Том 1 (1160083), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Тогда гьь Сложив такие интегралы, взятые по отрезкам [а, а+юг), (а+гг, а+2(г), ..., (а+(и — 1) гг, а+лгг|, Это — формула Лапласа. Можно брать и формулы центральных разностей. Например, интегрированме интерполяционной формулы Бесселя по ( в пределах от О до 1 даст ЗО4 числеииое диооевеициговлиие и иигеггигозаиие (гл. 3 получим: ааан — 1( )" — — 1 +ь' + +У вЂ” +- — Уа+- +-Оь(Ля+4, + .. +У'„„,ь)+- ... +-~. Но (зн ) узн 1 +гон 1 ггзн ( узн ( узн ( ггн 1 ( ~зн 1 ~зн 1 1 (ьгн-ь гзн-ь ( (гн — ь уьн — и уьн-ь гзн-ь аз 9 ьь П -Ч 1 а о Отсюда а ь ан 1 ) .ь (а) е(л 2 .ь о + Л + Уз '+ ' ' ' + ь а-ь +' э .ь а + 1 1 а +В ~Р— Уз~+В ~Уг — Р1 — ".
+й. (14) Найдем вид Ес. Остаточный член формулы Бесселя, если последняя используемая разность имеет нечетный порядок 2т+-1, выглядит так: с (Ег — 1) (Ез — 2г) ... (Ез — т') (Š— т — 1) (зтаз) . заь+з (йт+ 2)1 ()д Следовательно, в этом случае ф О дзт-~-'ьг (зт.~-г) (() (15) Коэффициенты ь)з имеют следуюшие значения: В = — —,, В,= —, с),=— 1 11 191 2497 Е.ь = о 12 ь= 720 г 60480 з= 3628800 Нитегрируя иитерполяциоииую формулу Стирлиига, получим: Ь ! ! а+— 1 У Их)Их=1„+-у.' И +у. 'У "(",, ') + и 1 ! а 3 з 3 1 ь а Е Ег(гг 1з) ..
(Ез Д) ... +.(;- ~Е '"-,, ЕЕ+ / Яж. ь к 10! некОтОРые зАмечАния по НОВоду ФОРмул интеГРиРОВАния 308 Обозначая 116) последнее выражение можно записать в виде л а.1.— г а — 7 (х) с(х =.Та+ лга Есуо'+)г Еа+гу' +'1 Д). (17) Складывая л таких выражений, найдем; ата- — у (х) г(х = у', + у, + ... + у„, + '+,)~ ~Еа (7 -'(. — Х- А ~ + 77 (18) г 1 Коэффициенты Е; имеют следуюшие значения; 1 17 Е = 367 Е = — 27859 Е, = 94 ' г= 5760 г = 967680 а= 464486400 И в этом случае нетрудно написать остаточный член. Он будет равен (19) Все последние формулы используют значения функции для х, лежаших вне отрезка интегрирования. Их можно использовать как для интегрирования, так и для суммирования.
Можно было бы значительно расширить набор такого рода формул численного интегрирования. Некоторые новые формулы будут получены в главе 9, посвяшенной численному интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. Сам читатель сможет теперь без труда получать нужные ему для тех или иных целей формулы. Е 10, Некоторые замечания по поводу формул численного интегрирования Мы получили ряд формул численного интегрирования.
Возникает вопрос: какую формулу нужно применять в том или другом случае, какие формулы более выгодны и какие менее выгодны. На этот 306 численное диффевенцивовлние и интегвивование 1гл. 3 вопрос нельзя ответить однозначно. Все зависит от того, каким способом задана подынтегральная функция, каковы у нас вычислительные средства, какова требуемая точность и т. п. В такой общей постановке вопроса ответить моя<но лишь так: та формула лучше, которая в данном случае дает ответ с нужной нам точностью прн наименьшей затрате труда и времени.
Если вычисления ведутся вручную или с помощью малых вычислительных машин, то имеют значение формулы, содержащие разности. Меньшее значение имеют формулы Гаусса и Чебышева, так как вычисления с многозначными коэффициентами и абсциссами в этом случае затруднительны. Из формул, не содержащих разности. чаше всего применяется формула Симпсона. При вычислениях на автоматических счетных машинах наибольшее значение имеют безразностные формулы. Особенно выгодны наиболее точные формулы Гаусса, так как они требуют наименьшего числа операций для получения интеграла с нужной точностью. Здесь необходимо сделать некоторые замечания относительно более точных и менее точных формул.
Эти термины были введены нами при выводе формул численного интегрирования и в них вкладывался определенный смысл. Нужно ясно себе представлять, что более точная в этом смысле формула не всегда дает практически более гочный результат. В самом деле. возьмем наиболее точную из формул — формулу Гаусса. Она имеет вид ~ Г(х) с(х ~> сс((хг), где коэффициенты с; и абсциссы х, зафиксированы и зависят только от п и 1а, Ь). Может случиться, что подынтегральная функция обращается в нуль в каждой из точек хь а абсолютная величина интеграла от нее велика.
