Том 1 (1160083), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Безикович, Приближенные вычисления, изд, 6, Гостехиздат, 1949. 3. Х ау с хо л пер, Основы численного анализа, И?1, 1%6, 4. А. А. Марков, Исчисление вероятностей, Москва, 1924. 5. Н. И. Идель сон, Способ наименьших квадратов и теория математической обработки наблюдений, Геолезизлат, !947. 6. Б. М.
Щи голе в, Математическая обработка наблюдений, Физматгиз,!960. ГЛАВА 2 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В 1. Постановка задачи В вычислительной практике часто приходится иметь дело с функциями г'(х). заданными таблицами их значений для некоторого конечного множества значений хс у(хя), ((х,), У(хя) ° ° ' У(х ). В процессе яке решения задачи необходимо использовать значения у(х) для промежуточных значений аргумента.
В этом случзе строят функцию в(х), достаточно простую для вычислений, которая в заданных точках хы х,, ..., лв принимает значения Г'(хя), у(х,), ..., у (х„), а в остальных точках отрезка (а, Ь), принадлежашего области определения /(х). приближенно представляет функцию /(х) с той или иной степенью точности, и при решении задачи вместо функции Г(м) оперируют с функцией в(х), Задача построения такой функции в(х) называется задачей ин~ ерполирозапия.
Чаше всего интерполируюшую функцию у(х) отыскивают в виде алгебраического.многочлена. Такой способ приближении имеет в своей основе гипотезу, что на небольших отрезках изменения х функция 2(х) может быть достаточно хорошо приближена с помошью параболы некоторого порядка, аналитическим выражением которой и будет алгебраический многочлен. К интерполированию приходится иногда прибегать и в том случае, когда для функции Г (х) известно и аналитическое представление, с помошью которого можно вычислять ее значения для любого значения х из отрезка (а, Ь), в котором она определена, но вычисление каждого значения сопряжено с большим объемом вычислений.
Если в процессе решения задачи необходимо находить значения функции 2(х) для, очень большого количества значений аргумента, то прямой способ потребовал бы громадной вычислительной работы. В этом случае для уменьшения объема вычислений прибегают к интерполированию, т„е. вычисляют несколько значений г'(хг) (г'=-О, !, ..., и) и по ним строят простую интерполируюшую функцию у(х), с помошью которой и вычисляют приближенные значения Г'(х) в остальных точках.
78 тзогия интзгполиговлния и нвкотогыз вз пгиложзния (гч. 2 В настоящей главе и будут рассмотрены способы построения интерполврующих функций, приведены оценки точности приближения с их помощью, а также будут изложены некоторые приложения теории интерполирования. Прежде чем перейти к изложению этих вопросов, приведем более точную и общую постановку задачи интерполирования и некоторые необходимые понятия. 1. Линейные множества. Линейно независимые системы элементов. Множество М элементов х, у, г, ... называется линейным, если в нем определены операция сложения, обозначаемая знаком «+», и умножения на числа (действительные или комплексные), не выводящие за пределы М и удовлетворяющие следующим условиям: 1.
Сложение ассоциативно, т. е. (х-+у)+г=х+(у+я). 2. Существует нулевой элемент 0 такой, что х+0=0+х=х при любом х~ М, 3. 1(ля всякого х существует элемент, обозначаемый — х, такой, что х+( — х)= О. 4. Сложение коммутативно: х+у=у+х. 5. (а+р)х=их+-рх. 6. а(х+у) = их+ау.
7. а (рх) = (а'р) х. 8. 1 ° х= х. Здесь латинскими буквами обозначены элементы М, а греческими — числа. Из первых трех аксиом вытекает единственность нулевого элемента, единственность обратного элемента — х и правило, что если х+г у.+г илн г-+х=г+у, то х=у. Используя условия 5, 8 и 2, можно доказать, что ( — 1) х = — х и 0 ° х = 0 при любом х. Мы не будем это доказывать, предоставив возможность провести доказательства самому читателю, В качестве примера возьмем множество Л всех действительных функций, заданных на отрезке [а, й). Если сложение функций п умножеяие их на действительные, числа осуществлять обычным образом, как это делается в анализе, то гс будет линейным множеством.
