Том 1 (1160083), страница 14
Текст из файла (страница 14)
->-Л,„х', ')= ь„ ь,..... 1„, ьь 'Ю =Л,хд,нх(1)Хд(з) ... ХЧ~--+~.Хдь, Хд,)х(-;Уд,)) 1 'ььь ... ~~ ', д( ) + ... ( ~ ~И',. д(1)... ~ д( -н',1', д( ь)Х("' = ~ььь 1 1 ььь 1 ь ььь 1ььь ы ЬЬ-1 ььь = (),, + Лз + ... +- ) ) х, так как ~~~р дР> = 1 и .~, д(з)х(а)= х. 'к Отполз Л)+-~+ ... +> = К Будем теперь удовлетворять второму условию. Каждой разности х — (Л,х,ььь+).)х';з'+ ... +-Л х;~~)= =Л,(х — х(',)+Л,(х — х(,')-+ ... +) (х — х)™) будет соответствовать вероятность появления д(1) днз д(ьз) Таким образом, аз = ~иР„д(1) у(з) ...
д("') (Л, (х — х(1)) +-Лз(х — х(з)) -+ ... 1,1, ... + Л (х — х(()) )з= Лз,,~' д(!)д(з) ... д~() (х — х(")з 4- ~~Р д(1) у)1) д(ььь) (х х(з))з ( ... Л ь' д)1) д(1) 1'1" "' )ьз ььь ... д(ьз)(х — х('))1+2Л)Ц ~~'., д(1>д(зь ... 1,1,... ь ... д(ьи)(Х вЂ” Х('))(Х вЂ” Х(1')+ ... Но ) з') ~ ~д(1) д(з) ... д('") (х — х(")) (х — х(п1 = )а 1) ) = лал) ~х~~~ ьу("о (х — х(")) ~~~ д(1> (х — х())) И ~~~~ д(у)) = О, 'а 'З 1 '1 '),ФК),, ! 1 так как д(1') (х — х)' ) = х —,тз д(з)х(а) = О, уг = К 2...,, !и, 1, ьа 'а ; 'а 'в а дейстВия с пгивлиженв>ь>ми ВеличинАми [гл.
1 70 Далее, Лв Э' 7>в>в)>»> ... в)(т>(х — х>к>)'= » т» >, „° ° °, т >)— в в ." ° в» л„ = Лк,т д> (х — х(к')а = Лвкак = —" ° 'к 'к Рк оа = — = >( — в+ — я Р Таким образом, чтобы удовлетворить второму требованию, мы должны >юдобрать Лк так, чтобы выполнялось условие (3) и обращалось в минимум выражение л ля — + — + .+ —.
Р Рв Рт Зго — задача на условный экстремум. Пользуясь методом неопределенных множителей Лагранжа, будем разыскивать безусловный экстремум функции лв у'(Ло Л,, ..., Л ) = — + — + ... + — — а(Л, +Л»+ ... +Л ), Рв Р Рт где а — некоторая постоянная. Приравнивая нулю частные производные по Лк, получим: др»лк — = — — а= О. дл>, р» Отсюда >,, >. л л+л+...+х 1 Р> Рт Рт Р»+Рз+ ° ° +Рт Рв+Р»+ ° ° ° +Рв» к— Таким образом р,хо> + ртх>в> + .. ° + Р Р>+Р + +Рт Бес этого результата будет равен л' » =Р>+Р»+ ° ° ° +Рв». +— Рв» Лв Лв 'я — + — + Рв Р» где ак — среднеквадратичная погрешность и р„— вес >г-го измерения. Следовательно, % б1 71 сведнеквлдглтичные поггвшности Итак, постоянные Х„найдены.
Выражение 151 можно получить, если отыскивать значение 1, даюшее минимум функции ~(11=1» ( '"' — 1)'. я Г!оэтому и говорят, что х' находится по хШ, хп1, ..., хню нето- долг наггленьтих квадратов. Чтобы вычислить среднеквадратичную погрешность величины х', нам нужно еше найти К. Лля этого образуем случайную величину ргх1п+ р х1п+ ... +р х1"в рг+ Ря+ ° ° ° + рм и вычислим огп,ум о) >~Яр (х1л> 1 )а~ Заметим, что внутреннее суммирование идет по индексу А. Используем следуюшие очевидные равенства: ~ар" ( ~а ) (~ьн "' )~р ' ~л~~р"( 1 ~'"" ' ) л л. л Сначала преобразуем внутреннюю сумму.
