Том 1 (1160083), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Х л! ! 1 1 1 2кй 2 Л!! 4 = «~~со О = ~ сгх! — — ~ с;Уо (43) О = У сахгУО ! 1 3 3 хй О= —,'«,',' — Хз,— — ' " —— Х', -! сгх', йет с!у, 22 с х!уг йст с хйу, Фиксируя з и подбирая значения со хй и уг, удовлетворяющие соответствующей системе, мы будем получать формулы приближенного интегрирования. 4. Замечание о методе Монте-Карло. С увеличением кратности интеграла резко возрастает число точек, в которых приходится подсчитывать значения подынтегральной функции, чтобы обеспечить нужную точность.
Если при вычислении однократного интеграла для обеспечения нужной точности требуется а узлов, то для вычисления соответствующего а-кратного интеграла придется брать примерно з" Таким обРазом, УРавнениЯ, свЯзывающие со хг и Уг, в нашем слУ- чае будут таковы: 325 упглжнвння узлов. При больших л эти вычисления могут оказаться практически невыполнимыми. В связи с этим в последнее время усиленно разрабатывались вероятностные методы вычисления кратных интегралов.
Их называют методом Монте-Карло. 11!ы не будем входить в подробности этого метода и лишь кратко наметим один из его вариантов, Пусть нам требуется вычислить п-кратный интеграл у = ~ ... ~ г(х,, х,, ..., х„) а'х1дха... Фх„, о где область О является единичным кубом е-мерного пространства 0 < хл < 1 О = 1, 2...,, п) (50) и функция / удовлетворяет неравенству о<у<!.
(51) Если О и у ограничены, то всегда можно добиться выполнения (50) и (51). Предположим, что у нас имеется способ получить с равной возможностью любую комбинациЮ из и.+1 чисел х,, ха, ..., х„, у. удовлетворяющих условиям (50) и 0 <у < 1. Получив такую группу, мы вычисляем г'(х1, ха, ..., х„) и проверяем выполнение неравенства у<У(х,, х,, .... х„). (52) Отношение числа гл случаев, в которых условие (52) будет выполнено, к числу М всех произведенных испытаний должно стремиться к К При больших значениях М мы получим приближенное значение для К Применение этого метода также сопряжено с большими трудностями. Нужно уметь получать равновозможные последовательности из а + 1 чисел. Эти числа не могут полностью заполнить единичный (л-+ 1)-мерный куб, так как каждое отдельное число дается в дискретной форме с конечным числом разрядов.
Это созлает дополнительные погрешности. Трудно оценить полную погрешность. Несколько слов относительно вычисления несобственных кратных интегралов. Здесь применимы все те приемы, о которых говорилось для случая однократных интегралов. УПРАЖНЕНИЯ 1. Вычислить следующие интегралы: а 1 а/а 1 1 !и (! + х) / !и (1 + х) 1+ха ' .I х с точностью до 1О а по приближенным формулам трапеций, Симпсона, Чебышева, Гаусса.
2, Получить следующие формулы приближенного интегрирования: +! я )г ! — хеу(х) Их — у у~соя — ) з!пт — ', юч ! Ь11 Ь: и ыа 1 и) и' -1 й1 -!. 1 е ./ 1 — х 4к Ъ1 !' 2Ь".! 2йя йгг — У (х) ах — Р У" ! соз — ) з!и —. У 1+.х и.2й !! и ) и -1 й1 .1-1 я 1 и-1 .)' к 'Ет / 2йкт 2яй ргх (1 — х) у(х) ссх — мг, у ( соз — ) з!и —, 4иая 1 и) и 0 й1 1 я ~~/ / 1 — х 2к %ч / Ьп 2ай У (х) !!х — лу У(солт — ) з!и —, х и лИа '1 и) и 0 й! Найти остаточные члены. 3. Показать, что формула е *У(х)пх + у(2 — йг2)+ У(2+')/2) -0 даст точные значения, если у(х) многочлен стас!ени не выше 3.