В линейном множестве можно ввести понятие линейной зависимости и линейной независимости элементов. Совокупность элементов х,, х,, ..., х„линейного мновкества М называется линейно зависимой, если найдется такая система чисел с,, сь ..., сгп не равных одновременно нулю, что с1х1 + сзхз + ... + Свх» = О, Если таких чисел с; подобрать нельзя, то совокупность элементов хг назывзется линейно независимой. 2. Задача интерполирования. Выберем в пространстве гс действительных функций, определенных на )а, Ь), конечную или счетную совокупность (р,) его элементов, причем будем предполагать, что постАноакА зАдАчи любая конечная система этих элементов линейно независима.
Нз практике чаше всего в качестве (ьр;) берется последовательность степеней х: 1, х, х'. х', ...; последовательность тригонометрических функций: 1, з)пх, созх, ч)П2х, сов2х, ... или последовательность показательных функций: 1, е" т, еч,..., где (иг) — некоторая числовая последовательность. Возьмем первые и+1 элементов (р,) и образуем всевозможные линейные комбинации аоьро+а,ьр,-+ ... +а,ьр с действительными коэффициентами аь Каждая такая линейная комбинация принадлежит гс. Множество всех линейных комбинаций, очевидно. само является линейным, Его обозначим через )со.
Имея, гс и Й„, мы должны решить. каким образом произвольной функции из ь!( ставить в соответствие функцию из )2„. В разных случаях поступают по-разному. В теории интерполирования это делается так: выбирают некоторую конечную совокупность точек хо, х,, ..., х„, (х! Ф х) 1чь г), принадлежаших (а, (ьК и для какой-либо функции (~)с подбирают 1 ~)с так, чтобы в выбранных нами точках значения г' и ьр совпадали. Иными словами, находятся постоянные а; так, чтобы имели место равенства г(ху)=аоро(ху)+аьрь(х,)+ ...
+а„ьр„(х) (у=О, 1, 2, ..., гп), и в качестве функции р берут р(х) =лоро(х)+аьрь(х)+ ... +а„ьр„(х) с этими значениями аь Точки хЕ называют узлами интерполирования. Если У и оь дифференцируемые функции, то иногда, кроме того, требуют совпадения производных в точках х! или каких-либо других, При соответствуюших условиях можно требовать совпадения производных высших порядков. 3.
Построение интерполирующей функции. Займемся сначала простейшей задачей.,Для определения коэффициентов а! мы имеем систему лг+! уравнений с и+ 1 неизвестными. Матрица системы имеет вид то (.ьо) т' (-ьо) ° то (Ао) оо (х!) т! (х!) . ° . то (х!) 'РО(хыь) т! (хо!) 'рп (-ььп) Если мь! хотим, чтобы коэффициенты а; можно было подобрать для л!обой функции 7, то нужно потребовать, чтобы ранг этой матрицы 'был равен лг+1. В противном случае между значениями У(х)) 80 твогия интегполиговлния и некотогые ве пгиложения (гл. 2 должна была бы существовать определенная линейная зависимость. При этом и будет больше или равно т.
Далее, чтобы решение этой задачи было однозначным, надо потребовать, чтобы т=п. Итак, будем предполагать, что ш = п и определитель то(ха) т1(хо) " то(хо) то(х,) т,(х,) ... т„(х,) Ь= го(х„) т,(х„) ... т„(х„) где Ьг получается из Ь путем замены г-го столбца столбцом )(х). Итак, функции Р~)с будет соответствовать функция р~)с, имеющая вид р= — р,(х)+ — "р,(х)+ ... +--о р„(х). (2) Функцию р моокно записать в другой форме. Для этого разложим определитель Ьг по элементам (-го столбца. Получим: ~~у(ху) лгу э-и аг= Ь (3) Здесь Ь(г — соответствующие алгебраические дополнения. Подставляя эти выражения в ~р и собирая вместе члены с одинаковыми У(х~), будем иметь: р(х) =Х(хо) Фо(х)+У(х,) Ф, (х)-+ .
