Том 1 (1160083), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Найдем теперь выражение этого оператора через другие разностные операторы. Так как 1+Еь = —, то еа За уь Д() 1,(! Р) = Ч+ —,+ —, + —,+ Далее, Вьь ВЮ гиО а о=е ь — е а =2з)ь~ — ~, 2 Е" зп зп ЕЕ!" (х) =у, а + 4Ез .('ь + ° + 12Ез — 12Š— 2 1) (Е- -!) Х',+ у', + а 230 численное диееагвнцигоз»ние и интвгвиеовлнив [гл. 3 Отсюда 1 а(ЛР) ! ( + 4) 3 ! 5 — 3 ! 53 )3 33 53 йр ! (! + — [ 5(г=5 — — —— 4 3(2 5! 2 о Неудобство этой формулы состоит в том, что производная в точке х и выражается через значения г' в точках х+ и —. Чтобы получить 2' выражение производной через значения функции в точках х -ь 1»а, ЬР заметим, что — =о формально удовлетворяет дифференциальному !» уравнению ((+ 4)аз+ 4 Так как о — нечетная функция 3, то можно пытаться искать регде- ние этого дифференциального уравнения в виде о=а 3+ад3 +а 3 + 3 5 Подстановкой в уравнение найдем: о = 3 — — 5 .+ — 3 — — 3 -[- ! 3 (2!)3 3 (3!)3 1 3! 5! 71 Далее, и [(ЬР)~[ 4! (ЙР) — а' — — — — 2аР „= 2а Рр.
Отсюда 3 (2) а»Р=2( [а — л+ 3! 5! о = 2 — 3 — — 5 + — 5 — — 5'+ ...1. г! 3 ! ! (2!) 3 (3!) .3 ~2' 4! 5! 8! По индукции показывается, что г([д"-'+'Р-'+'[и[ 5 д"+'Р' ' (2ь «рд» Рд» ") " " + ""„'"" — ( а [Лы Рд»[ Лы — 'Рд» вЂ” 1 =- 2а ад Таким образом, можно последовательно найти а»Р», а»Р», 3. Безразностные формулы численного дифференцирования, В некоторых случаях выгоднее выражать формулы численного дифференцирования не через разности, а непосредственно через 281 % 2[ ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ значения функции. Для получения таких формул удобно воспользоваться вариантом формулы Лагранжа для случая равных промежутков. приведенным в предыдущей главе: ( «лт(Г 1)...(Г л)~, ( — 1)'Слу.
1 0 +й» г(г — 1)... (г — и)7'(х;х,; ...; х„). (27) Дифференцируя один раз, получим: Сл,ул ' Г г (г — 1) ... (Г л) ) Ь.л"(х) =,~, ( — 1)"" — ' — ~ л[ ллс 1 — Л ~+ ,0 +й'+'7(х;хз;х,; ...; х))„— [г(г — 1) ... (г и)[ [ 1 +11"'1Ч(х; х; ха'х,; ...; хн)Г(à — 1) ... (à — и) (28) В частности, при х =-хл будем иметь и С' 1-1 1 О ал.~-1 ря.~.1) (~) Л +- (л+, У[1(à — 1) ... (à — и)[, „. (29) Для второй производной будем иметь." , С,',у,. ПЯ [' Г(à — 1) ...
(à — и) 1 о +Ил+7 (х; ха; ...; х„) — „, [~(à — 1)... (à — и)[+ +2А" 1а7(х; х; ха; ...; х„) — „т [Г(à — 1) ... (à — п)[+ + 211л+'1(х; х: х; хса ..., .х„) 1(à — 1) ... (à — и) (30) и при х=ха В 1-0 -[-й" ""'"(') И( — ) ... (1 — )[,,+ (л+ 1)1 йтт УЛФ+й) (1 ) +2Й1Рла „, ' „— [1(à — 1) ... (à — п)[ В. (31) Выпишем готовые выражения для производных первого и второго порядка при различных значениях л, и = 2 (три точки): 2Ь [ — Зуо+ 4У, — уз! + 3 -7 ( )' 1 Ьз :,— „[У вЂ” Ув! — б .7 (1)' — у + Зу [ + З 7 (с) 1 Уз= Уз= 1 Уз= л= 3 (четыре точки): Ь' пт~ Уо бЬ [ 1[уз+ 18У, — 9уз+ 2уз! 4 з ($) Ьз рзз Уз = бЬ ! — 2уз — Зуз +буз — Уз! + 12 7 6)' 1 Ьз пт1 бЬ [Уо 6Уз+Зуз+2уз! — 12 7 (з)' Ьз От> Уз= бЬ [ — 2уз+9уз — 18уз+11уз[+ 4 7 (1). л = 4 (пять точек): Уз — — 1, Ь ! — 25уо+48У,— 36Уз+ 16Уз ЗУз[+ б 7 (Е); 1 Ь" У,'= [вь [ — Зуз 1Оу, +!8уз — 6уз+Уз! 20 Х (с)' Уз= 12ь [Уо Зуз+8уз Уз[+у.7 (з)' Ьз 00 у 12Ь [ Уз+ 6У 18У + 1ОУ +Зуз[ +20 У (')' уз 12ь [Зуз 16уз+Збуз 48уз+25уз! + 5 7 (з)' п = 5 (шесть точек); Уз — — — ь [ — 137Уз+ЗООУ,— ЗООУз+200Уз — 75У4+ 12уз! б 7 (1): У', = ~ [ — 12уз 65У, + 120Уз — 60Уз+ 20У4 ЗУз[+ 3) 7 (1)1 Ьз ~тп Уз = — [ЗУз — ЗОУ, — 20Уз+ 60Уз — 15У4+ 2У ! — ® 7 (1); 1 Ь' Оли Уз = бОЬ ! — 2уз+ 15У, — 60уз+20уз+ ЗОУ4 Зуз[ + бб 7 (с) ! и' Очз Уз бОь Руз 20У, + 60уз ! 20Уз+ 65уз+ 12Уз! ЗО .7 у' = — [ — 12уа+ 75У,— 200У,+ЗООУ,— 300уз+137У [+ — 7~ и (1).
