Том 1 (1160083), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Лля предыдущего примера эти строки будут таковы: В ! ( 125 18 8 125 60 18 В некоторых интерполяционных формулах используют наряду с теми значениями Л и разностей, которые у нас имеются, еще сред- Практические вычисления требуют наличия контролирующих операций на всех этапах работы. Это застрахует от грубых просчетов или по крайней мере сведет их к минимуму. Такие контролирующие операции чрезвычайно просто получаются при составлении таблицы разностей. Очевидно, 115 6 6( еоемелы ньютона для елвных пеомвжетков ние арнфметическне: у.
+ус 2 уз+уз 2 =У;.л У'л+ Ль 2 у'л+ у.а у) „, + у;~,л 2 (З) л+ у;',1 3 а уз+уз — =У.', 2 б+у' — у'3 2 'й' (а с+'д ревус ь, рау раау (4) Разберем теперь некоторые свойства конечных разностей. Прежде всего найдем выражение разности любого порядка непосредственно через значения функции. Будем иметь; г1 у у 1а,= г", „—,У,' ч = У,~, — 2г',+ г",, Уз~,з = Уз, — Уса = Л а — ЗУсе, +. ЗЛ вЂ” А е Покажем„что общее выражение для у" будет: уа =у. „— 'А + Саву в ° . +( — 1) СьЛ „„+ ..
+-( — 1) У, „„. (6) 1(ля (а= 1, 2, 3 эта формула верна, что видно из предыдущих выражений. Предположим, что она верна для всех й (1, и докажем, что тогда она справедлива и для (а=1+1. Разность порядка 1-)-1 У~+' будет равна "с ыь 1-т '" с+т+Па ' с-т+Па+ и ~-'лч-па «-'нч-Па ~ 1-'пч-Па+ ' г- ьэьа +( — «-СГУ,,з „„,-(- ... +( — 1)'.У, ч и,». В тех случаях, когда для обозначения разностей употребляют значок о, для средних арифметических используют значок (сй. Так, последний столбец в этих обозначениях будет выглядеть следующим образом: 116 твогия интвгполивования и нвкотогыв вв пеиложвния (гл.
2 Но сьт ст '11 + 11 + ' т1 (1 — т)! (т+ 1)! (! — т — 1)1 (1+ 1)! — =с„ (т+ !)1 (1 — т)1 Следовательно, ,1 ть=; -С)+, ь =зь+!)+ге '+А-ь-Н)ьь))ь+ т+!)+ька ( ) А — О+1)12 что и требовалось доказать. Из полученной формулы, в силу линейной зависимости Г," от у,, выводим: Следствие !. Конечные разности г~ суммы или разности функций 1=о г й равнь! сумме или разности конечных разностей функций и и ц: С л е д с т в и е 2. При умножении функции на постоянный л)ножитель конечные разности умножаются на тот же множитель.
Установим еще связь между конечными разностями и разделенными разностями для тово случая, когда хь — х,, постоянна. Будем иметь: 1 1(хг; хг,) = ~+1 Уь У, хчяь — х, П У(хген х,,ь) — У(хг, лье!) 1;, — У,„..~. У,,ь Вообше, У ал Г"(Хг; Хгз,) ..., Хььз) = (6) Доказзтельство опять будем вести методом индукции.
Предполагая формулу справедливой для й ~~1, докажем ее справедливость для я =1+ 1. Действительно, ) у(хь+6 ' хь+)+ь) — Х(хч ...; х, !) 1'(хб хьчб ...; хьь)+ь) х,я)яь — х, г! ь) ь)+1 г+ь+))з ь +Н з +а„ца (1+1) а да' 4+ П)а'" ' 9 61 ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА ДЛЯ РАВНЫХ ПРОМЕЖУТКОВ 117 Как следствие этой формулы и результатов, полученных ранее для разделенных разностей, получаем; Следствие 3. Конечные разности п-го порядка от много- члена степени и постоянны, а конечные разности (и+ 1)-го порядка равны нулю.