4. Показать, что формула л *'у(х) пх — ~у~ — ~/ — ) + 4~(0)+1~~/ 3 )~ Ш степени не выше 5, дает точные значения, если у(х) многочлен 1И Б, Вычислить по формуле Эйлера 100 с!х — с точностью до девятого ле- х сятичного знака. 6. Вычислить с точностью до девятого десятичного знака сумму 1 1 1 201з + 2021 + ''' + 2991 ' 326 чис.ленное диФФВРенциРОВАние и интегРНРОВАние (гл. 3 327 упгажнвния 7. Вычислить с точностью до десятого десятичного знака сумму 1 1 1 1 — + — + —,+ — + 11з 12з 1За 14э 8.
Показать, что сумма седьмых и пятых степеней первых п натуральных чисел равна удвоенному квадрату суммы их третьих степеней. 9. Вычислить !оя (79!). 1О. Показать, что а+и» вЂ” 7(х) г(х =7'[а+ —, [+ у~а+ ~ )+ ... +7[а+ пи — — ) [- 7йа + — [у'(а+ пд) — у'(аН вЂ” — [у"'(а-[- лд) — у'"(а)[-[- 24 5760 11. Используя формулу Эйлера, разложить в ряд по степеням х фупкх х цпю — с!и —. 2 2' 12. Доказать равенство В„(х) = ( — П" В„(! — ), 13.
Получить из предыдущего равенства, что 71! В~-~ ~ —, [ = В~-~ (1) = Вт„! (0) = О, Б/ 1 14. Показать, что Втэ(х) симметричны относительно х =— 2" 15. Показать, что ае! В„(х) с!х = х". 16. Показать, что я я .!. 1 В,„ (х) г(х. а-! ! 17. РассмотРнм фУнкцию Вмг(х), РавнУю Внг(х) на [0,1] и пРодолженную периодически в обе стороны с периодом 1. Показать, что коэффициенты Фурье этой функции приве разложении в рял Фурье на отрезке [О, 1[ имеют вид ( — !)"+! 2(2л)! ао — — О, ад= „,, БА=О. (' )т 18.
Воспользовавшись результатом предыдущей задачи, показать, что в =( — !)"+ —, „+ ! 2 (2п) ! ьч 1 (2)лЬд д ! 328 численное диофегенциговднне и интеггиговлние (гл. 3 19. Определить постоянную Эйлера С= 1!п1 ~1+ — + — + ... + — — 1п п). 1 1 1 вв 2 3 '' п 20. Получить при т) 1 форму~у Х= В„В, ( — 1)( — 2) + аь-ь + 2 ьв+ '1! ьаеь 41 ага+в Вт„т (т Л- 1) ...
(т+ 2г — 2) 4 (2г) ! ьа ' ЗЬ вЂ” 1 в а 21. Вычислить с точностью до 10 т следующие суммы; юми са В 1 в-1 в-1 22. Получить формулу а+аз в В-1 — у(»)Ь(»= 1) у ~п-Ь(» — -~-13~+~~~~ 2 ! ~тзь да!1 1~ а а-1 З-1 тьдз В )((утзз 0(а-'; ад)--учзз 0( )) + пп Втьь /у(зв) (3) 1 ~зв) (3 (2п) ! 1 за+1 — 1 0 0 0 ... 1 2 — — 1 00... 1 1 3 2 1 1 1 — — — 10... 4 3 2 А,=( — 1)в [(Л+ 1) строка).
яв аьх 24. Вычислить по формуле Грегори / — с точностью до седьмого знака. х 100 23. Получить следуюшую формулу: уз+уз!~+Узь~+ " +у,=т(уо — 'ут+ ". +Я вЂ” 0 (уз+уз)— тз — 1,, тз — ! (тз — 1) (9тз — 1) 12т ~ ь Кь Оь) 24т ! ь 1 ьь 720тз тле Ут!аг Уз1т..., — значенин 7(х) в точках лелении интеРвала (а+4!1, Я+(и+1) Л) на т равных частей. 23. Показать, что козффициенты Аз в формуле Грегори могут быть вычислены по формуле 329 упгьткиения 26.
