Том 1 (1160083), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Таким образом, 1 Хо ... Хо 7 (Хо) 1 х, ... х" ,' У(х,) 1 х„... х'„' ' У(х„) (7) 7(хо; х,; ...; х„)= 0 — 3 О ХО ''' ХО Хо 1 х ... х" х" ! ''' 1 1 Из этого выражения нетрудно получить все те свойства разделен- нык разностей, о которых говорилось ранее. 3. Остаточный член формулы Ньютона. Остаточный член фор. мулы Ньютона точно такой же, как и у формулы Лагранжа. Но его можно записать и в другой форме.
Для этого рассмотрим у (х) (х — хо) (х — хг) ... (х — х„) + + у (хо) + (хо — х) (х — хг) ... (х — хо) + у(хе) (8 (х„— х) (х„— хо) ... (х„— хи г) ' Отсюда (х) = — х +- ° ° ° (х — хг) (х — хо) ... (х — х„) 7( 0) (хо — х,) (хо — хо) ... (хо — х„) ... +7(х) ' + (х — хо) (х — х,)... (х — х„,) " (х„— хо)(х„— хт) ...
(х„— х„г) -! — (х — хо)(х — х,) ... (х — х„)/(х; х,; х,; ...; хи). (9) Итак, Г(х) = 7.„ (х) + (х — х,)(х — х,) ... (х — х„)7(х; х,; х,; ...; х„), (10) Таким образом, 77„(х) =7(х) — 7.0(х) = =(х — хо)(х — хг) (х — х„)7(х; хо; х,; ...; х„). (1!) В частности, если /(х) имеет производную порядка в+1, то получим: ~ ю<-ц (0) 7(х; хо;х,;...; х„)= (! 2) 110 таогия интвгполиговлния и нвкотогыя вя пяиложвния (гл. 2 Здесь с — некоторая точка, принадлежащая наименьшему промежутку, солержащему все точки хо. х,...., х„, х. Разделенная разность /(х! хо; ...; Х,,), входящая в выражение остаточного члена, может быть найдена только в том случае, котла нам известно /(х).
Но тогда нет большого смысла использовать интерполяционную формулу Ньютона. Однако в некоторых случаях последнюю форму остаточного члена можно использовать для фактической оценки погрешности, даваемой интерполяционной формулой Ньютона. Пусть нам известно из каких-то дополнительных соображений, что разделенные разности порядков п.+1 и и+2 сохраняют постоянные знаки на рассматриваемом отрезке.
Тогда используем равенства /(х) =",~, (х — хо) ... (х — хг,)/(хо; х,; ...; Хг) + г-о 4 — (х — хо) (х — х,)... (х — х„)/(х; хо; х,; ...; х„), /(х) =,~~ (х — хо) ... (х — хг,)/(хо; х,; ...; х;) + г=о +(х — х,) (х — х,) ... (х — х„.„)/(х; хо; х,; ...; х„,). Для данного х всегда можно подобрать х„, так, что /с„н йоо, булут иметь различные знаки.
Если /(х; хо; х,; ...; х„) и /(х! хо х,; ...; х„„)'имеют одинаковые знаки, то берем х„., -х; если они имеют разные знаки, то берем х„о,( х. Но тогла, если взять вместо /(х) значения интерполяционных многочленов с и-1-1 и и+2 членами, то получим в одном случае значение, большее /(х), в лругом — меньшее. Следовательно, абсолютная величина ошибки, которая получается в результате использования первой формулы, не может превышать абсолютной величины (х хо) (х х|) ° (х хк) / (хо х~ хо ° хо~ 1) и имеет такой же знак, как и эта величина.
В этом случае, если /(хо,) известно, мы можем фактически оценить Й„. Рассмотрим еще один случай. Пусть на отрезке (а, б), где берутся х и узлы интерполирования, функция /(х) имеет производную /шч ю (х), сохраняющую свой знак. Покажем, что в этом случае /(х; хо; ...; х„) — монотонная функция х на (а, Ь). Для этого образуем г— /(х; хо; ..; х„) — /(х; хо; ...; хо) х — х тле х и с — некоторые точки отрезка (а, Ь).
В силу симметрии разлеленных разностей относительно своик аргументов будем иметь: /(х; хо;,. Л х„) — /(хо; хб..., 'х„; х) г= х — х еогмглл ньютона для наглвных пгомажгтков 11! 6 5! а это есть не что иное, как разделенная разность 1(х; х; ха;...; х„) порядка и+2 функции 1(х). Но из равенства (12) получим: 1!н а! (е) я= 1(х; х; хв; ...; х ) = —,' (и+ 2)! Следовательно, г сохраняет свой знак на (а, д!.
Если 1ш '! (х) > О, то при любых х~(а, Ь! и х~(а, О! (х > х) будем иметь: 1(х; хв; х,; ..., х„) >1(х; х„; ...; х„). При 1ш а!(х)(0 и любых х~(а, Ь), х~(а, Ь! будем иметь: 1(х; хв; х,; ...; х„) (у'(х; хе; х,; ...; х„). В этих случаях 77 может быть оценено, если нам известны 1(а) и 1(б). Как мы видели, для многочленов разделенные разности, начиная с некоторого порядка, обращаются в нуль. Для функций, не являющихся многочленами, этого не будет. Позже мы покажем, что для так называемых целых функций разделенные разности стремятся к нулю. Но эта картина будет нарушаться благодаря тому, что сами исходные данные обычно бывают приближенными, а в процессе вышшления разделенных разностей мы вынуждены делать округления.
