч 9) РАзностныв ФОРмлуы численного интвгРНРОВАния ЗО1 Первый интеграл равен А„ „. Во втором произведем замену (=у+-1. Тогда он примет вид (у+ 1) у (у — 1) ... (у — »+1) (»+ 1)1 г(у = О у (у — 1) ... (у — »+ 1) )(у — й) + (»+ 1)) (»+ 1)! г(у = 0 »-г »- У(у — 1)" (у-») ! у(у-1)" (у — »Ч-1) (» -)- 1)1 "(У + ,/ »1 О О »-1 ) у (у 1) . (у ») =А»..,+В»+ ~ ''' с(у.
Последний интеграл равен нулю, так как и область интегрирования » и подынтегральная функция симиетричны относительно точки != —. Таким образом. 2А„, + В» — — О А»,, + В» — — — А» Если теперь использовать найденные нами значения В» и прибавить их к соответствующим, ранее найденным членам, то получим, что коэффициенты при разностях нечетного порядка не изменятся, а члены четного порядка примут следующий вид: — А»~~) У"-»ы+У»з1 Это будет иметь место до разностей порядка л — 1. Если л нечетное число, то В„ = О и последний член пропадает. Если же л четное, то разности (л — 1)-го порядка будут умножены на (А„Ф,-)-В ). Мы получили формулу Грезори: чей» 1 ! — г(х)г1х= ~Б+Ь+ЬЛ- +У, + 1 а + —,1„-)- А,')у„'ч, — Л,1 — Ав")у-'„, + у',1 -)- +А,)У„'ч,— Й,~ — А,')Р„.,+Ц+ " +й.
(9) Остаточный член !с этой формулы будет такой же, как и у формулы Ньютона — Котеса замкнутого типа с таким же и. Да и сама эта формула является преобразованной формулой Ньютона — Котеса, так как на каждом отрезке мы интегрировали интерполяционный 302 численное диеееевнциговлнив и интеггивовлние (гл. Ъ многочлен, построенный по узлам а, а;+И, ..., а + пИ.
Конечно, это верно лишь в том случае, когда при использовании формулы Грегори мы доходим до разностей порядка и. Коэффициенты А„ можно определить при помощи интегрирования. Гще проще их отыскивать, если воспользоваться разложением (1+ )г 1+1 + + г(г — 1) ...
(г — И+!) г ~ ! 1 Интегрируя обе части равенства по 1 в пределах от О то 1, получим: —,„(-,У+ ) — ~А„у»; у= ~о~ А,уг ~» — ++- ~ — ...~. (10) «-о г-о Приравнивая в последнем равенстве коэффициенты при одинаковых степенях у, будем иметь: А — — А, — +-Аг -4-... +( — 1)" — 'Аг,= О, Ао — — 1. (11) Это рекуррентное соотношение позволяет последовательно находить все А„. Первые восемь значений Ал таковы: 1 1 1 19 '1о 1, Аг =,, Аг —, 4г— 12' г 24 ' г 720 ' А — 3 А — 863 А — 275 160 ' о 60480 ' ' 24192 ' Формулу Грегори можно было бы получить из формулы Эйлера, если заменить входящие туда производные их выражениями через разности. Нужно заметить, что работа по составлению таблицы разностей для использования ее в формуле Грегори не может считаться излишней, так как она позволяет обнаружить ошибки при вычислении 7'(х) в точках а, а + И, ..., а +- пИ.
2. Формула Лапласа и другие фовмулы. Если нам известны значения 7(л) для л, выходя;цих за пределы отрезка интегрирования, то можно получить еще ряд формул. Так, если у(х) задана в точках а, а+И,..., а.+(гг+т)И, то для каждой из точек а, а+И,..., а+(и — 1) И можно написать формулу Ньютона для интерполирования вперед, доходящую до разностей порядка т. Интегрируя каждую из них в пределах изменения 1 от О до 1 и складывая, получим: атал — У(~) ~2~= — И+7' + . +У -~+ /' 1 а +т-у'„+~~ Ал[(ао(г г)Гг — Г(г г)лг!+)с,а, (121 г-! ь-г а д) вазностныв еогмглы численного интвггиговаиия ЗОБ гле латггУ(т+гг($) (т+ 1)1 ()З) 1 У у(х)г(х=гч + 1~( У)/,', г((+1 г(г 1) 1„'чг(г+ а О о ° е(г — 1)(г — — 1 +~ 1 2гуз +/ г(гг — 1)(г — 2) г + +/ Коэффициентами при разностях нечетного порялка будут интегралы П(гг 2г) ...
Ои аг)(г л — 1)~г ~1 2) (юг + 3)1 Ж. о 1 Произведем замену переменных, положив ( — — =т. Тогда числи- 2 тель под знаком интеграла примет вил: 1 1 а прелелы интегрирования перейдут в — †, и — . Таким образом, 2 2' эг и интегралы обратятся в нуль. Интегралы, являющиеся коэффициентами при разностях четного порядка, имеют вид г (гг — 1)... (гг — Лг) (г — /г — 1) (2)г+ 2)1 г~ Обозначим их через Огг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