Последнее свойство позволяет дать простой способ составления таблиц многочленов. Непосредственно вычисляем значения много- члена для п+ 1 значений аргумента. По этим данным составляем таблицу разностей. В нее войдут разности до п-го порядка. Далее, заполняем столбец разностей п-го порядка. пользуясь тем, что они постоянны, затем заполняем столбец разностей (и — 1)-го порядка. Для их получения складываем соответствуюшие разности (и — 1)-го порядка с разностями и-го порядка.
Затем последовательно заполняем столбец разностей (и — 2)-го порядка, (п — 3)-го порядка н так далее, пока не получим столбец /(х;). Так, например, полученная нами таблица функции у=х' будет продолжаться следуюшим образом: уч уг х 7 71 12 19 18 37 61 30 125 91 36 216 127 169 512 При практическом применении этого приема с целью исключения грубых просчетов целесообразно время от времени производить вычисления многочленов непосредственно.
Это обеспечит и от накопления ошибок округления, если мы ведем вычисления не точно. а с каким-то заданным количеством десятичных знаков. Интересно проследить распространение ошибки, сделанной при вычислении )'(х) на конечные разности различных порядков. В приведенной ниже таблице это указано в предположении, что ошибка величины г сделана при вычислении 1,. 1 18 теоРиЯ интеРпОлиРОВАниЯ и некОтОРые ее пРиложениЯ [Гл. 2 Уг~ а! 1 Ха-3 !1-3 1 У! ;, УГ аи + ° 1 У! ... , — 41 1+ а Хг 11 — За 3 -Ьа + а Уг~+ ба 73+ а Уг,я+ З вЂ” а 3 1 1 У,+а,а 43 3 41+3 ХГ+1 а!43 3 Уз+ А 1 1 1+а! Таким образом, ошибка с коэффициентами Сям распространится на разности порядка !3.
При этом максимальные по модулю ошибки будуг иметь разности, ближайшие к строке, в которой находится (ь Эгот результат можно так же получить из формулы. связывающей конечные разности непосредственно со значениями функции. 2. Вывод ннтерполяционных формул Ньютона. Перейлем теперь к выводу интерполяционных формул Ньютона, Для этого рассмотрим формулу Ньютона для неравных промежутков, взяв в ней в качестве узлов интерполирования хз, х,, ..., х„точки х„, ха+ Ь, ...
., х,+ пй. При этом, заменяя разделе!ные разности их выражениями через конечные разности, получим: (х — хэ) (х — х!) (х — хэ) .3 + 31 И' уаа -+ (х — хо) (х — х!) (х хн — 1) а. + ! 'Ли гя13' ( 9 6) ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА ДЛЯ РАВНЫХ ПРОМЕЖУТКОВ 119 Обозначим „ в =г, тогда наша формула примет вид 21 44 31 4 А+ г )г — 1), г (г — 1) (г — 2) а г (г — 1)... )г — (и — !)) п) 41п' Полученную формулу называют иктерполяпиоккой формулой Ньютока для интерполирования вперед. Использованные в ней разности Расположены по диагонали вниз, начинаЯ с 7в! х У У1 у ! ХО У', 'ь х, у1А уа ! У4Ь Х4 Хь 1 У4Г Приведем пример на вычисление по интерполяционной формуле Ньютона для интерполирования вперед.
Пусть нам даны з)пб', а)п 7", 11п 9, ьйп 11', з)п 13', з)п 16" и требуется найти з)п6'. Таблица разностей будег выглядеть так: мп х 34713 7" 34375 34142 33868 15' 0,087156 0,121869 0,156434 0.190809 0,224951 0,258819 — 148 — 190 — 233 — 274 120 твогия интегполиговлния и нвкотогыв вв пгиложвния [гл. 2 При написании разностей ради сокращения мы вносили в таблицу лишь значащие цифры; такой способ записи таблиц конечных разностей является общепринятым. Изучая таблицу, обнаруживаем, что третьи разности почти постоянны, а разности четвертого и следующих порядков меняются неправильно.