232 числвннов диеевввнциговлнив и интвггиговлнив [гл, 3 233 ФОРМУЛЫ ЧИСЛВННОГО ДИФФЕРЗНЦИРОВАЯИЯ и = 6 (семь точек): уо 6Я [ — 147уо+360уа — 450уа+ + 400уз — 225У4 + 72ӄ— 10У,( + — 7!"*и (1); Уа 60И ( ! Оуо 77уа+ 150Уг — 100Уз+ + 50У4 — 1буз+ 2уз[ — — УЧ ([) / ! Йз ОПИ Уз 60и [2уо 24уа — 35уг+ 80уз — ЗОУ4+ 8у. — у 1+ —. 7 (1); 1 Из [У >, У, = „— и! — Уо+9уа — 45Уг+ 45У4 9Уо+Уз[ — — ~ ([)' 140 Уз = 60 [Уо — 8уа+ 30уз — 80У, + +35у, +24ӄ— 2У,]+ — 7~ "' (1)„ У- = — ( — 2Уо+-! 5У4 — 50Уг + 4 1 60И + [ООУ, ~ЬОУ,+77У.--4[ОУ,[ — †," , '1<- (Цс Уз 60И [1Оуо 72У, + 225уа — 400уз + +450уз — 360уз+147уз1 + — 7!~и! (1).
Сравнивая различные формулы, мы видим, что наиболее простые выражения получаются при четных а в средних точках. При этом и коэффипиенты при производных в остаточных членах получаются самыми маленькими. Поэтому на практике, по возможности, следует применять эти формулы. Приведем соответствуюпзие выражения для вторых производных. п=2 (три точки): Уо = за [Уо 2уг+Уа( Ю" (14)+ б У (бг): У, =Йа(у — 2У +У[ — —,7 (1); ! Иа От! Уа = Йа (Уо 2уа +Уз(+Иу о(14) — б 44 ([д. а=3 (четыре точки): УО баа [12УО ЗОУ,+24у,— бу,[ +!2И~7 (Сз) 10 7 Уа биз (буо 12уа + буг[ — — и~у ([а) — — 7 Я; Уа 6И [бу' 12У'+буз[ !2И а' (И) 30.7 1 ! !зт! Из !У> уз = баз [ буо+ 24уа — 30уа+ 12уз( + !2 Иу ([4) — — 7 (за).
Уо 24Ю [70Уо 208уз+ 228уг — 112Уз+ 22уз[— б ' Г5 1 Уз 24аг [22Уо 40У, +12уг+ 8Уз 2У4[+ л4 + — )зЧ"' бз) — — У''Н [[г); 12 ' 60 [ — 2уо+32у,— 60уг+32уз 2уз[+®.г Д~) Ьз 00 24вз 1 Уз 24лг [ 2Уо + 8уз + 1 2уз 40Уз + 22Уз[ У," = — „, [22Уо 112У, + 228Уг — 208У, + 70У,[+ И в этом случае наиболее выгодные формулы получаются для четных и и для средних точек. 4. Метод неопределенных коэффициентов. Можно получить аналогичные формулы н для произвольного расположения узлов, При этом, чтобы не вычислять громоздкие выражения многочлена Лагранжа, удобнее испольэовать метод неопределенных козфдщциентов.
