Том 1 (1160083), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Более того, 4) нетрудно построить многочлен седьмой степени, приближающий з)п х 332 [гл. 4 РавномеРные пРиБлижения на ~0, — [ с заданной точностью О,б ° 10 . В самом деле, в 9 3 а) -1 4 [ гл. 2 мы видели, что для многочленов Чебышева Та(х) имеет место неравенство [Т„(х)~ (1 при х~[ — 1, -+1[ Но Тз (х) = 256хз — 576хч +- 432 ха — 120хз+- 9х. Отсюда при хЕ [ — 1, -+ 1[ — [Т (х)[=]хв — — х' -+ — х' — — х'-+ — х ) (2з ° 1 ] 9 , 27 з 15 9 ] 1 9, 27 Если в многочлене ср(х) заменить хз многочленом — хс — — ха+ 4 16 15 9 + — х' — — х, т. е.
рассмотреть многочлен 32 256 хг хв хс 1 I 9 15 в 27 9 Зс (х) = х — — -+ — — — + — ] — — х -[- — х' — — ха -[- — х1), 3] 5! 7] 9! 1 256 32 16 4 то на отрезке [ — 1, +1[ он будет отличаться от су(х) не больше чем на — — 0,11 1О, а зто значит, что з]пх отличается -1 91 2с от с71 (х) на [О, 41 не больше чем на 0,2 ° 1О "+-0,11 ° 10 =0,13 1О ", т.
е. удовлетворяет нашим требованиям к точности. Естественно, что при заданной функции 7(х) и заданной точности е нужно выбирать функцию с7(х), наиболее удобную для вычислений (в данном примере нужно выбирать многочлен возможно меньшей степени, так как вычисление его значений потребует наименьшего числа операций и ячеек памяти). Таким образом, мы приходим к следующим задачам: 1.
Даны класс ]1с функций, определенных на отрезке [а, д[, и некоторое подмножество ]с функций этого класса. Для заданной функции 7(х)~]7 и заданного числа е) 0 требуется найти такую функцию с7(х) ~ ]7, чтобы имело место неравен- стао [.с'(х) — ср(х)[ ( е х ~ [а, Ь[. В качестве 77 обычно рассматривается множество С непоеоывных функций, а в качестве ]7 — некоторое множество алгебраических или обобщенных многочленов. 2. Для данной функции ]'(х) Е сссс найти функцию с]с (х) ~ К для которой имеет место неравенство гп ах [7 (х) — с]са (х) ] = ]П1 шах [ 7 (х) — с7 (х) [.
а6!а,ь] 16л ае]а.ь] Если такая функция существует, то ее называют функцией наилучшего равномерного приближения к ] (х) в классе Я. й 1] нлилячшвв пгивлижвнив в линейных пвостялнсгвах 333 В связи с этими двумя задачами возникает ряд вопросов, изложению которых и посвящена настоящая глава. Мы изложим их сначала в общей постановке, а затем подробнее рассмотрим вопросы равномерного приближения в пространстве С непрерывных функций, В 1. Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах 1.
Линейное нормированное пространство. Будем говорить, что множество Й является линейным нОрмирОванным пространством, если это множество линейно и, кроме того, каждому элементу (~ )с поставлено в соответствие действительное число ]]У]] — норма г,— удовлетворяющее условиям: 1) ]]г]])~0, причем ]]г]] =0 тогда и только тогда, когда у=0; 2) ]]сг] =] с]]]1]] для любого с; 3) ]]Л+Л]] <]]Л]]+]]Л]]. Линейные нормированные пространства всегда являются метрическими пространствами. Действительно, в качестве расстояния р(уо я можно взять просто Р(~о гя)= ]](г — (з]]. Без труда проверяется, что все аксиомы метрического пространства при этом выполнены. 2. Элемент наилучшего приближения. Пусть теперь дано некоторое линейное нормированное пространство )с.
