Том 1 (1160083), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Доказательство. Докажем сначала лемму: Если у(х) — непрерывная на [О, и[ функция, то для всякого е) 0 существует четный тригонометрический многочлен Т(х), удовлетворяющий неравенству [ср(х) — Т(х) ! ч. е (О х (к!. В самом деле, сделаем замену независимого переменного х=- агссоау. Тогда функция ф(у) =и(агссоау) будет непрерывна на отрезке [ — 1, +1[, и по первой теореме Вейерштрасса найдется [гл.
4 356 гавссомвгныв пгивлижвния о такой алгебРаический многочлен Р„(У) = ~~~~ ск)сь, что дла всех о-о уг:[ — 1, +[! будет иметь место неравенство )со(агссозу — Р„(у) [( з. Возвращаясь к старому переменному, будем иметь: ! !с(х) — ~~~~ сьсовах ч.е для всех х~[0, к[, а-о Но Т(х)= ~~~ сс,соз" х=ао+ ~~~~аьсозйх ь-о есть четный тригонометрический многочлен, ибо с е1' + е-оо со ! жт соа" х =~ Сс ес (и — ь)о 2 ! 2сс .уа с-о о ь ) С'„соз(2! — /г) х+ — „~С,', гйп(2! — и) х.
с-о с-о В последнем равенстве вторая сумма равна нулю, так как члены, равноотстоящие от концов, имеют противоположные знаки и взаимно уничтожаются. Следовательно, сова х = — ~ С сов (2! — Ф) х. 2" зй с-о ЗаменЯЯ в ~.', сьсовьх степени созх и пРиводЯ подобные члены, о-о получим: Т(х)=по+ ~'„авсоалх, ь и лемма доказана. Для доказательства самой теоремы рассмотрим функции у(х) +у( — х) и [у(х) — у( — х)[з(их.
Это — четные периодические функции с периодом 2к, непрерь[вные для всех х. В соответствии с леммой при заданном е~ О можно найти такие четные тригонометрические многочлены Т,(х) и Та(х), что при всех х~ [О, к[ будут иметь место неравенства: [у (х) + /( — х) — Т, (х) [ < —, [ [с' (х) — с ( — х)[ з(п х — Та (х) [ ч. —. 2' й 4[ тгигономвтгичвскив многочлвны наилгчшвго цгивлижвния 337 В силу четности всех функций, входящих в эти неравенства, они останутся справедливыми и для х~[ — и, О), а по периодичности и для всех х~( — со, +со).
Таким образом, г' (х) + у ( — х) = Т, (х) -+ а (х), [у (х) — у'( — х) [ в!п х = Т, (х) .+ ~ (х), где [а(х) [, [р(х)[ < — для всех х. умножая первое из этих равенств на в!пдх, а второе на в!их и беря их полусумму, получим: [(х) в!и' х = Тд(х) +1(х). (2) где Т, (х) = — [Т, (х) в1 п' х.+ Т, (х) в[п х[, 1 [ ( (х) [ = — [ и (х) в!пд х+ р (х) в!и х [ < — ( — со < х < .+ со). 1 д 2 2 Рассмотрим теперь функцию у(у — — 1.
Эта функция снова при- 2)' надлежит к Сд,. Следовательно, имеется тригонометрический много- член Т,(у), для которого справедливо аналогичное равенство: У(у ) в!пду Т4 (у)+3 (у) где [3(у) [ < — при всех у~ ( — со, +со), Заменим здесь у — — на х. Получим: 2 у (х) 5!и (х+ — = у (х) сов х = 2) =Тд(х+ — )+Ь(х+ — )= Тв(х)+3,(х), (3) где !3, (х) [< — для всех х.
Складывая почленно равенства (2) и (3), 2 получим: 1(х) = [Тд(х) + Т,(х)[+ т (х)+3| (х). Так как )у(х)+3,(х)[< е при всех х. то, вводя обозначение Т(х) = Тд(х)+Т (х), будем иметь: [/ (х) — Т(х) [ < е для всех х, что требовалось доказать. Вторая теорема Вейерштрасса может быть сформулирована и слелующим образом: Непрерывная периодическая функция Т'(х) с периодом 2дг может быть представлена как предел равномерно сходягцедся последовательности тригонометрических многочленов. Из нее также следует высказанное в начале параграфа утверждение.
