Том 1 (1160083), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Тогда наш остаточны(! член (35) можно записать в виде +1 я 1 Р (1 — з) +' 2 жт Ря (у) = — / у(я1+1! (з) — — ~ (х! — з)'" а1з, (37) т(,,1 т+1 -1 1 1 Исследуем функции (1 — з)й+ 2 кч й чй(з) = — — 7 (х1 — з) (й =О, 1, 2, ..., т). й+1 На отрезке ( — 1, х1) они положительны, если й нечетно, и отрицательны, если й четно.
Действительно, так как й (и, то (1 — з)й+1 2 %ч 1, (1 — з) +! 2 %т й — — — г (хз — з) — — г, (х, — з) л а ' й+! л Й (! )й+1 й+1 — (х — з)й 1(х = — 1 (1 — 3) (1 — ) +( — 1 — ) + 1 й+1(1+з)й+1 й+1 й+1 й+1 й+1 Отсюда и следует утверждение. Далее, чй(з) = — (1 — з) + — ~ (хг — з) 2й %т й-1 Л 1ЫЗ или Тй (з) = — тй,(з) (й=1,2, ..., т). 278 числнннон диеенгннциговлнип и интнггиговлнин [гл, 3 В частности, 2 6 — 1 Г, (х) = — (1 — з) — — т (х — з) = 1-[- з.
и .Ля ! 0 Правая часть неотрицательна при з„х — 1 и так как чт(з))0 при — 1 зь; ~ хи то тз (з) ) 0 при з) — 1. Но фз (з) 2 = — вт (з) <.0 при з) — 1, и так как ет(з) СО при — 1ч.з~хт, то чэ(з) <.0 при з) — 1. Отсюда получаем, что яз(з) )О при з) — 1, и, продолжая также дальше, приделк в конце концов, к заключению, что ч (з))0 при з) — 1 (т нечетно1). В силу доказанного, к выражению для )а»(г) применима теорема о среднем и е1 » У<»'+т! (Е) Р Г(! — з)~+' 2 'кч )7» (У) = т(,/ ~ т+1 и ля — — у (хг — з)т Из. -1 1-1 (38) Таким образом, Р»(У) = М»Х( +'! 6), (39) где постоянная М„не зависит от вида функции у(х). Для отыскания постоянной М„проще всего поступить следующим образом.
В качестве функции у (х) возьмем хт»+т. Тогда предыдущее равенство даат +! » » (т+ 1)! М„= х~+тНх — — У. хт+' = — — тт хт+'. г-з Оисюда 2 1 1 1 ~1 ~+,1 (т+1)! ~т+2 и ~4 ' )' ! 1 (40) где т х, ~'1 а $-1 а Ьт, Ьь ..., Ь„ являются коэффициентами уравнения »„(х) = Оа „(.)= -[-Ьгх -т+ ... -[-Ь„, +Ь„=О. При помощи этих формул з„+т и з„»т выражаются через з„, з„, ... Последние находятся при помощи равенства: +т » — -ь-- хаПз= = — ~ х.
= — зл (Ь=О. 2, 4, ..., Ф(т), 2 2жч д 2 в+1 пЬ ' и -з з 1 за=О (Ь=1, 3,..., Л»,т). » При этом иам придется разыскивать суммы ~ ха»+', где т+ 1 равно или 1 з и+1 или л+2. Здесь удобны формулы Ньютона: з»+з+Ьтз»+ Ьтз т+ ... + Ь таз+ Ь»зт = О, з»+э+ Ьхз»+т+Ьэз»+ ... +Ь» тзз+Ь»зэ — — О, 279 СХОДНМОСТЬ КВАДРАТУРНЫХ ПРОЦЕССОВ Приведем готовые выражения остаточных членов для тех значений л, для которых формулы Чебышева существуют: й~й = ~ уа(5)' )33 Ф = 1155 331 ) (3)1 1 2 ~4 (~) 42525 ~ )с~(.)') = ~~~.)'н) 6), )3',(У) = 5, )н)(5); 15 (Л = - У")(5)1 1959552000 ()) в(') 11200 9 11! У ф 7.
Скоднмость квадратурных процессов формулы численного интегрирования, которые мы рассматривали, имели следующий вид; у(х)31х с3у(х3)-)-сз)(ха)+ ... +с ~(ха). а Мы получали их путем замены подынтегрального выражения интерполяционным многочленом Лагранжа, Мыслимы и другие способы замены. В связи с этим рассмотрим следующий вопрос. Функционалу ь ~ у(х) ~(х а ставится в соответствие последовательность функционалов Ь„(У) = ~~~~ с)"~ ) (х( ~), (2) где с(3) выбираются из некоторой бесконечной треугольной матрицы: О) С3, сй) соз С3, С3, 13) 13) 13) С3 , Сз , Са, При выводе остаточного члена для формул Чебышева мы по существу следовали тому пути, который был указан в й 3.
