Том 1 (1160083), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Этого, вообще говоря, ие будет в действительности. Погрешность >тз„ обратится в нуль при = — в том случае, когдаг>Я" »>(х) = сопз!. таким образом, много- 1 2 член, представляемый формулой Бесселя, взятой до разностей по- 1 рядка 2п, будет давать точные значения )'(х) при Г = —, если 2 ' Г(х) — произвольный многочлен степени не выше 2п+1. Разница между точным и упрощенным выражениями )сз„будет определяться производными порядка Г>з"+я>(х). Используя выражение остаточного члена формулы Лагранжа, содержащее разделенные разности, можно было бы показать, что разность между точным и приближенным значениями На„ примерно равна Йа„ ,.
Приведем теперь абсолютные значения коэффициентов при лау!">(1) в выражениях остаточных членов формулы Бесселя (и означает степень использованного интерполяционного многочлена). Для четных и использована упрощенная формула. 142 твогия интвгполиговлния и нвкотогыв ве пгиложвния !гл, 2 Как видим из этой таблицы, формула Бесселя имеет преимущества перед формулами Гаусса и Стирлинга при четных и 1 и особенно при значениях 1, близких к †. Поэтому ее выгодно 2' применять, когда формула заканчивается на четных разностях (1 3! и при значениях 1, заключенных а промежутке ! —, — ! ° !4' 47' Заметим, что при упрощении остаточных членов формул Ьесселя и Стирлинга мы использовали предположение о почти постоянстве соответствующих производных.
Это предположение имеет под собой почву в практике интерполирования. Дело в том, что если производные велики и сильно изменяются, а это обычно выражается в неправильном поведении соответствующих разностей, то вряд ли можно ожидать большой точности интерполирования. В этом случае либо увеличивают порядок используемых разностей, либо уменьшают шаг интерполирования. 8 8. Некоторые другие подходы к выводу формул интерполирования для равных промежутков 1. Диаграмма Фрезера. Б этом параграфе мы кратко изложим некоторые другие способы получения формул интерполирования. Прежде всего дадим способ, предложенный Фрезером.
Для сокра- — 1,о — О,'9 — 0',8 — 0,7 — 0,6 — 0,5 — 0,4 0,3 — 0,2 — о',! о,'о о',! 0,2 0,3 0,4 О,'5 0,6 О,'7 0,8 О,9 1,0 1,00 О,'86 0,72 0,60 0,48 0,38 0,28 0,20 0,12 0,06 о',оо 0 045 0,080 о,!05 О,!20 О,!25 0,120 О',105 0,080 0,045 О,ООО 0,500 0,40! 0,312 0,240 0,176 0,127 0,084 О',053 0,028 0,082 о,ооо О,'006 0,008 О',О07 0,004 О,'ООО О',004 О,'007 О,'008 О',006 о,'ооо. о,оооо 0,0207 0,0336 0,0402 0,0416 0,039! О,0336 0,0262 0,0!76 О,ОО87 о,оооо 0,0078 0,0144 0,0! 93 0,0224 0,0234 0,0224 0,0193 0,0144 0,0078 О,'ОООО о,еюо 0',0058 0,0087 О,'0096 0,009! 0,0078 О,ОООО 0,0040 0,0025 О,ОО!О о,оооо 0,0006 0,0009 0,0008 0,0004 0,0000 0,0004 0,0008 О,ОООО О,ОГЮ6 О,ЕВО ф 8! детгиз подходы к выводя фоямтл интвгполивовлния 143 щения записей введем символ С,, где и! — натуральное число и à — произвольное действительное число, понимая его как С, = и г(г — !) ...
(г — т+!) (1) Из всех свойств, которыми обладает С~™. нам понадобится лишь следующее: С'= Сф — С (2) Оно легко получается из определения Сг!. Действительно, С Ся+ (р+1))!(р — 1)" ()! — 4+1) р(р — 1)" 0 — Ч) Рч! Р (4+ 1)' (4+ 1)' р(р — 1) . (р — 4-~1) (р+1 — р+ч) С» ф 4+1 Умножим полученное тождество на равенство У,',. — У,=У,;~д. !1 я ят' Получим: ч 7 т 7ч! я!! 7-~.! тч.! С',У„„— С,У„= С„,У„„,, С„У„,ги или СягУ +-С' У.+~ — Ю.+ +Сея Х' ги Рассмотрим теперь ромбовидную диаграмму, приведенную нж рис. 21. ф.7 Ф 2'9~'а Рнс. 21, Из последнего равенства слелует, что если, исходя из какой-то величины, помещенной в левой вершине ромба, двигаться по его верхним сторонам до правой вершины, прибавляя все встречающиеся по пути величины, то мы получим такой же результат, какой получится, если, исхоля из той же величины, двигаться по нижним сторонам ромба, прибавляя все встречающиеся по пути величины.
Далее, если мы проведем диагональ ромба, соелиняющую левую и правую вершины, и, продвигаясь по ней, будем брать полусумиы 144 твогия интвгполигования и некотовыв вв пвиложвния 1гл. 2 чисел, стоящих непосредственно над и под ней, то, очевидно, получим такой же результат.
