Том 1 (1160083), страница 50
Текст из файла (страница 50)
3 например, снова формулу Симпсона. Будем иметь: Остаточный член этой формулы )з=й -[- —,[)з +4)с -4-1сз[ (3) равен нулю, если под знаком интеграла стоит произвольный много- член степени не выше 3. Для остаточного члена можно получить оценку. Заметим, что ь )т',= / (х — а)(х — — +) (х — Ь) Х а Ю [ Х 1 у(х; а; 2 ' 2, Ь; у)ззу~з(х. (9) Йз ) ~(.у с)(у ) (У Й)у(а уьс; 2 1 2 'а)[з(У* (10) )тз= ( ~(у — с)(у — + ) (у — а) Х )зз= ~ )[(У с)(У 2 ) (У з[)У(Ь'У' с1 2 1 2 ' з()~з[У (12) / г(а,у)с(у= '[г(а.с)+4у(а, — )+)(а,д)~+)сз, (4) с ~'у'( —,у)з(у — — Я, с)+ с +4з(' 2 . '+2 )+т'( 2 ° с[)~+)зз (6) / У(Ь,У)ду= ~~(Ь, с)+4У(Ь, )+~(Ь, з()~+Й.
(6) Подставляя (4), (5), (6) в (3), найдем: 1= ( )( ) (((а, с)+1'(а, а)+1(Ь, с)+1(Ь, з[)+ + ~~("')+ (' — '")+ ("' )+~(" ")1+ +16У( +'.' 2")~+Я. (У) 515 численное диееегенциговлние и интеггиговлиие [гл. 3 Это выражение теми же рассуждениями, что и в главе 2, можно привести к виду (Ь вЂ” а)с(д — с) дсу(Еь Ч() (д — с)с (Ь вЂ” а) дсу(5„, Ч„) 2с 45 дхч 2е.
45 дус (д — с)с (Ь вЂ” а)с дсу(с„л„) 2ьт 45Я дхсду» а <х<Ь, р,(х) <у< рз(х), (18) где 5с((х) и р,(х) — заданные кривые. Интеграл по области (18) можно записать так: ".. (а( у= ~ Нх / у(х, у)с(у. (19) а И(а! К нему можно применить те же рассуждения, что и к интегралу по прямоугольной области, Обозначим т1Ф У (20) т, (а) Таким способом можно получить и другие формулы для приближенного вычисления кратных интегралов. При этом можно брать разные формулы численного интегрирования для вычисления внутреннего н внешнего интегралов.
Можно также при повторном применении формул численного интегрирования для разных интегралов брать разные формулы. Если область интегрирования не является прямоугольником со сторонами, параллельными осями координат, или если стороны прямоугольника очень велики, то целесообразно разбить область интегрирования на частичные области, одни из которых являются нужными прямоугольниками, а интегоалами по другим можно пренебречь. Пример такого возможного разбиения приведен на рнс, 28. Частичные области, которые нужно отбросить, на рисунке заштрихованы.
В некоторых случаях такой процесс становится невыгодным, так как приводит к большим вычислениям и большим погрешностям. Тогда можно разбить область интегрирования на несколько областей вида б 12) пгивлиженное вычисление квлтных интегвллов 319 Применяем для вычисления интеграла 1= ~ Р(х)!1х а некоторую формулу численного интегрирования. Получим: и ч м (хь) I = )~~~ сьг (х„) = г ~ у(хь, у) Иу. ь=! ь ! ч(ев) (21) (22) Для вычисления каждого из интегралов !ч( 'ь) = ~у(х у)у е (*ь) применяем свою формулу численного интегрирования яь !„=~~с! г(хю у;). (ь) ! ! В результате будем иметь: и яя / = ~ сь ~ с( 1у (х„, у;).