280 численное диааегенцивоввние и интеГРиРОВАние [гл. 3 а х(;") — из другой заданной бесконечной треугольной матрицы: о) Х1 ю (2) (2) Х), Хз Х1, Х2, Хз, (З) (2) (З) Предполагается, что все х( принадлежат отрезку [и, Ь[. При каких (а) условиях, наложенных на с(") и х("), для любой непрерывной на [и, д[ функции у(х) будет иметь место ь [нп ЕаЦ) = / У'(х) бхай а ь ь У (х) с(х — Е„(У) = / [У(х) — Р(х)[ бх [- а а ь (Р(1 .— «(Р)''у-1.и — Р( а (6) В силу теоремы Вейерштрасса можно найти такой многочлен Р (х), что [у(х) — Р(х) [~ в при х~ [и, д[. (7) Пусть Р(х) в предыдущем равенстве и будет таким многочленом. Тогда абсолютная величина первого члена правой части не может превышать в(Ь вЂ” и).
В силу первого условия доказываемой теоремы Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой: ь Теорема. Для того чтобы Еа([')-Р / Е(х)и(х при и-+со а для любой непрерывной ни [и, д[ функции ) (х), необходимо и доститочно, чтобы это имело место для любого многочлени и чтобы ..,'~~ ~[с(2')[( М для любого и. Ь 1 Докажем сначала достаточность этих условий. При этом мы будем ссылаться на следующую теорему Вейерштрасса: Для всякой непрерывной ни [и, Ь[ функции у(х) и для всякого 2 ) 0 можно найти такой многочлен Р(х), что [[(х) — Р(х) [ с в при любом хЕ[и, д[.
Доказательство этой теоремы мы приведем в следующей главе. Рассмотрим разность 281 СходимОСть кВАДРАТРРных пРОцессОВ второе слагаемое в (б) при достаточно большом и может быть сде- лано меньше е по абсолютной величине. Далее, ~ У(х)ах — 1.„()) (е(Ь вЂ” а+1-+М), а (10) т.
е. левая часть может быть сделана сколь угодно малой, что и доказывает достаточность условий, Необходимость первого условия очевидна, так как многочлены являются непрерывными функциями, Поэтому нужно доказать только необходимость второго условия. 'Доказательство будем вести от пров тинного. Пусть .'5„'~с~Ю~ не ограничены. Для каждого и построим В 1 функцию ра(х), обладающую следующими свойствами: 1. ра(хь') равно +1, если с)ю)0 и равно — 1, если с~~,"1<0„ 2.
р„(х) — непрерывная функция; 3. !~„(х)! <1. Очевидно, 1 а ОЯ = Д ~ сь (. (11) Обозначим для сокращения записей последнее выражение через М„. Возьмем некоторую из построенных нами функций О„,(х), Для нее должно иметь место 1пп ).„(~„,) = ~ р„,(х)г(х. а (12) Но ~ ~аа,(х) ) (1.
Следовательно, ь уа,(х)ах (Ь вЂ” а (13) и найдется такое Ио что при и ~ И, будет ~ 1.„(О„,) ~ ( е (Ь вЂ” а) (14Р 1.„(у — Р) = .Р„' с~ьь"' ~ У(х),"') — Р (х)ю)1. (8) Таким образом, / У.„(У вЂ” Р) /~( ~ ~ с$,"1 /~ У(х)ю) — Р(х$,"~)/ ( ВМ. (9) Отсюда получаем: 282 численное диееееенциеовлние и интегеиеовлние [гл. 3 (адесь е — основание натуральных логарифмов). Далее, иайдетсятакое л,) )ч'о что М„,) 2 2!. Рассмотрим функцию т„,(х) т (х) Ф.(.)= "'!! + (15) Она непрерывна.
Следовательно, О Но ь Л Гтя (х) т„(х)1 ~!! + ~2, 1зг[х <( — + 2 )(б — а) <(е — 1)(Ь вЂ” а), в (16) Поэтому найдется такое М,, что при п) Ие будет ~ .ф+Я<.( —.). (1У) Найдем такое ль)~Мы что М,ь ) 3 ° 3!,и продолжимнаше построение дальше. Пусть мы уже нашли И . Тогда находим и,„„, ) И„такое, что М, )(т-[-1)(т+1)1, и строим функцию 1 Она непрерывна.