358 (гл. 4 вавномввныв пвивлижвния Я 5. Некоторые теоремы о порядке наилучшего равномерного приближения непрерывных функций ~~(хт) — У(хз) (ч~ М! х1 — хз) для любых хт и хз, Еи ( У) к. —, СМ и ' где С в абсолютная константа, Доказательство. Рассмотрим функцию ~' [о.=;1 ~ и < х > ~ ~ ~ к е к М л ~ ~ ~ ~ х в и покажем, что ата функция является тригонометрическим многочленом по- рядка 2п — 2. В самом деле, =е — (и-!) ьи 1 (и-1) и( (и-3) и1 112 [е +е ж ич е — е з а = е-(и-1) ич а е1ьь= 1 а ес (ь+1-и) и — 7 =,, ° пи а)-тв"". 1--(и — 1) Пусть у (х) — непрерывная периодическая функцнв с периодом 2и, а Еп(у) — наилучшее равномерноеприближение У(х) в совокупности триго- НОМЕтрИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ Оп(Т) ВИда ав+ ,'~~(аЬСОЗЛХ+ЬЛВ1ийХ), Гдв К=1 и — фиксированное целое число.
Из второй теоремы Вейерштрасса следует, что )вп Еп(У) =О. Возникает вопрос: как быстро Е„(?) стремится к нулю при п -ьсо? Оказывается, что скорость сходимости к нулю Еп(у) зависит от свойств функции у(х), и чем более гладка функция ?(х), тем быстрей Е (у) стремится к нулю. Мы здесь рассмотрим две юеоремы Джексона, дающие оценку скорости убыванив Еи (У) в зависимости от гладкости функции у(х).
Т е о р е м а 1. Если у(х) — непрерывная периодическая функция с периодом 2и, удовлетворяюи(ая условию Липюица ~ 5) никотогыи тиоввмы о повадки нлилгчшвго пвивлижиния 359 где аз=аз„г, в=я+1 при я~л — 1. но так как при 0(1~л — 1 Л 1-В=я -т-т — — л — 1 то и-1 = л+ ~и~ (л — 1) (ель+в-ввь) = л ( 2 ~~)~~ (л — 1)соз1, и 51 П— 2 ю-т ли мп— 2 есть тригонометрический многочлеи порядка л — 1.
Возводя и в1п— 2 его в квадрат и преобразуя квадраты и произведения косинусов в косинусы кратных узлов, а затем приводя подобные члены, получим: с сова(à — х) —,.( в Лалее Г лт= ~ У с .о.л(г х)п,= лы л ао сл сов ля лт) = л 0 л (г — х) в1п 2 (ал сов лх+ 6л з1п лх), где а, = с, ~ У(Г) сов Лтст, 6л =сл ~ У(Г) в1п Лтйг.
Итак, Уя(х) есть тригонометрический многочлен порялка 2л — 2. Заметим для дальнейшего, что постоянный член в У„(х) равен ~ /(г) Фг, «ч л [à — х) в1п г — х в1п— 2 Г вл-в с, сов Ь) лт) = св ~ О, л о 4 +ч вл-в = ~ль Г, . и-ч л-з и 5] никотогыи тиогимы о погядки паилячп4иго пгияляжипия 361 Так как в!Пи~ ч при Ч)0, то 51пв лъ) 51пв ли 5!пв ли 5!пс с — 4И>~ / 4(Ч) / 46)=ля / — А=свив, 5!па ъ! т!4 т!4 14 о 5 5 5 в!пс ли пс / в1пс ла ас ~ в!пс лт1 / в!п4 ля 51пс 5 1б,/ 55 1б,/ Чв / Чв с 5 5 Но (с, = — ).
Отсюда 5!пс лт! свя( с,л' 5!П4 т! с (с,= б (св+св)). т. е. 2 — М ] Сл (х) — У (х) ] ( 2свлвМ с, свив л Положив С= — дая всех л и х, будем иметь иераяеистио 4С5 Св ]У„(х) — У(х) ](— СМ откуда следует, что СМ 2 СМ СМ вЂ” — СМ Евл т(у) ~Евл-5(у) ( 2 (2 1,' Етп(у)~ Ем4 5(у) ( 2 1 в1пвЕ я где св = / — 4($. Лааее, так как при 0 ( и ~< — имеет место иераяеи- Р 2 с 2п стао 51пт)) —, то 362 [гл. 4 гдвиомигиыи пгивлижииия или, вообще, Ея(У) < —. СМ Теорема 2. Если непрерывная периодическая функция у(х) с периодом 2я имеет производную р-го порядка, удовлетворяющую условию Липщица )г (х) — У ( )~<М~х— то имеет место неравенство Сл')М Е (У)< сде С вЂ” гпа зке константа, что и в теореме 1. г(ок аз а тель ство.