ь=! 1 ! (23) (24) (25) Варьируя различные формулы численного интегрирования, можно получить различные формулы типа (25). Аналогичный прием можно применять и в том случае, когда частичные области записываются в виде с < у < с( Ф (у) < х < фз(у). (2б) 2. Метод замены подынтегральной функции интерноляцнонным многочленом. Другой путь д ш получения формул приближенного вычисления кратных интегралов состоит в замене Все приведенные выше рассуждения можно перенести на л-кратные интегралы при и > 2. Нужно заметить, что данный нами способ обычно приводит к таким формулам для приближенного вычисления кратных интегралов, для применения которых требуется вычислить подынтегральную функцию в значительном числе точек, Так, если область прямоугольная и при первом интегрировании используется формула с л ординатами, а при втором — с т ординатами, то нам придется вычислять подынтегральную функцию в щл точках, В связи с этим, чтобы не уменьшать точность и не увеличивать число точек, для которых нужно подсчитывать подынтегральную функцию, целесообразно использовать наиболее точные квадратурные формулы, такие.
например, как формулы Гаусса и Чебышева. 12] пРивлиженное ВычислРнив кРАтных интегРАлОВ 321 являются коэффициентами формул численного ин~егрирования для однократных интегралов. Поэтому применение фэрмулы (31) для получения формул приближенного вычисления кратных интегралов эквивалентно повторному интегрированию, Остаточный член гс интерполяционной формулы (3!) имеет вид гс = в„(х) г'(х; хе; х,; ...; х„; у) +в (у) 7(х; у; ув...,, у )— — м„(х) гв (у)7(х; хв; х,; ...; х„; у; ув; ...; у ), (35) Интегрируя его, мы получим остаточный член формулы (ЗЗ). Оценка последнего может быть произведена использованием тех же рассуждений, которые были применены при выводе формул Ньютона— Котеса. Мы не будем приводить здесь получающихся при этом формул, так как читатель без труда сможет получить их сам.
Можно разбивать отрезки (а, Ь! и (с, г(! не на равные части, как это у нас сделано, а на произвольные. Если опять обозначить точки деления через хв, х,, ..., х„и уз, у,, ..., у,„и в качестве узлов в фоРмУле (31) взЯть точки пеРесечениЯ пРЯмых х=хг и У=Уз то снова придем к формуле вида (33), При этом можно пытаться подбирать узлы так, чтобы по возможности упростить формулу. Упрощение понимается по-разному. Можно считать, что формула проста, если ее коэффициенты,,абсциссы хг и ординаты у достаточно удобны для вычислений. Гораздо более важно получать формулы, в которых при заданной точности требуется вычислять значения подынтегральной функции в возможно меньшем количестве точек.
При практическом использовании формулы, если в нашем распоряжении имеется хорошая вычислительная техника, вычисление выражения ~~.'~ сОУ' (хб у ) (36) пе встРечает затРУднений пРи любых сгг, х; и УР Однако если функция /(х, у) вычисляется сложно, то экономия даже в одном таком вычислении имеет существенное значение. Такой экономии можно достичь, например, если взять в качестве хг и уг абсциссы соответствующих квадратурных формул Гаусса для отрезков (а, Ь1 и (с, г(1. Так, при п=! можно получить формулу г, +.~Ь+ а Ь вЂ” а г(+с +а' — с~+ ~Ь+ а Ь вЂ” а с-~Н Л вЂ” с~ гЬ+ а Ь вЂ” а гГ+ с гà — с тз +/~ — =, — — =)~ +77, (37) 2 2)'3 2 2)/ЗД 322 числвннов диоовгвнциговлнив и интвгеиеовлнив (гл.
3 где ь а Л = ~ Нх / сс,(у)г" (х; у; уо; у„у,; у,) с(у+ а с ь( а + ) м1(х) ~ г'(х; хо, хо; х,; х,; у) сгу ~ с(х— а с ь~ а — / 1 м", (х) / со~ (у) ((х; хо., хо' х,; х,; у; уо, уо, у,; у,) с(у )а~х (38) (39) (40) Упрощая, как н при выводе формулы Гаусса, найдем: (сс — с)с(Ь вЂ” а) дсУ(Еь чд . (Ь вЂ” а)с(д — с) дсУ(Цм чэ) — 24с. 5 дус -ф 24Я. 5 д (Ь вЂ” а)в(д — с)с доУ(ЬЬ. Чч) 24с ° 25 дхс дус (41) Получили формулу, доя использования которой требуется вычислить значение подынтегральной функции лишь в четырех точках.