Так, для построенного выше ромба мы получим на этом диагональном пути следующее выражение: "~"+'~'+ 2 ~ вч'+ 15) Составим теперь из таких элементарных ромбов сетку на плоскости. В каждой вершине поместим разность с соответствующим / ".У С,' г гЯ ; 1г,' с, я Г Г с ~ | ~ ~ ~~~ ~ ~ г | ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ | С ~ ~ ~ ~ | ~ ~ ~ ~ | ~ ~ ~ 1 ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ | ~ ~~ ~~ ~~ ~ ~ ~ г ~ ~ ~ с ~ ~ ~ ~ а ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 5 а',,~,, б'а1 е, б а ~ с ~ | ~ с ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ | | | с ~ ~ ! ~ ( ~ | ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ с сс ~ ~~ ~~ г | ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~г ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ с ~ с 5 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ | ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ | ~ | г а г б га а С ~ ~ с | ~~ ~~ ~ ~~ ~ ~ ~~ ~ ~~ | г ~ ~ ~ | ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ г ~ ~ | ~ ~ | ~ ~ | ~ ~ ~ ~ ~ ~~ | ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ с ~ ~ ~ | ~ ~ ~ ~ ~ | ~~ Г Г а )/ а С ~ ~~ ~ !~ ~ ~ | ~~~ ~ ~ ~ 1 ~~ г ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ | ~ г ~ ~ ~ ~~ ~~ ~ ~ ~~ | ~ ~ | ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ Г Г г | ~ гЦ, г,'., 1г,' Д~б' Рис. 22.
Лиаграмма Фрезера. коэффициентом так, чтобы эти разности располагались так же, как и в таблице разностей. К разности г1, возьмем в качестве коэф- 1 1 .фициентов С~ и Сг и Получится ромбическая диаграмма, которую мы назовем дииграламой Фрезера. % 8~ детгиз подходы к выводя еогмгл интвгполиговлния 145 Рассмотрим теперь произвольный путь, идущий слева направо от гв по сторонам ромбической диаграммы. Используя последовательно проведенные нами рассуждения для одного ромба, мы получим следующий результат: любой путь, идущий от гз направо по сторонам ромбов или их горизонтальным диагоналям и приходящий в ту же конечную точку, даст такую же сумму, что и первый Построим диаграмму Фрезера для некоторого миогочлена, хотя бы многочлена Лагранжа для некоторой функции У(х). Разности, начиная с некоторого порядка, обращаются в нули.
Отсюда следует, что любые два пути, начинающиеся с Г и продолженные до столбца постоянных разностей, дадут одинаковые суммы, так как их всегда можно свести в одну точку по столбцам с нулевыми разностями. Более того, учитывая, что имеет место соотношение + Гут г +(Г 1) )ч (6) мы можем использовать любые пути, начинающиеся в У, и заканчивающиеся на постоянных разностях, и получать тот же результат, а отсюда следует, что иа любом пути, идущем от произвольного Уг до постоянных разностей, мы получим один и тот же результат.
ПУть, идУщий от Уз по диагонали вниз, даст иам у,+ Сгу,, +С',у;+С',у,, + Эта сумма по формуле Ньютона для интерполирования вперед равна г'.„(хз+Гп). Таким образом, выбирая произвольным образом Рис. 28. начальное значение уг и путь, заканчивающийся иа постоянных разностях, складывая все встречающиеся на пути величины, мы также получим Е„(ха+-гд). Этим способом можно получить громадное количество самых различных формул. Формулз Гаусса для интерполирования вперед получится, если взять за начальную точку гз и избрать зигзагообразный путь, имеющий вид, приведенный иа рис.
23, Мы получим формулу Стирлиига, если пойдем от Уе по горизонтали направо; формулу 1 Бесселя можно получить, если двигаться вдоль строки с индексом —. 2' 2. Понятие об операторном методе вывода формул интерполирования. Дадим теперь операторные выводы иитерполяциониых Формул. 146 твогня интвгполнговання и нвкотогыв вв пгиложвния (гл. 2 Рассмотрим линейное множество й всех действительных функций, заланных на всей действительной прямой.
Поставим в соответствие произвольной функции г (х)~Й функцию у (х +- й) — у (х), тле й — фиксированное лействительное число. Эта функция также принадлежит В. Следовательно, в соответствии с определением, данным во Ввелении, мы ввели некоторый оператор. Обозначим его через Ь. Итак, Ь(г (х)1= г (х+-й) — г (х). В дальнейшем мы часто будем опускать скобки, выделяющие аргументы операторов. Нами будут также использованы операторы 7 и о, которые вводятся следующим образом: рг (х) = г (х) — г'(х — Ф), (9) Оператор А, определенный на линейном множестве В, называется аддитивнмм, если для проиавольных хай и уЕВ и любых лействительных чисел с, и с, имеет место равенство А(с,х+-с,у) = с,лх+-сзАу.
Нетрулно проверить, что введенные нами операторы Ь, 7 и Ь являются алдитивными. Введем понятие суммы и произведения операторов. Оператор С называется суммой олераглоров А и В, если все зти операторы опрелелены на одном и том же линейном множестве ге и для любого х~ В имеет место равенство Сх = Ах +- Вх. (11) Эту связь операторов А, В и С мы будем обозначать так: С= А+В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