Следовательно, Иш Ь„(ф 1)= 1 ф „,(х)ах. а (19) Но ь у ! ! 1 ф „,(х)г!х (у+ —, + ... + ) Х а Х (Ь вЂ” а) ((е — 1) (Ь вЂ” а). Находим Мя,„такое, что при л ) )ч'„,+, [ У.„(ф„,+,) [ ( е (Ь вЂ” а), и продолжим построение дальше, Таким образом, мы получим ряд (20) (21) (22) Этот ряд будет равномерно сходиться, и следовательно, его сумма будет непрерывной функцией. Обозначим ее у(х).
2 7) 283 сходнмость кВАВРАтуРиых пРОцессОВ Возьмем любое натуральное число Ь и представим 7(х) в виде В-1 О тгт Р„ (х) Р„в(х) ~т-~~ 7„1(х) !! д! '!! (23) При этом . ='.~х', „")+..('-,' )-".(х,",',*') (24) (25) Далее, ! !! (В+1)!! + 1+2+ 1-ве1 1 В+1 +(В+2)(В+3)+ ' ' ') (/и+1)!) + В+2+(А+2)1 ...1= 1 1 а+2 Д+! ! (А+ 1)! 1 (А+1)!(В+1) ~(Д+1Р Д Д Л! /г+ 2 Таким образом. (26) Функционал от среднего члена будет равен тмь (Х) ! Ивз 7. мв д! ,! Ь! ( )= (27) Сопоставляя соотношения (24), (25), (26), (27), получим: Ммв М„в (7) ) — — — — е (Ь вЂ” а). "в д! д ° д! Но М„в) Ь ° Ь! и, следовательно, 7.
(У') > Ь - И ( — — — ) — е (Ь вЂ” а) = Ь вЂ” 1 — е (Ь вЂ” а), / 1 1 ье (д! — . (28) а последнее выражение неограниченно возрастает с возрастанием Ь. ь Поэтому 7.„(7) не может стремиться к ~ 7(х) ах. Мы пришли м к противоречию. Таким образом, необходимость условий доказана. Оценим каждое слагаемое в отдельности. Так как лв Р Мв 1, то 284 численное дисвегенциговлние и интеггиговлние (гл, 3 При доказательстве теоремы мы считали коэффициенты совершенно произвольными. В рассмотренных ранее случаях эти коэффициенты получались путем интегрирования интерполяционных много- членов.
Такой процесс будем называть иитерполяционно-квадратурным. Для интерполяционно-квадратурных процессов сходимость наверняка имеет место лля любого многочлена и первое условие теоремы можно опустить. Далее, беря у(х) = 1, получим„ И ь Х "'— с'ь"'= ~ дх=Ь вЂ” а. ь-з а Поэтому, если все сь~ положительны, то и второе условие теоремы будет выполнено. Такой случай как раз имел место в формулах Гаусса. Поэтому кзадратурный процесс по формулам Гаусса всегда сходится.
При изучении формул Ньютона — Котеса мы видели, что у них имеются отрицательные коэффициенты. Можно показать, что для формул Ньютона — Котесаусловие ~Р ~~с~в~~~ (М не выполнено. О сходимости формул Чебышева при р(х)= 1 вопрос ставить нельзя, так как при п) 10 формул Чебышева не сушествует. Э '8.
Формула Эйлера Формула, к выводу которой мы хотим приступить, имеет самые раанообразные применения: численное интегрирование, суммирование рядов, разложение функций в ряд и т. д. Ее часто называют формулой Эйлера — Маклорена, хотя впервые она была получена Эйлером. Формула Эйлера не связана непосредственно с теорией интерполирования и потребует некоторых сведений о многочленах и числах Бернулли.
1. Числа и многочлены Бернулли. Рассмотрим функцию хггх зх Она может быть разложена в ряд по возраставшим степеням х, равномерно сходяшийся при ( х ! ( а <'. 2я, так как ближайшей ь началу координат особой точкой этой функции является х=2кд Запишем ряд в виде я-О 285 ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА Ва(г) называются многочленами Бернулли. Что они действительно являются многочленами, мы обнаружим немного позднее, Многочлены Бернулли широко используются в теории чисел„При Г= 0 получим: (2) а-о где через Ва обозначено Ва(0). Числа Ва называются числами Бернулли. Прежде всего убедимся, что Ва(!) — многочлены, и укажем более удобную, чем (1), формулу для их получения.
Умножая обе части равенства (1) на е* — 1 и разлагая е* — 1 и хе! в ряды по степеням х, получим: гахаа1 а-ч ха Ст Ва (г) =Х ..Х" аао' Л! Ф.а Л! Фоо Л! а о а-1 а о Приравнивая коэффициенты при ха в левой части и в правой, после умножения рядов будем иметь: В, (!) Ва, «) Во «! (л — 1)! 1! (л — 1)! 2! (л — 2)! ' ' ' л! !! или и1 = ~~~~С„Ва „(Г). 3-о Отсюда при л= 1 получаем В (1) = 1 и, полагая далее и= 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