Это в значительной мере объясняется тем, что мы использовали приближенные значения гйпх. Ошибка каждого из них может достигать пяти единиц седьмого десятичного знака. Следовательно, абсолютная погрешность первых разностей может достигать единицы шестого знака, вторых — двух единиц шестого знака, третьих — четырех, а четвертых — восьми. Погрешность в четвертых разностях может превышать их величину. Поэтому в дальнейших вычислениях мы будем использовать только третьи разности. За хо возьмем одно из ближайших значений к х= 6', а именно возьмем х,=5'.
Тогда г= х' =0, н вычисления примут сле- И дующий вид: Уо=з1п5' 0,087156, 15л = 0,5 0,0347! 3 =- 0,0073565, У', = — 0,000148 = 0,0000185, У' л = — — 6 - 0,000042 = — 0,0000026, Е; (6') = О,! 04528," Точное значение сйп 6' с шестью верными десятичными знакамн равно 0,104528. Таким образом, все знаки получились верными. В процессе вычислений мы сохраняли седьмой десятичный знак. В окспшательном ответе мы его округлили.
Выведем еще одну интерполяционную формулу Ньютона. Опять будем использовать интерполяционную формулу Ньютона для неравных промежутков, но теперь за узлы х,, х,, ..., х„возьмем точки х,, х,— 7о, ..., хо — пЛ. При этом получим: 7-„(х) = Х(хо) [- (х — хо)7(хо; х, — й) [- .+ (х — х,) (х — хо + Ы 7 (хо' хо — й; хо — 2(г) [- ... -[-(х — хо)(х — хо+А) .
[х — х -[-(л — 1)й[~ ХУ(хо; х,— й; ...; х, — пй1. Но в силу симметрии разделенных разностей относительно своих 9 6[ еоомвлы ньютона для ьавных пвомвжвтков 121 аргументов будем иметь: У(хо: хо — й' ' хо — И)= =У(хо !и' хо — И+и; ...; хо — й; хо), Снова заменим разделенные разности конечными У(хо !!! хо 1!!+ " ° хо) = ! -Ч! о = „! ° Отсюда ! х)=г' -+ 'у' -[- ') '+ ) у" + -о(х = о л *н 2!л! — 1 (х — хо) (х — хо+ а) ... [х — хо+ (и — 1) Л[ + и! Ло (9) х — хо Заменяя, как и прежде, „на г, получим; 1о(хо +ей) =Уо+(У' н+ 2! У !+ ! (!+1) .+ г (!+1) ''' [г+ ( 1) [ .
(10) п) — о~о ' Это есть интерполяйионная формула Ньютона для интерполирования назад. В ней используются разности, идушие по диагонали вверх, как это показано в таблице: У-в У' !н о У Ч !о Приведем вычислительный пример на использование формулы Ньютона для интерполирования назад. По тем же данным, что и в предыдущем примере, найдем ып!4'. За хо в этом случае 122 теояия интвгполиговлния и нвкотояыв ее пяиложвния [гл. 2 14о 15а возьмем 15'. Тогда Г = †, = — — и вычисления дадут: 2о Г~ = гйп 15' 0,258819, ГУ"1 ч = — — 0,033868 = — 0,016934, 1 -Ч 2 (з д — — — 0.000274 = 0,00003425, Уч ч — — — .
0,00004! = 0,0000025„ (.в(И ) = 0.241922. 3. Остаточные члены интерполяционных формул Ньютона. Сейчас мы перейдем к исследованию остаточных членов интерполяционных формул Ньютона для интерполирования вперед и назад. Для первой формулы получим: уел-~-Н( ) )с = — (х — хв)(х — хз — Ь)... (х — х — л))) о (л+1)1 ( ) Г(à — 1)(à — 2)... (à — л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