Остаточный член этой формулы даже несколько лучше, чем у формулы Симпсона, хотя последняя использует девять значений подынтегральной функции. В предыдущих рассуждениях мы использовали интерполяционную формулу (31). С таким же успехом можно использовать и другие интерполяционные формулы для функций многих переменных, полученные в предыдущей главе. Мы не будем здесь останавливаться на этом вопросе, так как получение самих формул не вызывает затруднений, а исследование остаточных членов довольно громоздко. 3. Метод Л.
А. Люстерника и В. А. Диткина. Рассмотрим еще один путь получения формул для приближенного вычисления кратных интегралов. Пусть мы хотим получить формулу вида: с Г (хо хя,..., Ха) гсх1аха...с(ха ~,~~ сс((х1, ха,..., ха), о г 1 (42) ~Ь+а Ь вЂ” а хо =с 2 2ьсЗ сС+с а — с Уо 2 2Ф 3 в,(х) =(х— м (у)=(у Ь+а Ь вЂ” а х,= -+ —, 2 2У3 а+с а — с 2 2 3 1= хо) (х х!) Уо) (У вЂ” Ус) э 12] пРивлиженное Вычисление кРАтных интеГРАлОВ 323 гле коэффициенты сг и точки (х(1~, хя', ..., х~„~) не зависят от выбора функции г". Предполагаем, что г'(х1, х,, ..., х„) можно разложить по формуле Маклорена во всей области 0: .Г(х1 хв . ° ° хп) = Х 1 (», д +~, Д .+ ... + „Д ) У(0.
О, ..., 0). (43) и 0 Послелнее выражение можно записать в виле у'(х1, х, ..., х„) = е~'~'~~'~'~ "' ~~п пу(0, О...,, 0), (44) где с),, 1)1, ..., 1)„— операторы частного дифференцирования. Интегрируя (43) по области О, получим некоторое выражение, зависящее от частных производных функции у в точке (О, О, ..., 0). Подставляя в правую часть (42) правые части (43) при соответст- ВуЮщнХ ЗиаЧЕНИях (Х(11, Х~~1,... Хп'), таКжЕ ПОЛУЧИМ НЕКОтОрОЕ ВЫражение, зависящее от производных функции у в точке (О, О, ..., 0) и, кроме того, от (х1п, хво, . „хй1) и со Потребуем, чтобы коэффициенты прн одинаковых производных порядка, меньшего или равного г, в правой и левой частях совпадали.
Это эквивалентно тому, что формула (42) дает точные значения для интеграла, если под знаком интеграла стоит произвольный многочлен степени не выше г. Естественно условиться считать ту формулу более точной, для которой г больше. Наше требование можно сформулировать иначе, а именно можно искать такие формулы (42), для которых разложение ~ е '"'" ""+ "'+ па Л1хгп1ха... 1(х„— о — се ~ " и и= в (О <о СГЕ С Е 1 "'+и.
"'+ "+пп Лп = сн„,, а1'4'... а~„' (45) «,ч-а,+ ... э и+1 по степеням параметров й1, п11, ..., дп должно начинаться с членов размерности не менее г+1. Последнее следует из представления (44). Такой прием и был предложен чл.-корр. АН СССР, проф. Л. А. Люстерником и проф. В, А. Диткиным. Условие (45) дает некоторые уравнения, связывающие коэффициенты сг и точки (х,, хз, ..., х„).
Эти уравнения можно было бы (О Н) Цб получить и методом неопределенных коэффициентов. Мы не буаем выписывать их здесь для общего случая, а ограничимся рассмотрением одного примера. 324 численное диеевгвнцигованив и интеггигованнв )гл. 3 Пусть область 0 будет квадрат со сторонами, равными 2 и параллельными осям координат, Центр квадрата пусть находится в начале координат. При этом 1.1 +1 ~ е*"чга !2х!йу= ~ ее" с!х ~ ейл !!у= о — ! — 1 лй ~йй 1+3+ ' '+ 2 +1)!+ ''' Х лй лйП + 3! + ' ' ' (2л+ 1) ! + (46) * 3 2 2 2 И .Сей' ! 3Ьй' 2~ Ь ' ' 2! ''' ! с!3 ! '+!! =.— У сг~ ~1+х!3)!+- 2 + ... + ~ + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
