Том 1 (1160083), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Остаточный член ннтерполяцнонной формулы Эрмнта. Произвелем оценку остаточного члена интерполяцнонной формулы Эрмита. При этом мы будем требовать существования производной (и+ 1)-го порядка от интерполируемой функции 7'(х) на отрезке (а, Ь), на котором находятся узлы интерполирования н значение х, для которого производится интерполирование, и существования н непрерывности всех производных низшего порялка. Рассмотрим вспомогательную функцию ф (х) =. у (х) — Н (х) — КЯ (х), (3 6) где К вЂ” некоторая постоянная. Эта функция имеет нуль кратности аа в точке хе, нуль кратности ц, в точке х, н т.
д., наконец, нуль кратности а„в точке х„. Подберем К так, чтобы ф(я) обратилась в нуль в точке х, лля которой мы производим интерполирование. Это возможно, так как тогда У (х) — Н,„(х) К= а (1(х)+О. На основании теоремы Ролля производная ф'(г) обратится в нуль в в+1 точках в интервалах межлу х, хе, х,, ..., х„ и, кроме того, булет иметь нули кратностей ае — 1, а, — 1, ..., а„— 1 в точках хе, х,, ..., х„, т. е.
всего лг+1 нулей на проме- Таким образом, ВГ~) " отличны от нуля только при р=)з, и в этом случае ~ 1 Ц задача интзвполиговлния алгазгаичаскими многочланлми 173 жутке [а, Ь[. Далее, получим, что вторая производная будет иметь по крайней мере т нулей на этом промежутке, третья т — 1 нулей и т. д. Наконец, производная (т + 1)-го порядка будет иметь на отрезке [а, [)[ по крайней мере один нуль.
Итак, на отрезке [а, [)[ найдется по крайней мере одна точка 1 такая, что у)'"+1) (1) = О. (36') Но (37) [аааь)) (л) = ) 1аа'а1) (х) — (т + 1)11(, так как Нж(л) есть многочлен степени не выше т и, следовательно, его производная (т+1)-го порядка равна нулю, а Я(г) есть многочлен степени т+1 со старшим коэффициентом 1 и его производная порядка т+ 1 равна (т.+ 1)1. Отсюда у)аа 1.1) (а) (яа+ 1)) (38) Итак, уоа+ 1) (а) 7 (х) — Н (х) = (, 2 (х).
(39) Относительно практического применения этой формулы можно сказать то же самое, что говорилось ранее для многочлена Лагранжа. На основании этой формулы, так же как и ранее, можно доказать равномерную сходимость Н,„(х) к 7(х) на [а, 1)[, если только 7'(х) — целая функция. В тех случаях, когда интерполяционная формула Эрмита нужна иам лишь для целей интерполирования, а не для приближенного аналитического представления функции, то общая формула, которую мы получили. неудобна. Когда мы изучали формулу Лагранжа, то оказалось более выгодным преобразовать ее к форме Ньютона. Попробуем и в случае кратных узлов поступить аналогичным образом. Проще всего это сделать, перейдя к пределу в интерполяционной формуле Ньютона.
Это приведет нас к поняти)о разделенных разностей с повторяющимися значениями аргумента. 4. Разделенные разности с повторяющимися значениями аргумента. Непосредственное определение разделенных разностей, данное ранее, непригодно в случае повторяющихся значений аргумента, так О как при этом обязательно встретятся отношения вида —. НеобхоО' димы дополнительные определения. Положим у(ха; х,; ...; х,; х,; х„; ...; х,; ...; х„; х„; ...; х„) = Ьа Раа Рн Раа Ьч Р" =1[в/[хз; хан; ...; хаь' 1); х,; х1~; ...; (а,-)) со (ь„- 1) х,';...;х„; х„;...;хин ), (40) 174 твогия интвгполиговання и нвкотогыэ ээ пгиложвния )гл. 2 когда «1~ -ьх! и все х;" различны.
