Том 1 (1160083), страница 44
Текст из файла (страница 44)
+- с„/ (х„) (с,+с,+ ... +-с„фиксировзно) будет иметь наименьшую случайную ошибку при с,=ся=... =с„. В связи с этим П. Л. Чебышев поставил следу1ошую задачу: найти абсциссы х,, х,,..., х„и коэффициент К так, чтобы з формуле численного интегрирования ~ р (х) / (х) и'х = К 1) /(хг) + й (/) остаточный член )7(/) обрашался в нуль, когда /(х) является произвольным многочленом возможно большей степени.
Так как в нашем распоряжении находится и + 1 величин К, х,, ха, .... х„, то степень эта не меньше п. Коэффициент К находится без труда. Полагая/(х)= 1, получим: ~ р(х)п'х=КЛ. -1 (2) Как и в предыдущем параграфе, вместо того чтобы отыскивать сами абсциссы х,, хз,..., х„, найдем многочлен (3) м„(х) =(х — х,) (х — хз)... (х — х„). Возьмем в качестве 7(х) функцию У(.) =.' „. (4) где л — произвольное число, 1г~ ) 1. Тогда .~.! ~ Р(х)л» К~ ! + ! + + 1 ~ ~ )>( 1 ) (б) -1 Последнее выражение можно ааписать в виде (6) Проинтегрируем обе части равенства по щ Получим: +1 ~ Р (х) 1п 1 л — х ! !7х = К 1п — "" — + ~ й ( — ~ г(л.
-1 Здесь С вЂ” постоянная интегрирования. Потенцированием находим: 1 к .) — ! Р1х) Ы1е-х 1лх ю„(з)е~ ~ ' =Се (7) Представим показательную функцию, стоящую множителем в левой части равенства. в виде ряда по убывающим степеням щ Имеем: 1 1 1 х хт х" х" ь! х — х х а + хе + аз + ' ' ' + е" ч! +е"чз + ' ' ' г ! —— е Ряд справа при 1х! (1 и 1г~) и) 1 будет равномерно и абсолютно сходиться. Далее, (9) 270 числвннов дивввркнцировлнив и интвгрировлнив (гл, 3 Отсюда 272 численное диеевгвнцигование и интеггиговлнив [гл. 3 Таким образом, мы показали, что в„(г) в формулах численного интегрирования Чебышева определяется из равенства — р (х) щ Ы вЂ” е ~ ле г л,[ в„(г) = СЕе (17) Здесь С подбирается так, чтобы коэффициент при з" в м„(г) был равен 1. Дадим еще один способ получения ш„(г).
В формуле / р (х)у(х)(х = К,'5', у(х) + й (,у) возьмем У(х)=па+а,х-+пахе+ ... -[-а„х", (18) где ач, ам а,, .... а„— произвольные действительные числа. Полу- чим: ав / Р(х)Их+а, ~ Р(х)хНх+ ... +а„[( Р(х)х" г1х= =ааКл-[-а,К [х,+-ха-[- ... +х„[+ааК Х )~ [х;+х, "+ ... -[-х'„[+ ... +пвК[х",-[-хя+ ...
+ х.~. (19) В силу произвольности а; должны иметь место следующие равенства: рч =Кп, р, = К [х, -1- х, + ... [- х„[, ря = К [х,+ха+ ... -+ха[, (20) так как )с(У) в этом случае должен обращаться в нуль. Введем обозначение е1 рг= ~ Р (х)х'гЕх. -1 5 61 ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЧЕБЫШЕВА 273 Первое равенство дает: К= — = — ~ р(х)»»х, — 1 т. е.
то же, что и раньше. Деля остальные равенства на К и обозначая — = т», получим систему и уравнений для определения х». Р» К х, +х, + ... +-х„=т,, з з з хз + хз + ... +. х„= т„ (21) х1 + хз + ° .. + хп — т Опять будем разыскивать многочлен з1п(х), корнями которого являются х,, хз...., х„, удовлетворяющие этой системе. Пусть т„(х) =х" +Ь,х"-'+ ... +Ь„,х+Ь„.