Из теоремы 1 следует неравенство Е.(у(я)) < СМ, т, е. существуют многочлены Т(л) (х) порядка п, не содержащие постоянных членов, для которых ! Х(я) (х) Т( ) (х) ~ < СМ Оббзначим через У~~ т) (х) тригонометрический многочлен порядка п, являющийся интегралом от Т(Я) (х), не содержащим постоянного члена. Тогда йу(л )(х) — у(я )(х)~ / . —, т. е функция у'л т)(х) — у(л )(х), имея ограниченную производную, на- СМ верняка удовлетворяет условию Лившица с константой †, Но тогда по теореме 1 Е (у( -и и(я- ))<С™ т.
е. существует такой многочлен У~~ )(х) степени п, не имеющий постоянного члена, что ~у)я "(х) — у(я-ц (х) — )г(я ')(х)( < †. Полагая ()'„'-') (х) + К„'я-') (х) = у(я-т) (х), мо.кно записать последнее неравенство в таком виде ) ( ) у ( ~ ) ( ) ~ < С т М Повторяя р раз проведенные рассуждения, придем, наконец, к неравенству Сл+)М ) у (х) уп (х) 1< ~ 5] иикотогыи твогкмы о повадки иаилкчшиго пгивлижииия 363 которое означает, что Се+ тМ Еп (У) < Используя теоремы 1 и 2, легко дать оценку наилучшего приближения Еа(У) в слУчае, когда мы фУнкцию У(х), непРеРывнУю на [а, Ь], пРиближаем на отрезке [а, Ь] с помощью алгебраических многочленов, Заметим прежде всего, что не ограничивая общности, можно считать, а= — 1, Ь =+1.
Теорема. Если Т(х) непрерывна на отрезке [ — 1, Ц и удовлелшо ряет условию Пипшина ]У(хх) — У(хт) ] < М ] хт — хт ] (хд, хт б [ — 1, -]-Ц), то Е (У)( —, СМ и где С вЂ” абсолютная константа. Д о к а з а т е л ь с т в о. Сделаем замену независимого переменного х= созд Функция ф(1) =У(сов() на отрезке [ — я, к] удовлетворяет условию Липшица с той же константой, так как ] ф (Ьт) — ф (Ьт) ] = ] 1 (соз Ьт) — У (сов Ьт) [ («М ] соз Ст — соз Гт ] < М ] à — Ст ] (Ьт, Ьтб[ — я, +я[). По теореме 1 для функции ф(1) можно подобрать такой тригонометрический многочлен Т(Г) порядка п, что ]ф(1) — т(г)] < —.
СМ Так как ф(1) — четная периодическая функция с периодом 2я, то можно считать, что Т (Ь) не содержит синусов. Поэтому обратная подстановка дает СМ ] у (х) — Т (агссоз х) ] (— Но Т(агссовх) есть алгебраический многочлен степени и, следовательно Еа (з) ( —. СМ Теорема. Если /(х) непрерывна на отрезке [ — 1, +Ц и имеет непрерывную производную У(л)(х), удовлетворяющую условию Пипшица [у(л)(хв) — у1л)(хт)[«(М]хт — хт[ (хь хтб[ — 1, +Ц), то с,М / Сл" (р+ 1)дь") Еп (Т) (— (.+1)1 Р Доказательство.
Из предыдущей теоремы следует, что Еп-Л(У1Л)) <— т. е. существуют многочлены гщл (х) степени п — р такие, что (р~ [у(л) (х) — Р(л) (х) [( 364 [гл. ч РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ИЛИ ! и(я-н( ) — ~Р-н (.))'[(„— 'М . т. е функция у(Р Н (х) — Р(я т! (х) удовлетворяет условию Липшица с константой СМ/(л — р). В таком случае ( ~ ( я т ! Р ( Р т ) ) (и — р) (н — р+ 1) и, следовательно, Е (Х )< С (л — р) (л — р+ 1) Продолжая рассуждения, придем, наконец, к неравенству СР+ М Еп (У) ( (н — р)(л — р+ 1) ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
