Том 1 (1160083), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Представляем 7(х) в виде )'(х) = р(х)+й(х), (3) где р(х) — интерпеляционный многочлен, а Й(х) — остаточный член. 'Тогда ь ь ь ) р(х)7(х)йх= ~ р(х)~(х)с(х+~ р(х)Й(х)дх. (й) Первый член справа будет давать формулу численного интегрирования, а второй — остаточный член этой формуты. Интерполяционный многочлен >о(х) можно предатавить в виде у (х) = У (хо) ФО (х) + У (х1) Ф1(х) + ... + У (х„) Ф„(х). (5) Будем предполагать, что интегралы ь ~ р (х) Ф> (х) с(х = с; мы умеем вычислять точно. Они не зависят от функции>" (х). Поэтому их можно вычислить раз и навсегда и использовать лля вычисления интегралов ь ~ р (х) у (х) 1>'х а при произвольных >'(х).
Сама формула численного интегрирования будет иметь вид ь ~ р(х)у(х)ах=соу(хо)+с>1(х>)+ ... + О„У(х„). (7) а При численном интегрировании (а также и при численном лифференцировании) можно использовать интерполяционные формулы с кратными узлами. Тогда формула численного интегрирования примет вид ь ~ р (х) у (х) с(х со > (хо) + со>'(х>) + ... + с„> (х„) + + с),'> г" ' (х ) + с<,'> >' (х) + ... + с~>у' (х„) + +С>"-1>утч-1>(Х )+С>а-1>~>а-1>(Х )+ ... + С> -1>ут"а-1>(Х ). (8) о О 1 ! ''' а" а ' Специальным выбором узлов хь иногда удается добиться того. что часть коэффициентов с(у> обратится в нуль. Мы не будем пока входить в подробности этого случая и ограничимся формулами вида ~ р(х)> (х)>>х= ) сс> (хг)+ЙЩ.
(9) >-0 Остаточный член этой формулы обращается в нуль, если в качестве /(х) взять любую нз функций Ро(х), тд(х), ..., Ра(к). Учитывая последнее заме1ание, ны можем встретиться со случаем когда он обратится в нуль н для ОекотоРых дРУгих фУнкцнй Уа+1(х), Ра+з (х), ..., т„, (х), таких, что й>38 численное ЛНФФеРенциРОВАние и иптеггиговьние [гл. 3 239 % 3] злдлчл численного интегвивовлния %'[те.
Ть, ..., ТВ] ~ 0 из ]а, Ь]. Тогда, согласно второй главе (см, (3) е 5 гл. 2), запишем /(х) в зиле /(х) =~~~ ауру(х)+ ~ К(х, з)й +,[/(з)]лье (т) и). (10) У-О а Умножим обе части равенства на р(х) и проинтегрируем в пределах от а до Ь. Получим; Ь ьн Ь 1 Р(х)/(х) ь(х = ) а ° ~ Р(х) у ° (х) ь(х+ а О а [ л + ] Р(х) ~ К(х, з) йьиьь[/(л)]аьл ~аьх. а а Но / р(х)уу(х)пхаи ~ сьчу(хь) (/=О, 1, ...', т), !=О а Первый член справа даст приближенное значение интеграла, а остальные— остаточный член. Остаточный член может также быть записан в виде: ь [ ь )([/] = — ~ р(х)] / К(х, з) А „[/(з))льл ) Нх+ а ]В В Ь + У сь / К(хь з) й +ь [/(л)] ь(з.
(13) т О ВЬ Полусумма двух представлений остаточных членов ласт иам ь Й[/]=~О(з)й [/(з)]ил. а Позтому ЬВ т ] В (и ВЬ Х ау ~ р(х) ьгу(х) ь(х = ~ ~«у ~ ~~~ стьг ° (хь) = 1) сь ) а уу (хт) = О а 1-О 1-О ь-О 1-О В В ст/(хь) — ~ ст ~ К(хь, л) й .„]/(з)] ь(з. 1-О ь О а Итак, Ь В ь ] Р(х)/(л) тих= ~~~й сь/(хг)+ ~ Р (х)( ~ К(х, 3) й +ь[/(з)]аьз )ь(х а ь О а [а и сь ~ К(хь, з) 1 +ь [/(з)]ь(л. (12) 240 численнОе диФФеРенциРОеАние и интРГРиРОЕАние [гл. 3 где Ь ч 20(х) = ~ Р (х) К(х, г) в1ип (х — г) из — ~ с,К(хь з) з(яп (хг — з), (15) г 0 На этом мы закончим изложение общих методов численного интегрирования и перейдем к более подробному изучению формул, получающихся при использовании интерполирования алгебраическими многочленами.
5 4. Формулы Ньютона — Котеса 1. Вывод формул. В этом параграфе мы рассмотрим формулы для приближенного вычисления интегралов ~ г'(х) с(х. которые получаются путем замены подынтегрального выражения интерполяционным многочленом Лагранжа с узлами, разбивающими промежуток интегрирования на равные части. Эти формулы носят название формул Ньютона — Котеса. Пусть узлы интерполироаания расположены так: хг=а+1)г (1=1, 2, ..., л). (2) с = а+ (1 — й) (г, Н = а+ (и + )г) Й. (3) Для формул открытого типа й=1, а для формул замкнутого типа н=б.