(22) Нам нужно найти Ь,, Ь,, ..., Ь„. Имеем: У пп (Х) .Ап» Х вЂ” х» (23) зз„'(х) = пхи-'+(п — 1) Ь,х"-'+(и — 2)Ь,х» з+ +Ь„, (24) Далее, -,"( ) =х" +(Ь,+х,)х" +(Ь,+Ь,х»+х,')х" + ... ... +(Ьп 1+Ьп-гх»+ ... +.Ь,х, +х"; ).
(26) Отсюда и из равенства (23) получаем: ...'„(х)=пх '+(ЛЬ,+т1)х" з+(ЛЬз+Ь»т,.+тз)х" з+ ... ....+(ЛЬ„1+ Ь„зт»+- ... +Ь,т„, +т„,). (26) ЛЬ, +-т,=(. — 1) Ь,. пЬз+Ь,т, +та=(п — 2)Ьз, (27) пЬ„,+Ь„,т,+ ... -+Ь,т„, 1 т„,— Ь„, Сравнивая коэффициенты при одинаковык степенях х в равенствах (24) и (26), находим: 274 числзнноз диеезгвнциговлнив и интвгвивованнз (гл. 3 Отсюда последовательно можно найти Ь,, Ьа, ..., Ь„ ,. Для получения коэффициента Ь„ рассмотрим сумму аа„(хг)-!-аа„(ха) + ... +ы„(х„).
т„-!-Ь,т„,.+Ьат„а-)- ... — ! — Ьа,т,+пЬ„=О. (28) Отсюда определится Ь„. Итак, мы показали, что для каждого п можно найти ю„(х) такое, что если корни ы„(х) =О принять за абсциссы формулы численного интегрирования, то все коэффициенты са этой формулы будут равны между собой.
Очевидно, ы„(х), полученное вторым способом, будет совпадать с ы„(х), полученным первым способом. рассмотрим теперь частный случай формул Чебышева, когда р(х)= — 1, При этом +1 К= — 1 е(х= —, 1 / 2 и,/ и' -1 (29) а абсциссы х,. ха, ..., х„являются корнями уравнения +1 — 1ч! а-е !ее а д Ее (30) Но при г )1 1п ~ я — х ~ е(х = (г+ 1)! п (я+ ! ) — (я — 1) 1п (я — 1) — 2 = -1 = 21п г+(я-1- 1)1п(1 -(- — )+(1 — г) !п(! — — ) — 2 = =2!пя.+(я+1) !с — — — +- ! —...~ — (1 — г) Х г1 1 2 за Зга Х ~ +2 а+3 а+ ..~ — 2=2!пав Отсюда л н а щ (З) — Сд~заа а а а а а г' ьыаа (31) С одной стороны, эта сумма равна нулю, так как аа„(ха) = О.
С дру- гой стороны, складывая представления аа„(ха) в виде многочлена по возрастающим степеням х; при различных ! получим: Дадим п значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Получим следующие урав- нениЯ для пОлучения хгг х' — — = О, 1 3 1 — х О, 2 1 3 х'+- — 45= О г ха+ х — 0 б 72 1 1 хв -)- — хг — = = О. 5 105 '7 П9 г 149 х +,' М=О, б + 360 6480 3 27 в 57 в 2217 — х' -!- — хв — —. хв -)- х = 0. ~ 2 40 560 22 400 (32) хв Можно было бы получить г1„(х) и для других значений л, но, как показал академик С. Н, Бернштейн, при этом уравнение в1„(х) =0 будет иметь комплексные корни и, следовательно, соответствующая формула Чебышева не может быть использована. Абсциссы формул Чебышева при различных значениях л и 1 даются следующей таблицей: и = 2 — х1 = хг = 0 577350' Л=З вЂ” х,=х,=0,707!07, ха=О; и = 4 — х, = х, = 0,794654, — х, = х, = 0,187592; и= 5 — х = х =0,832498, — хг= х = 0,374541, И= 6 — х,=хв = 0 866247, — хг= ха= 0 422519 — х, = х, = 0,266635; п = 7 — х, = х, = 0,883862, — х, = х, = 0,529657; — х,=х =0,323912, х,=О; л=й — х,=х =0,91!589.