Возьмем в нем и+ 1 линейно независимых элементов зв, во ..., у„и образуем (и+ 1)-мерное линейное нормированное подпространство И всевозможных линейных комбинаций Ф=ио9о+иРг+ .. +.и у . (1) Числовое множество Ь(У',Ф) = ]] г — Ф]] (элемент ~~ Й фиксирован) (2) ограничено снизу (нормы — неотрицательные числа). Поэтому существует точная нижняя грань значений ц(у, Ф): Ь(у) = ]п1 Ь(г, Ф).
(3) я'еаг Выясним вопрос: существует ли элемент Фв ~ )с, для которого эта нижняя грань достигается, т. е. существует ли такой элемент Фв~ Й, для которого имеет место равенство и(.г)= ]]У Фо]]У (4) Каждый из элементов Фв~й, для которого выполняется равенство (4), будем пазы вать злеменглом наилучшего приближения 334 (гл. 4 РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ для 7' в >г нли проениией г' на >с.
Прн замене пространства >с пространством >г элементу 7'~ >с мы будем ставить в соответствие его проекцию на Й. Если норма выбрана удачно, то такая замена будет Наиболее выгодна. 3. Существование элемента наилучшего приближения. Теорема.
Для любою элемента Р~>с в >г суи<вствует элемент наилучшего приближения. Для произвольных элементов р~ >г и Ф ~ >г введем обозначения: и ><Ф << = < ~ а<о< = д(ао, а,,..., а„), (5) 1 <-о <<> — Ф<< = > — ~, а<р< =л(ао, а,,..., а„). г-о В самом деле, «Л<< = ><Уг+(» Л)<< « <Я '+ <<Л >г>< !!)г~! = ~1Л+(Уг — Л)1~ < 1~А~~+ ~~Л вЂ” Л~! и аналогично Отсюда <~Я вЂ” 1!Я < ~1Л вЂ” Я и !~Я вЂ” ~!Л1! < ~!Л вЂ” Я, а это и есть неравенство (7), которое мы доказываем, только записанное без знака абсолютной величины. Из доказанного неравенства следует, что ! д(а, а,..., а ) — д(а< >, а< >, ..., а<о>) ! < ~~р~ алр.
— ~~", а<'>ср < о г=о < мчи ~ а а(о> ~ ~ ~, Если зафиксировать / и заставить пробегать Ф все множество >с, то получим две- функции Р. н й, определенные в каждой точке (и+-1)-мерного пространства (а, а,,..., а„). Докажем непрерывность этих функций. Рассмотрим, например, функцию д(оо, а,,..., а„). Зафиксируем некоторую точку (а<'>, а<о>..., а<о>) рассматриваемого нами пространства н оценим разность (д(а,ан...,а ) — д(а<о> а<'>, а<о>)(= ~а.ср.
— ~а<о>ср Из свойств нормы, приведенных выше, без труда находим: ~<<Л<> <<Уг<<! < <<Л >г<<. (7) $ 11 нАилУчшее пгивлижение в линейных пгостгонствох 335 Если шах >>гр;>> =А> ) О и Ь=, то при ~а — ао>(( В будем (а+1) Аг ' иметь: /д(ао, а,, ..., а ) — а(а>о>, а>>>,..., ан>/ (е, ~ аз=1, 3 О т.
е. единичную сферу этого пространства. Это ограниченное замкнутое множество. Следовательно, непрерывная положительная функция д должна достигать на нем своей точной нижней границы ри Очевидно, р ) О, так как в противном случае существовала бы точка >ч ": - "> Ъ -'= ) --- ггг о ага>о> а<о> а(о>1 ~ а(о>гр О или ~ а(о>э. = О, О' >'' '' о) . г г г г О-О г О что невозможно в силу линейной независимости элементов гро, рг, ..., э„. Обозначим через г величину лг+1+ 1>г>1 и разобьем все пространство (а, ао..., а ) на две части )с> и )гг,, отнесЯ к Йг все точки, длЯ котоРых ~а,'(гз, а к )се — все осталь- 1-о ' ные точки.