° +У(хя) Ф„(х), (4) Функции Ф,(х) являются линейными комбинациями функций ~рг(х), Они не зависят от функции р и целиком определяются функциямл рг (х) и узлами интерполирования, Заметим, что при любой функции г'(х), т. е. при любой системе значений 1(х ), должны выполняться равенства Р(х)) =У(хо) Фо(х))+У(х1) Ф, (х))+ ... +Р(х,) Ф„(х~) () =О, 1, 2...., л). (5) Отсюда следует, что функции Фг(х) удовлетворяют условиям: / О, если 1+А Ф;(х) = ~ 1, если (=,)1 (б) отличен от нуля.
Тогда при любых Р(х)) система будет иметь решение и притом единственное. Выражение для аг можно представлть в виде а1 (1) 81 5 1[ постАКОВНА ВАдАчи 4. Системы Чебышева. Проанализируем теперь вопрос о том, какие нужно наложить условия на [цц(х)[ для того, чтобы определитель Ь не обращался в нуль. Для целей интерполирования важно использовать одну и ту же систему функций [уь(х)[ при различных совокупностях точек х,, х,, х,. Поэтому будем отыскивать условия того, что Ь не обращается в нуль ни при какой системе чисел хь, х,, х,, ..., х„, хьчьх! (а~у), хе~ [а, Ь[.
Линейной независимости функций уже становится недостаточно, хотя это условие и является необходимым. Так, например, функции 1 и з!п х линейно независимы, но если взять ха= п — х,, то определитель ~! в!Вх,~ равен нулю. Если а равняется нулю для какой-то системы чисел х,, хп ..., х„, то это означает, что существуют такие постоянные с,, с,, ..., с„, не все равные нулю, для которых сеть(х)+ср,(х)+ ... -+с„о„(х) обращается в нуль в точках х,.
х,, ..., х„. Таким образом, нам надо наложить такие ограничения на [~г(х)[, при выполнении КбтО- рых мы моглн бы быть уверенными, что никакая линейная комбинация сьев(х) -+ сСВ, (х) -[- ... -+ с„~р„(х) не может иметь и.+1 различных корней на [а, д[. Системы функций, обладающие этим свойством. будем называть системами Чебышева. Наложим на функции рь(х), ср,(х), ~рг(х),..., ~р„(х) следуюгцие ограничения: 1) ьь(х) дифференцируемы до порядка и+1 на [а, д[ и 2) все вронскианы ть(х) тг(х) ...
Чл(х) ть (х) тг (л) ' ' ' ть (х) (й = О, 1, 2, ..., и) Ф [зь, т ° ° та[= т!р~!(х) т',"(х) ... т'„"(х) отличны от нуля на [а, д[. Докажем следующее обобщение теоремы Ролля: Теорема 1. Пусть У(х) есть и+1 раз дифференцируемая функция на [а, Ь[ и имеет на этом промежутке п+2 корней. Тогда на [а, д[ найдется такая. точка 1, что [д !ть ть ° -" т ° у[ )1' [ть. т ° ° .* т [ обращается в нуль в точке с. 82 твогия интвгполигования и нвкотогыв ев пгиложвния [гл. 2 Доказательство.
Наряду с Ь„о, Щ будем рассматривать , [~р(х)] (4= 0. 1, 2, ..., л), определяемые равенствами Даэо ['т! = )р[у то . ть т] %'[то ть та1 Здесь оо — произвольная й+1 раз дифференцируемая на [а, Ь] функция. Покажем, что можно найти такие функции Ьо(х), Ь,(х)„..., Ь„(х). что 4~ Да э о ]т! = и — ~а [оо! — Ьа (х) ~а [т!. и' ,— Еа!~1 — Ьа(х) Ц,.
[у] = (Р [то та о] [Р[то та о т[ (ро [то ° °" та-о] и (о [то " та-о т[л — оо [то "" та-о[ (Ро [то. ", та-о] — также линейный дифференциальный оператор порядка Й -+ 1 с коэффициентом при старшей производной, равным единице: и' и'х — Ьа[~~] — Ь„(х)Ел[у [=0 (У=О, 1, 2, ..., й — 1). Ьа(х) ьа ]т] Определим Ьа(х) так, чтобы — Еа [уа] — Ьа (х)! „1еа] = — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