— х,=х =0,601019; — х,=х,=0.528762, — х,=х,=0,167906, х =О. Рассметрим пример на вычисление интеграла по формуле Чебы- шева. Пример, Вычислить по формуле Чебышева интеграл 1 ! = ~ 1 г = — = 0,78539816 ..., в хг — — О взяв и = 7. 6 6! ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЧЕБЫШЕВА 275 276 числвннов диеевгинцнгованин и интвггигованиа !гл, 3 Как и в предыдущем параграфе, преобразуем предварительно интеграл к отрезку [ — 1, 1[. Последовательные значения ординат будут таковы: У (х,) = 0,249159, У(х,) = 0,236898, 7(х,) = 0.224361, ,7(х,) = 0,200000, У(х ) = 0,173831, У(хв) = 0,157732, У (х,) = О, 132469. Вычисления дают 7 = 0,785400. Ошибка не превышает двух единиц шестого знака. 2.
Остаточный член формул Чебышева. Получим теперь остаточные члены формул численного интегрировании Чебышева. Ограничимся случаем р(х)=1. Пусть число ординат, использованных в формуле Чебышева, равно и. Соответствующий остаточный член будем обозначать гг„(у). Как известно, )Св (У) = О, когда У(х) ЯвлЯетсЯ пРоизвольным многочленом степени и.
Если и — четное число, то )ся(у) обращается в нуль и для произвольного многочлена степени не выше и+ 1. В самом деле, если У(х) = аз+ агх+ аьхт+ ... + а„х" + а„+гх"+1, )(а(У) =)Са(ае+агх+ ... +а„х")+Ля(а„ьтха+1), то Первый член справа, очевидно, равен нулю, а +1 а 2 %т А'„(а„+1х"+1) = ~ ая+тхя+гах — — г а х"+'. И аз и+1 Отсюда, в силу наших предыдущих рассуждений, Но интеграл, стоящий в правой части, равен нулю, так как х"+1 является нечетной функцией х. Точно так же обращается в нуль и сумма в правой части, так как корни уравнения ма (х) = О симметричны относительно начала координат.
Итак, Яя(ая+1ха+1) = О и Р„(у) = О. Утверждение доказано. Пусть теперь У(х) — произвольная функция, обладающая на отрезке — 1, +1[ непрерывными производными до порядка из+ 1 включительно. десь ис равно и, если и — нечетное число, и равно и + 1, если и — четное. По формуле Тейлора имеем: У(~)=у( — 1)+(х+1)у'( — 1)+ 21 уа( — 1)+ °" (х+1)Я ... -[- — Ура) ( — 1) -[- — у У(ян-1) (з) (х — з)т Дз. (33) (Х+ 1)ы 1 1" и11 ш( 3 -1 3 6) еозмзлы чнслвнного ннтвгзнзоваиия чввып1вва 277 или )7и(У) = — с1х ~ У(и+1! (з) (х — з)" 1(з— т! 1 — 1 и — — р — ! 1 («1+1! (з) (хз — з)~ с(з. (34) л лыз т1,/ 1 1 -1 Меняя порядок интегрирования в первом члене справа, получим: +1 я (1 — з) + 2 жч )!я (У) = — ~ У( +О (з) — а1з — — т / У(а1+1!(з)(хз — з)г«1(з. т1 т+1 т(л л а -1 1-1 -1 (35) Введем обозначение (х — з)т = (х — з)Я1 при х ~ з, (36) О при х(з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