Для существования такого пре(!! дела нужны некоторые дополнительные условия на функцию 7(х). Так, например, согласно нашему определению У(хо' «о) = 1'ш =У (хо) Щ аь.ь дь Х1 — ХО и следовательно, мы должны предполагать существование производной 7'(хэ). В дальнейшем мы бУдем пРедполагать сУцествование и непрерывность всех производных от 7(х). которые нам встретятся. Для изучения разделенных разностей с повторяю цимися значениями аргумента будем пользоваться полученным ранее представлением обычных разделенных разностей в виде отношения определителей хо .!о" хо у(хэ) х, хэ„,х,-( У(х,) 1 х х„...х„"' У(х ) 7" (хэ; хб х,; ...; х,)— (41) 1 х х ...х" ' х" о о ° ° о о 1 х х'...х"-' х" 1 ! ! 1 Для сокращения записей будем обозначать определитель, стоящий в знаменателе через 1)(хэ, х„..., х„), а определитель, стоящий в числителе„чеРеэ 0(хэ, х1„..., х„; 7).
Нам нужно найти предел отношения (И (Ь, -О (О (Ь, -11 (П (Ь„- !1 !г!(! хэ„ха,..., х ', х„х,,..., х, ',..., х„, х„, ..., х„", у) (11 (ь,-п гп (ь, -1) (н (ь -1); В(х,„хэ,..., х ', хн х,,..., х, ',..., х„, х„, .... х„" ) при х, -ьх! х! чьхь. Непосредственная подстановка хэ вместо хэ Ы! О! (!! (1! ничего не дает, так как при этом числитель и знаменатель обращаются в нуль. Воспользуемся правилом Лопиталя.
После дифференцирования числителя и знаменателя по хэ и замены хэ на хэ вто- (1! (н рая строка числителя будет иметь следующий внд: О 1 2 ха ... (р — 1) хэо 7' (хэ), а вторая строка знаменателя перейдет в О 1 2х, ... (р — 1)«Г' рхэа '. Здесь через р обозначено выражение кэ+ й(+ ... + !э„— !. Остальные строки числителя и знаменателя ие изменятся. Примене- 11! задача интегполнгования алгезганчвскими многочлвчами 175 ние правила 7!опиталя будет законно, если знаменатель окажется отличным от нуля.
Проверку этого мы произведем в дальнейшем. Устремим теперь ха к ха. Опять придется применять правило га) Лопитал). После однократного дифференцирования числителя и знаменателя по хе н последующей замены ха на ха у нас совпадут на )$) вторые и третьи строки. Поэтому будем дифференцировать дважды и лишь после этого заменим ха на ха. В результате третья строка на числителя превратится в О О 2 3 . 2ха ... (р — 2)(р — 1)хоа ' ~" (хе).
Третья строка определителя в знаменателе будет такова: О О 2 3 ° 2ха ... (р — 2) (р 1) ха1- (р 1) рх~ — а Продолжим этот процесс дальше до тех пор, пока не переберем все х»)). При этом первые л строк определителя, стоящего в числителе, будут таковы: 2 р-1 1 хе хо .. хо О 1 2хе... (р — 1)хао О О 2 ... (р — 1)(р — 2) х8 О О О ... (р — 1)... (р — Аз+1)хео * В знаменателе будет аналогичная картина, только в качестве 7(х) ну о вз х .
После этого проделаем аналогичные операции с х)), затем с хам» и так далее, пока не переберем все х~~. Нетрудно представить, во что перейдут при этом числитель и знаменатель. Проверим теперь, что ни один из получившихся у нас знаменателей не обратится в нуль, Как известно, О(х, хн), ..., хыэ ", ..., х, х'", ..., х()'и ')) = = П(х!») — х~)) (1) Й или !=и, /) О» Выделим отсюда множители, содержащие х)а).
Получим: )1) Таким образом, производная знаменателя по х)1) при .ф=х, будет равна (х~~) — х)(х)) — х)... (х(" ') — х) 0(ха, х!),... х(" ')). 176 тиогия интегполиговлния и некотогые ви пгиложвния 1гл. 2 Выделяя здесь множители, содержащие х!з>, получим: ... (х!"--  —,) О (х,, х,"1, ., х!"--'1). Вторая производная по х!'> от этого выражения при хгз>=хе будет равна 2! (хаем — х ) ...
(х~~ ! — х ) О(х, х~, ..., х~! е 1). Аналогично находим, что третья производная от этого выражения по хгз! при хм' = х будет равна 2! 3!(х~" — хэ)' ... (х1„" '! — хо) О (хе, х,"...,. х!"« '1). Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не переберем все х~л. .Окончательно получим: 2!31.