Обозначим Р(у)= у'(а+(гу). Тогда ~ ) (х)с(х=)г [ Р(у)г(у, (4) г — А Здесь а либо совпадает с с, и тогда будем предполагать, что г( = а+(и+ 1) й, либо а+А = с, и тогда предполагаем, что а+п)г=Н. В первом случае узлы интерполирования не содержат точек с и г(, а промежуток интегрирования разбивается этими узлами на и+1 равных частей. Во втором случае концы промежутка интегрирования являются узлами интерполирования и промежуток интегрирования разбивается узлами на и — 1 равных частей. Формулы численного интегрирования, которые получатся в первом случае, будем называть формулами открытого типа, а во втором случае — формулами замкнутого типа.
Чтобы не проводить рассуждения дважды, положим 241 з 41 ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА — КОТЕСА Интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный для функции у(х) по узлам х), при такой замене независимого переменного перейдет в (у — 1) (у — 2) ... (у — ) + 1) (у — Š— 1) ... (у — и) ). (у) = ). (Š— 1) () — 2) ... (1) ( — 1)... (à — ) Г ( )' (5) Таким образом, ~ ~(х) е)х= И ~ Р'(у) с)у = И ~ ).(у)с)у-+ в 1-Ь 1-Ь .+ И ~ (у — 1)(у — 2)... (у — п)гт(у) 1; 2;...; п)пу= 1-Ь в в -1-Ь И ~т Р,)) ~' ( 1)в- (.у — 1)(у — 2)" (у — п),2у+ () — 1)1 (и — ))1 (у — 1) 1-1 1-а + И ~ (у — 1)(у — 2)...
(у — п)тч(у; 1; 2; ...; п)пу= 1-Л = (11 — с) ~ 1(:ЛьУ(п+ )И)+ + И / (У вЂ” 1)(У вЂ” 2)... (У вЂ” п)Р(У; 1; 21...; п)г)У. (6) 1-Ь олесь через 1в), обозначены выражения (в) веь )ь а — ° 1 йо ( — 1)в ' 1 (у — 1) (у — 2) ... (у — в) (и — 1 + 2Л) (Š— 1)1(п — Е)1,/ У вЂ” 1' )у. (7) 1-Ь Они не зависят от промежутка интегрирования и могут быть вычислены раз и навсегда, Кроме того, вычисления облегчаются благодаря тому, что )1,Ь=) 1+1,Ю (в) )в) (8) т.
е. разноотстояц)не от копцов коэффициенты формулы Ньютона— Котеса равны. В самом деле, в+а ) (в) ( — 1)'-' (у — 1) (у — 2) ... (у — и) " '+Н Л (и — 1-)- 2И) (п — 1)1() — 1)!,) (у — и -)-1 — 1) 1'А 242 числвннов диеезгннцигозлниг и интвгниновлниз [гл. 3 Заменяя под знаком интеграла у на и — г+ 1, получим: 7)в) ( — 1) 1 (в — г)(п — г — 1)... ( — г-).1) (н — 1+ 2а) (и — ))1(т — 1)!,/ и+л (н — 1+ 2а) (л — ))1 (1 — 1)! „)' г — 1 а'г=у,,л, ( — 1)" ' / (г — 1) (г — 2)... (г — и) (в) 1'л что и требовалось доказать.
С возрастанием н коэффициенты 1, л становится все более и (в) более громоздкими. Как было показано Р. О. Кузьминым, (7(нв)-и ~ с возрастанием т неограниченно возрастает, Так как, с другой стороны, (9) то среди 7; о должны иметься значении различных знаков. При(Ъв+ 0 ведем числовые значения 1)т"л длн различных (, А и и.
Каждый из коэфф~ци~нтов 7(т"'л является рациональной дробью, Длн сокращения таблиц мы будем брать знаменатели этих дробей при фиксированном и одинаковыми и эти общие знаменатели указывать в последнем столбце. В предшествующих столбцах будут даны только числители. л = 0 (формулы замкнутого типа): 4 ' 2 3 ~ 4 ) 5 ~ 6 Знамена- тели — 4 540 5 778 — 260 550 427 368 2 3 4 5 б 7 8 9 10 11 1 1 4 1 3 7 32 19 75 41 216 751 3577 989 5888 2 857 15 741 16 067 106 300 12 50 27 272 1 323 2 989 — 928 10 496 1 О 80 19344 — 48 525 272 400 2 б 8 90 288 840 17 280 28 350 89 600 598 752 ФОРмулы ньютонА — котесА Л =1 (формулы открытого типа): 2 3 Знамена- тели — 2 459 — 1 711 — 55 070 17 085 616 67 822 9 072 8 891 258 7 257 б 00 2.