Тогда разность между точным значением интеграла и приближенным, полученным по формуле Гаусса, будет также очень велика. В связи с этим, нужно сказать, что при выборе той или иной формулы численного интегрирования бывает целесообразно изучить поведение подынтегральной функции и сравнить его с поведением иптерполяцноппого мпогочлена, интегрированием которого получается формула численного интегрирования. Иногда возникает необходимость разбивать отрезок интегрирования на отдельные. участки так, чтобы лучше описать поведение функции интерполяционными многочленами.
1. Метод Рунге приближенной оценки погрешности численного интегрирования. При пользовании любой приближенной формулой важно иметь представление о ее точности. В этой главе для каждой из полученных формул мы дали выражения остаточных чле- й 1О) нвкотовыв злмвчлния по поводя еогмгл интвгвиговлния 307 (2) где И вЂ” длина отрезка интегрирования или какой-то его доли, и — фиксированное число и М вЂ” произведение постоянной на производную подынтегральной функции порядка и — 1 в какой-то точке промежутка интегрирования. Если 1 в точное значение интеграла, а У вЂ” приближенное его значение, то даМ (3) Вычислим тот же самый интеграл, по той же формуле численного Ь интегрирования, но взяв вместо л величину —. При этом, чтобы 2 ' получить значение интеграла по всему отрезку, придется применять формулу численного интегрирования дважды.
Обозначим сумму полученных результатов через Уп Тогда У,+-~ —,) М,+( —,) М,. (4) Последние два члена правой части дают погрешности при каждом интегрировании. Будем предполагать, что производная, входягцая в М, меняется не сильно на рассматриваемом промежутке. Тогда мы можем приближенно считать э у, +-2(2) (5) Исключая из (3) и (5) точное значение интеграла А найдем: )г=лвМ = у — у 1 1 —— 2ь (6) Такой процесс часто употребляют для отыскания погрешностей формул не только при численном интегрировании.
Разработано очень много различных графических способов вычисления интегралов. Нужно сказать, что все они очень грубы и требуют сравнительно большой работы. Поэтому их можно рекомендовать лишь в исключительных случаях, когда интегрирование должно быть произведено в процессе других графических работ.
Мы не будем здесь останавливаться на способах графического интегрирования. нов. Однако этн остаточные члены содержат производные высоких порядков, которые в большинстве практических случаев или не могут быть оценены или могут быть оценены очень грубо, так что фактическая погрешность будет значительно меньше, чем полученная ее оценка.
Поэтому на практике часто прибегают к следующему приему грубой оценки погрешностей формул численного интегрирования. предложенному Рунге. Остаточный член каждой из формул численного интегрирования может быть записан в виде 308 числвннов диээегвнцивовлиие и интвгвивовлнив 1гл. 3 Для приближенного интегрирования можно использовать специальные приборы: планиметры и интеграфы. На рис.
24 и 27 приведен общий вид этих приборов. Приемы работы на этих приборах достаточно хорошо описаны в прилагаемых к ним инструкциях. Рве. 27. Планвметр. 2. Замечание о вычислении интегралов с переменным верхииы пределом, Вычисление интегралов с переменным верхним пределом можно производить по тем же формулам, что и для определеииых интегралов. При этом верхнему пределу придают определенные значения и последовательно находят нужные интегралы. В главе 9 будут приведены многочисленные формулы числеииого иитегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Все они пригодны для вычисления иеопределеиных интегралов. ф 11. Вычисление несобственных интегралов На практике часто приходится сталкиваться с задачами, связанными с вычислением иесобствениых интегралов, Это могут быть интегралы с бесконечными пределами или интегралы с конечными пределами, но подынтегральной функцией, обращающейся в бесконечность иа отрезке интегрирования.
Несобственный интеграл с бесконечными пределами всегда можно преобразовать в иесобствеииый интеграл или даже собственный с конечными пределами. Для этого достаточно произвести подходящую замену переменного под знаком интеграла или взять интеграл в конечиых, но достаточно больших пределах так, что отбрасываемая часть интеграла значительно меньше, чем заданная нам точность вычисления интеграла. В последнем случае часто пользуются асимптотическими выражениями подынтегральиых функций для оценки отбрасываемой части интеграла или для учета ее вклада в интеграл. ~ 111 Вычисление несОБстВенных интВГРАЛОВ 309 Мы не будем подробнее останавливаться на этом вопросе, так как во многом успех при вычислении несобственного интеграла с бесконечными пределами зависит от искусства вычислителя.
1= ~ г'(х)дх, О тле функция г (х) обращается в бесконечность в одной или нескольких точках отрезка (а, Ь1. Мы представляем эту функцию в виде у(х) = ч (х) р(х), (2) где 11(х) — ограниченная функция на [а, Ь), обладающая там лостаточным количеством непрерывных производных, а р(х)) 0 на (а, в!. Рассматривают р(х) как весовую функцию и строят соответствующую формулу численного интегрирования теми приемами, которые указаны выше. За приближенное значение интеграла (1) принимают результат применения полученной формулы численного интегрирования к функции 1у(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