(Йе — 1)!(х,— х,)"' '(х1,'! — хе) ' ... (х! '1 — х,) ' ' О (х,, хн х~,'1, .... хг1ч В). Передаем теперь к дифференцированию по хИ. Выделим из последнего множителя предыдущего выражения хнб '2! 3!... (й — 1)! (х, — х ) ' (х!Н вЂ” х ) '(х!з! — х )~ ... (х! '! — х!П) О(х,, хн х~", ..., х! и В). Дифференцирование по х<,'! и последующая подстановка х, вместо х!'! дадут: 2!3!... (7з — 1)!(х, — х,)'"' '(х!а! — хе)~' '... . (х~"ч '! — х,) О (х,, х,, хм!, ....
х!"« '1). 'Теперь выделяем из последнего множителя разности хсз> — х,, х!з> — хФ, затем дифференцируем дважды по х(а! и полагаем х!з'= х,. Это даст: 2! 3!... 1й — 1)!2!(х,— х )'~ '(х!з! — х )"' ... (х!"ч '1 — х,)а О (х„х„х',", ..., х!'» '1). 3 1!! злллчл интвгполивовлния ллгвзглическими многочленлми 177 Процесс продолжаем до тех пор, пока не переберем все Х111!. В конце концов, получим: 2! 31 . (Ао 1)12! 3! ° .. ()01 — 1) (х, — хо) (ХΠ— хо) 2! 3! ° ° ° (йо 1)1213! ° ° ° (Д 1)! ° ° 2131 ° йй0 "(дл 1)!Ц(х1 ха) ' 1)(хо,х,, ., х„) или, если вычислить О(хо, хн ..., х„): 2 ! 3 !... (Фо — 1) ! 2 ! 3 !... ()01 — 1)!...
21 31... ()΄— 1) П (х; — х1) ' ~. «)1 При наших предположениях о х!1) и х; ни один из полученных таким образом определителей не обращается в нуль. Таким образом, наше определение разделенных разностей с повторяющимися значениями аргументов законно, и эти разности можно вычислять тем способом, который здесь приведен.
р . ° -« *..д.; ...: .р, Ор. ° - «р-- ности в виде отношения определителей будет выглядеть так: й р«р ло у(хо) (й — 2) хо 7 (хо) ХО ХО О 1 2х... О О О О О О У!й " (хо) у!й-'(х.) (й — 2)! О " (хО) (42) (й — 1!! й-« 0 й-1 ХО 1 ХО ХО О 1 2хо °" (й — 2) хо (й — 1) хо О О О ... (й — 2)! О О О ... О (й — !) Хо (й — 1)! Теперь будем дифференцировать по х!01>, затем по х111 и так далее, Рй — 1« заканчивая на х„о .
В итоге исходный определитель перейдет в 178 теория интерполирования и нвкоторыв вв приложвния (гл. 2 Пз*:": ' а(*: Ф, раа З, раз Предполагаем, что все разделенные разности низшего порядка уже вычислены. Будем предполагать также, что под знаком разделенной разности имеется по крайней мере два различных аргумента, Пусть хотя бы хеФх„. Для случая, когда все аргументы под знаком разделенной разности совпадают, мы уже получили удобную формулу. По определению, Л*:...:*,: *: ..:*: ..: *:...;*)- а раз !нп У(хз; х~'); ...; х~"' '); х,; х('): а!)а) -ь з!, (х(" +х(а)). .;х( ', ...; х , х("; ...; х( ч )) Но 7(х; х(); ...; х(а' !);х;х(!', ...; х(а' !); ...; х; х(!); ...; х( ))= (!) (а„- !) (!) (а, — !) (и (а — !) ~у(ха;...; ха ', х;, х,; ...; х,; ..лх„;х„;...;х„" )— х„— хо) (!) (й, — !) (!) (а, — !) (!) ( — !) — г (хр( х,) ...,' х„; х,; х(;...; х, ';...; х„; ...; х " )1 Переходя к пределу в обеих частях равенства при х,' -+ хо получим: /!*,:*,; ": ',,;,: .:,; ..: ..;*.:...: Ю= Ф, раз Ф, раз 1 (У (хо) ° ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