Для этого записываем искомую формулу в виде у<з>(хг)=~ с;у;+й(7) з=о и подбираем коэффициенты с; нз условия й [7) = О, когда 7'= 1, х, х'-', ..., х". Получнтся следующая система для определения коэффициентов с;: со+с,+ ... +с„=О, сох +сзхз+ ... +с„х„=О, с хз-'+с хг-'+ . +с хл-'=0 о о с х" +с,х", + ... + с„хе= л[, с„хозгз+с,хгз+'-+ ... +с„хз"'=(я+ 1)[хн с„х„"+с,х",+ ... +с„х„"=п(п — 1)... <и — 1+1)х" ,—" 234 числвннов дноовгвнцнговлннв н ннтвггиговлнив [гл.
3 в=4 (пять точек): еогмглы численного диееегенциговлния 235 Итак хя !я+ ! ф"' (х) = (л — т+ 1)! У(я+!! ($) Л] Рассмотрим разделенную разность !у(ха; х,; ...; х„) (рассмотренный уже случай ха= х,= ... =х,„=б исключается). Тогда р(хе; х,; ...; х ) =у(хе; х,; ...; х )— В силу свойств разделенных разностей Х ',= — — '. .ч ч- 1 = — — ) х" + !) = С„+ !(" о!,„(х ) л!! лх"' !-о л ! где с находится между наибольшим и наименьшим из чисел хо Если все х; положительны или отрицательны. то сааб и можно так подо- брать ),, что <р (хе; х,;...; х„) = О.
Отсюда находим ). = у'<ч е'! (т)). Следовательно, ч-,! у!~!(О) ~ чч х," а-, ! о "',а(х!)) у(я-~-» („) "' хя.~.! + (л+П) Х ' ' (32) ю-о -)- л, получим: Положив хе-— — а, х; = х; а и! а! аи-~-1 и !.! (0) „' ) гч"од)= — '„—, (33) Ь г'(а)= ) ) гл! Ь-ю 5. Выражение разностей через производные, Иногда возникает необходимость получить выражения разностей через производные. Для этого рассмотрим функцию р (х) = у'(х) — '5', —,1<а! (0) — ). а-а где ), — некоторая постоянная.
Очевидно, г(О)= р'(О)= . = — у( !(О)=О. При лг~(и по формуле Маклорена будем иметь: хч-ы+! !у('"' (х) = !г< +г! (Е) (л — и+ 1)! С другой стороны, из определения !у(х) следует: ~Ф"-!!) (х) = г'("'!! (х) — )., 236 числвннов диефвиянцигованив и интвггигованив 1гл. 3 Полагая а=О, ф(х) =г(О+х), получим формулу Маркова: дыоь дльь гон+ г Д"Ф(~) =,'!~, 'Фри (~) — „+ Ф""(5) (34) до" дч)" д зол Дбоь Дбоь Даое д гол дзоь 2 1 2 б б 14 36 30 150 62 540 24 240 120 ' 1 560 1 800 720 15 040 141 120 40 320 8 400 16 800 15 120 40 824 126 000 191 520 126 1 806 254 ~ 5 796 В инженерной практике иногда прибегают к графическому дифференцированию.
Этот способ вряд ли может быть рекомендован, Рис. 24. Интеграф Корали. так как точность при этом получается незначительная, а объем работы не меньше, чем по приведенным нами формулам. Используются также различные моделирующие приборы. Наиболее точными из них являются интеграфы. На рис. 24 приведен интеграф Коради, использующийся в Советском Союзе. Здесь д Π— так называемые разкослги нуля. Они являются конечт л ными разностями х" при х = О.
Приведем таблицу значений этих разностей: 237 % 31 ЗАДАЧА ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ф 3. Задача численного интегрирования Если для функции 7(х), определенной на отрезке [а, Ь], можно найти примитивную Ь'(х), то определенный интеграл ~ 7(х)Г(х можно вычислить по формуле ~ 1(х) Г(х= г (Ь) — Ь'(а). а Но, как правило, найти примитивную Р (х) через элементарные функции не удается. Поэтому приходится прибегать к приближенному вычислению интеграла. ь Хотя из определения интеграла ~ 7(х)Их и следует, что с по- а мощью интегральной суммы 8„= ~ 7(хДЬхг можно найти интеграл г 1 с любой степенью точности, но этот прием замены интеграла интегральной суммой практически мало пригоден из-за медленной схо. ь димости Я„к ~ Г'(х)с(х. а Для построения формул приближенного вычисления интегралов используем замену функции 7(х) интерполирующей функцией ~7(х).
Изложим общую идею построения таких формул, обобщив несколько постановку задачи, введя еще весовую функцию. Пусть требуется вычислить определенный интеграл ~ р (х)у (х) Зх. (2) Здесь р (х) — некоторая фиксированная функция, удовлетворяющая условию р(х))0 на (а, Ь). Ее называют весовол функцией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