Получить следующие формулы численного интегрирования, дающие точные значения для интеграла, если У(х) — многочлен степени не выше пятой: ач-а 3 ьа / У(х)пх 0,28(У +У )+162(У,+У ) +2,2У а+ та у(х) " '= — 6РК,+Уа+ а)+35К,- +Уа+ +Уа +Уа; )+ 5 27. Пояазатгь что если пренебречь пятыми разностями, то а+за У(х) с㻠— 028 К,+ 2У,.„+ 2у,а„+ ". +У+за)+ +162(уа,!+Уз„т+ )+058(га,.а+та,в+ " ). а- ба 3 а ' ' ' + Гач-ва — з) + (Уа, з + Уа ~ В + ' ' ' +Уа ьаз-з)]. 2н8. Показать, что 8 Зл,у — У(х) пх Уз+3(у»+ Уз+ Уз+ Уз+У»+ Уз+ ° ° ° )+ У»п+ з + 2 (Уа+ Уе + Уз+ ° + Узр — а) и найти остаточный член. 29.
Вычислить интеграл 1 и'х (1+х) г' х с точностью до 10 30, Вычислить интеграл 1 ах в с точностью до 1О 31. Используя различные формулы для приближенно»а вычисления кратныз интегралов, вычислить с ~очностью до 10 т объем полушара ралиуса единица. 830 числкннов диеевгвнцигованив и интвггивованив [гл.
3 ЛИТЕРАТУРА 1. Ш. Е. Микеладзе, Численные методы мйтематического анализа, Гостехиздат, 1953. 2. С. М. Николас к ий, Квадратурвые формулы, Физматгиз, 1958. 3. И, П. Натансон, Конструктивная теория функций, Гостехиздат, 1949. 4, В. Л.
Гончаров, Теория интерполирования и приближения функций, Гостехиздат, 1954. 5, Х а у с холде р, Основы численного анализа, ИЛ, 1956, 6. Мил н, Численный анализ, ИЛ, 1951, 7, И. Ф. Стефе псе н, Теория интерполяции, ОНТИ, 1936. 8, В, И, Крылов, Приближенное вычисление интегралов, Физматгиз, 1959.
ГЛАВА 4 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В практике вычислений, особенно при работе на электронных цифровых вычислительных машинах, часто приходится встречаться с многократными вычислениями значений заданной функции 7'(х), например с вычислениями значений элементарных функций е~, !эх, з1пх, созх и т. д. Вводить в машину эти функции в виде таблиц нецелесообразно, так как таблицы загромождаюг память машины и на выборку нужных значений тратится сравнительно большое время. Значительно целесообразней каждый раз вычислять нужное значение функции с заданной точностью е, используя какой-либо алгоритм для ее вычисления. Очень часто для этой цели заменяют рассматриваемую функцию 7(х) другой, легко вычислимой функцией у(х) (например, многочленом), значения которой на всем рассматриваемом отрезке (а, Ь] изменения х отличаются от значений 7(х) не больше чем на е, и в процессе вычислений работают с функцией э(х).
Рассмотрим пример. Пусть нужно многократно вычислять значения функции г (х) = з!п х при х ~ ~0, — 1! с точностью 0,5 ° 1О 4) Разлагая з(п х в степенной ряд и удерживая пять членов, будем иметь при х Е ~0, — 1: 4 ! ' ~ мп х — (х — — + — — — + — !) ~ (( — ) —, < 0,2 . 1О г лт оледовательно, с заданной точностью вместо значений з)п х на ~0, — ! 4! можно брать соответствующие значения многочлена ха х' хг хя з!+ 5 5! 7! 9! ' вычисление которых не составляет труда. Среди многочленов, степень которых не выше девяти, построенный многочлен не является единственным многочленом, дающим на ~0, — 1! приближение з1пх с заданной точностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