Рассмотрим значения функции >>чао, ао..., а„) на множестве )сз. Пусть (а, а„..., ал)~)сз. Тогда ~~'„, а',=Ла) г' и г=о 1 — ~',;ж -.- ',~;р — ~~Л = >-о г О ~г> ~+г — И >я~ ~~г;) — ~>Л> г 1-о "("о ао..., Ро)= ) ~Л/ р.— >> г>> ) грг — >>у>> =гл+1. т. е. непрерывность а доказана. Аналогично доказывается непрерывность функции Л. Функция » (а, а,, ..., а„) неотрицательна. Обозначим точную нижнюю границу ее значений через л>. Докажем, что найдутся такие значения (а,, а,, ., а„), при которых эта точная нижняя граница достигается.
Для этого рассмотрим множество точек (л + 1)-мерного евклидова пространства (а, а,, ..., а„), для которых 1гл. 4 РАВНОМВРНЪ|В ПРИБЛИЖЕНИЯ Таким образом, т есть нижняя грань значений функции й на множестве )с1. Но это множество ограничено и замкнуто. Следовательно, фУнкциа 12(ав, ан ..., а„), непРеРывнаЯ на этом множестве, обязана достигать в некоторой точке своей нижней грани. Если обозначить эту точку через |рв, р1, ..., р„), то т=йао.
11 . 1)= У вЂ”.)'ЬИ. Итак, в гс всегда существует элемент наилучшего приближения. 4. Единственность элемента наилучшего приближения. Вообще говоря, такой элемент будет не один. Приведем сейчас достаточное условие, обеспечивающее единственность элемента наилучшего приближения. Назовем нормированное линейное пространство строго нормированным, если в условии !!Л+-Я < !!Л!!+ !!Я знак равенства достигается только тогда, когда Гг = иГ1, и ) О. Т ео р е и а.
Если пространство й строго нормированно, то элемент наилучшего приближения является единственным. Предположим обратное, т. е. допустим, что имеются два различных элемента наилучшего приближения для У'~ )с1 Ф| = ао9о+ а|211+ ° . + а„|р„ фа=дете+-«1211+ ... +д,р„. !!У «1!! !!У «2!! Таким образом, В и ч: 1' — ~~'„а|тг У вЂ” ~ В1т1 ~ о 1 1 2 !!' '!!+ 2 Так как норма, стоящая в левой части, не может быть меньше т, то 2 + 2 11 2 !!У '!! 2 !!~ или в силу строгой нормированности пространства Й 1 1 )1 «2) Очевидно, т Ф О, так как иначе элементы 122, 121, ..., |у„ оказались бы линейно зависимыми.
Далее, ф 21 нлилвчшвв глвномвгнов пгивлижвнив нвпгвгывных эвикций 337 и элементы рг линейно зависимы или аг=дг (1=0, 1, 2, ..., и). И тот и другой случай приводят к противоречию с нашими пред- положениями. ф 2, Наилучшее равномерное приближение непрерывных функций обобщенными многочленами 1. Наилучшее приближение в пространстве С. Возьмем теперь в качестве линейного множества )ч совокупность С всех непрерывных на 1а, Ь! функций. В качестве нормы ~~)ч примем: !!1!! = вир )Г'(х)!.
ей[а. Ь[ Нетрудно проверить, что все условия, требуемые от нормы, при этом выполнены. Наша норма определяет метрику пространства С, о котором говорилось во Введении. Пусть ев(х), и,(х), ..., р„(х)— какие-то и+1 линейно независимых функций из С.
В качестве гс возьмем совокупность линейных комбинаций Ф (х) = ~~'„, сг<рг (х) г-в с действительными коэффициентами. Элемент Ф, принадлежащий гч, будет являться элементом наилучшего равномерного приближения для 7'~гс, если зцр !У вЂ” Фо! ей[а, Ы принимает наименьшее возможное значение. На основании результатов предыдущего параграфа можно заключить, что такой элемент всегда существует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