Остаточные члены формул. Исследуем теперь остаточные члены формул Ньютона — Котеса. Как мы видели, они имеют вид: Л„л(У) =11 / (у — 1)(у — 2)... (у — п)1 (у; 1: 2: ...; п)г(у. (10) Преобразуем интеграл, стоягций в правой части. Возьмем сначала и = 2т — 1 и рассмотрим Згл-1+1 рл -1= ( (У вЂ” 1)(у — 2)... (у — 2т+.1) Х 1-Ь Х Г(у' 1; 2;...; 2т — 1) 1(у, (11) Введем вспомогательную функцию <р(х) = ) (у — 1)(у — 2)... (у — 2т+ 1)г(у, (12) 1-Л Очевидно, 18(1 — )з) =О. Точно так же и у(2т — 1+)л) =О. В са- мом деле, Лм-1+А 1р (2т — 1 + и) = / (у — 1) (у — 2)... (у — 2т + 1) 1(у, Произведем замену переменных под знаком интеграла, положив 1 2 11 11 611 460 1 787 4 045 2 752 447 — 1 1 — 14 — 453 — 954 — 2 803 — 11 690 — 6603 199 26 562 2 196 4 967 33 340 — 15 673 880 2 3 24 20 1 440 945 4 480 '244 численное дияавгенпигованив и интеггигование [гл.
3 Тогда 'а(2т — 1+й)= — ~ (2т — з — 1)(2т — г — 2)... ( — з+1)~Ы= а -1еь ат-ььь = ( — 1) + ~ (г — 1) (г — 2)...(г — 2т+ 1) 2г= а-ь = — ~р(2т — 1+ й). Отсюда и следует утверждение. Покажем далее, что е(х) нигде не обращается в нуль на интервале (О, 2т). Для этого исследуем сначала подынтегральную функцию ф(у) =(у — 1)(у — 2)... (у — 2т+ 1). (13) На отрезке (О, 2т1 она обращается в нуль в точках 1. 2, ... 2т — 1 и только в них. Она меняет знак при переходе через эти точки.
Далее, ф(2т — у) =(2т — у — 1)(2т — у — 2)... (2т — у — 2ги+1) = =( — 1)" Ф()) = — Ф(у). (14) е. график этой функции центрально симметричен относительно точки у = т. Покажем, что абсолютные величины интегралов 1+1 (е= ) ф(у) ау убывают, когда 1 возрастает от нуля до т — 1. В самом деле, ееа („,= ~ ф(у) Ьу.
!е1 Произведем замену у=а+1. Тогда 1.ь1 еч-1 У,~,= ( г(г — 1)... (г — 2т+2)йг= г л!у. уФ (у) 1 в Так как ф(у) не меняет знака на отрезке (1, 1+ Ц, то Й-1 Е /' Е '+г Š— 2т+ 1 / т (У) .! Š— 2т+ 1 где 1с. Еч, 1+ 1. Но 1- Е т Š— 2т+!( 2т — 1 — т+! = 1. 241» з 41 ФОРмулы нъютонй — котвсй Итак, ~/е~>~/1!>... >1/. 1~ ~/0~=~/2»1 1~, ~/1)=)/2т 2), так как 1р(1 — й)=22(2лй — 1+й) =О, и — Р(у; 1; 2; ° ..; 2яг — 1) = Р(у; у; 1; 2; ...; 2лг — 1). В силу знакопостояиства 1/(у) можно применить теорему о среднем. Поэтому М»-1ьй рй„, 1 — — — /'(Е; Е; 1; 2; ...; 2т — 1) ~ 1/(у) 1/у (15) 1-й или после замеиы разделенной разности производной яа-1~-й »чз»О (Е) /' (2»2)1,/ 1'й (16) Рассмотрим теперь случай четного а, я = 2лй. При этом Ъ„= ~ (у — 1)(у — 2) ...
(у — 2лй)Г(у; 1; 2; ...; 2яг)2(у. (17) 1-2 Разобьем последнии интеграл нз сумму двух интегралов: 2»»»2-1 рз„,= ~ (у — 1) ... (у — 2т)Р(у; 1; 2; ...; 2лй)О1у+ 1-й 2~»-~-й + ( (у — 1)... (у — 2лй)Р(у; 1; 2; ...; 2т)2/у=51+82. (18) 2~».12-1 Отсюда и следует, что 1р(х) + 0 при х~(1 — й, 2в2 — 1+й). Вернемся к исследованию рй О Произведем в (11) интегрирование по частям. Получим: рй„,— — 22(у)/'(у; 1; 2; ...; 2т — 1) (,~„~+ й~а-1+й — / 1/(у) — Р(у; 1; 2; ...; 2лй — 1) 2(у= 1/У 1-2 2М-1+й — </(у) Р(у; у; 1; 2; ...; 2т — 1)1/у. 1-2 246 числвнноз диеевгвнцигованив и интвггигованив (гл. 3 Заменим в Ъ1 произведение (у — 2т) Р (у; 1; ...; 2т) на равное ему, з силу определения разделенных разностей, выражение 1"-(у; 1; 2; ...; 2лг — 1) — гт(1; 2; ...; 2т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