Чаше всего наблюдается такая картина; сначала разделенные разности убывают с повышением порядка, а затем ведут себя неправильно и снова растут, Так, например, выглядит таблица разделенн!як разностей для функции 1(х) =з!их: х,) мпх, ! 1 (хб ха+6 хг+и х~+а)! 1(х~, 'хг+,) 1(хх', хгч 6 хг~е) 0' ! !3 0,2250 — 0,0000008 24' 0,4067 0,6018 — О,ООООООЗ вЂ” 0,0000006 54' 0,8090 — 0,0000005 — 0,0000002 67' 0,9205 79' 0,9816 90' 1,0000 0,01731 0,01652 0,0!50! 0,01219 0,00858 0,00509 0,00167 — 0,000033 — 0,000063 — 0,000094 — 0,000120 — 0,000140 — 0,000! 49 112 твогия интегполиговлния и нвкотогыв вв пгиложвния 1гл. 2 Равности четвертого порядка будут вести себя неправильно, разности пятого и более высоких порядков снова начнут возрастать.
Ясно, что нет большого смысла использовать их в вычислениях, так как они сильно искажены различными погрешностями. Узлы интерполяции, лежащие ближе всего к интерполируемому значению х, окажут большее влияние на интерполяционный много- член, лежащие палыче — меньшее. 11оэтому целесообразно за х„и х, взять ближайшие к х узлы интерполирования и произвести сначала линейную интерполяцию по этим узлам, Затем постепенно привлекать следующие узлы так, чтобы они возможно симметричнее располагались относительно х. Полученные при этом поправки будут обычно незначительны.
Чтобы проиллюстрировать это, дадим здесь результаты вычислений по приведенной ниже таблице. При помощи интерполяционной формулы Ньютона были вычислены значения з1п х для углов 5", 10', ... В первом столбце даны аргументы, во втором — результаты линейной интерполяции, в третьем — поправки за счет вторых и третьих разностей, в четвертом — окончательные результаты интерполяции и в пятом — точные значения з1пх с четырьмя десятичными знаками: 9 6. Интерполяционные формулы Ньютона лля равных промежутков Естественно ожидать, что если промежутки между последовательными узлами интерполирования равны, т. е. х; — х;, — постоянная величина, то предылущая формула упростится. Так оно и есть на самом леле.
Прежде чем перехолить к выводу формул, для этого случая ввелем понятие о конечных разностях. 5" 10О 1бо 20о 25о 30о 35Я 40О ,15о 50О 55 о 60о 65о 70о 75 а 80* 85а 0,08655 0,17310 0,25804 0,34064 0,42171 0,49576 0,57181 0,63837 0,69932 0,76027 0,81758 0,86048 0,90338 0,93577 0,96122 0,98327 0,99162 0,00072 0,00066 0,00081 0,00137 0,00088 0,00323 0,00178 0,00487 0,00770 0,00572 0,00155 О,ОЮ54 0,00295 0,00386 0,00461 0,00152 0,00459 0,08727 О',0872 0,17376 0,1736 0,25885 0,2588 0,34201 0,3420 0,42259 0,4226 0,49999 0,5000 0,57359 0.5736 0,64274 0,6428 0,70702 0,7071 0,76599 0,7660 0,81913 0,8192 0,86602 0,8660 0,90633 0,9063 0,93963 0,9397 0,96583 0.9659 0,98479 0,9848 0.99621 0,9962 й б! ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА ДЛЯ РАВНЫХ ПРОМЕЖУТКОВ ))з Н Конечные разности и ик свойства.
Пусть для значений х: х„, ха+)г, ха+2)з, ..., ха+-пй (й — шаг таблицы), нам известны значения функции у'(х)! у,, у„у,, ..., у„. Назовем тогда разности У! Уо Уз У! ° Ув Ун-1 конечными разностями первого порядка. В литературе используются самые различные обозначения конечных разностей: УгР1 У! = ОУг! У!Ф! У! = ЧУзР! з1 У!Ф! У' = ОУ! '!»' Уз+! — У! =.!!+ч ° Мы будем пользоваться последним обозначением.
Нз разностей первого порядка можно образовать конечные разности второго порядка: з ! ! з а /А — у~в=уз! у~а — уд=уз ., у!з!Ф !гг — у!з1-н!з=.у!. ду! — ОУо = ц'Уо ОУз — ОУ! = !з У! ОУ!" ! ОУ! = О У! Чуз — Чу, = Чзу,, Чу,— Чу, = Ч'уз ., Чуге! — Чу! = Ч'у! „, ... ду ау1 — 0 у1 6у ! Оу"! Озуг, ° ° ау!з!.ь шз 3у!3! — шз зу! (2) хо х, уз ьь узз уз у! л Так, например, таблица конечных будет выглядеть следующим образом: разностей для функции хз Аналогично можно образовать разности третьего порядка, четвертого и так далее, Таблицу разностей обычно располагают следующим образом: 114 твоеия интвгполиговлния и нвкотовыв вв пгиложвния 1гл.
2 6 2 12 19 18 27 37 61 125 У' +-У' +- +-У' =У вЂ” У +-У вЂ” У + +У вЂ” У вЂ” =У вЂ” У у',+уз+- . -+у„',= т. е. сумма чисел з каждом столбце разностей ранна разносгни крайних чисел лредыдущезо слголйца. Поэтому целесообразно ввести в дополнение к таблице еще две строки: строку Е, равную сумме чисел. стоящих в столбце, и строку о, равную разности крайних чисел столбца, и использовать предыдущие рассуждения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