Ради краткости записи, мы опускаем индексы у 1ПО; . Будем иметь: агарь(х1г — Е)'= карл(х1~ ~ — Е)(х1„~ — х — 1+х)= =,~~~ ре (х~ — Я) (х,"' — х) — 1Š— х) Ура (х~м — 1) = а л = ~ч'.,рл(х1 ~ — х — '. +х)(х1"~ — х) = = ч'„ра (х~, ' — х)' — (1 — х) ~', рл (х1л1 — х) = 'ь = ~ ре(х',~' — х) — (Š— х) ~~'„ры а л Следовательно, У 71на(а)д1Ю ГчР~р (х1Ю вЂ” «)Я1= ~~в а 'а Ч~ ггу) ~ ~у~ > („~~р, (хйп — х) )— Г П ...
Г„, ' ' ~вг 1 а ' ГЛ вЂ”..Х ~;,'..~;„~~~--~ Х.,,~, ге г " 3В л 72 (гл. 1 ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ Но »Р»Е... »!;;,' ( ~ ».1~ — Г ]- гл»... » "'~ й = ~2 р„] )' »7~22)»7~21... »7(,"'1(х»21 — х)2~= «~р, — =- т(2' й (ба." ' ,7Н)((21,~(тн] (1 х)2 у р йа ~ »и» »»»»" »т й = ~) р„~>~ 2)йн»7<21.-.. 7(РН(с — х)' = ~~» р„—., =- К. 1А" »Ст й Таким образом, Х )("'7(»" Ф"'] Хрй (х(й) — ()2] = тК вЂ” К =- (т — 1) К. Н»;... »т 3 Отсюда можно найти К, если мы знаем все возможные результаты измерения н вероятности их появления. Практически это обычно бывает неизвестно.
Тогда в качестве приближенного значения для К берут ~~~ рй (ха' — х")2 К— т — 1 Прн этом ~э~ р„(хт> х )2 2 0 (т — 1) ~'.2 рй й Если веса измерений будут одинаковы, как, например, при измерениях одним инструментом в примерно одинаковых условиях, то последняя формула примет вид ~~~', (хии — Х')2 62 й т (т — 1) В качестве х* в данном случае нужно взять х"'+ х'2'+...+ хьт х'= т 4. Среднеквадратичная погрешность функции. Проследим теперь, как преобразуются среднеквадратичные погрешности при производстве математических операций. Величины, над которыми производятся операции, будем предполагать независимыми в том смысле, как это указыеалось ранее.
74 действия с ИРЙБлиженными ВеличинАми (гл. ! будет равна \ Рассмотрим теперь функцию в=У(х, у), причем о 7(х, у) будем делать те же предположения, что и при изучении абсолютной и относительной погрешности. Тогда а-„=7"(х, У) — 7(х*, У*)=У' (6, а))а +У„'((, а))аь.„. В силу малости погрешностей можно положить а = у' (х', у") а . + у, (х'. у*) а,. Мы получили линейную функцию. Воспользовавшись предыдущим, получаем: аа, = р' [у (х', у')] а~я,+[у„'(х*, у')]' ° а".. Аналогично для функции у=у(хь х,, ..., х„) будем иметь: Применим эту формулу к произведению л величин Обозначим ах ех ) х,' н будем называть это отношение оглносишельной среднеквадратичной логреиьнослгью.
Тогда последняя формула примет вид В частности, если ах, = а, = ... = ях = ях, то 5. Среднеквадратичная погрешность равномерно распределенной величины. Пусть известно, что приближенная величина х' имеет предельную абсолютную погрешность Ах. При этом, вообше говоря, % 6! сгедиеквлдглтичныв поггешности ошибка может принимать любое значение между — А н + А .. Мы будем считать все эти значения одинаково возможными. Чтобы сделать множество возможных значений конечным, будем сначала предполагать, что ошибка может с одинаковой вероятностью принимать значения — по, — (и — 1) о, ..., — б, О, о, 2В, ..., (п — 1) о, по, ~х' где 6= — * .
Тогда среднеквадратичная погрешность будет равна л 2 (1Я ~ 2Я ( ... Ч пв) ах* = о 2и+ 1 Но л (и + 1) (2л + 1) ~ йз= б в 1 и, следовательно, / ./ .'. зз„(„л 1), /А",(лЧ- 1) а = рг Чтобы точнее отобразить наше предположение о том, что ошибка может принимать произвольное значение между — Ах и Ах, мы должны увеличивать и. В пределе получим: Ах~ а *= —. 1/з Как следует из результатов предыдущего пункта. среднеквадратичная погрешность суммы п слагаемых.
обладающих предельной абсолютной погрешностью А, будет равна Иногда уславливаются при сложении и приближенных чисел (и) 3) с близкими среднеквадратичными погрешностями считать предельную абсолютную погрешность суммы равной А'= За. Некоторым оправданием этого служит лемма 2 настоящего параграфа. Лля примера суммы 20 слагаемых, приведенного в предыдущем параграфе, мы будем иметь: А'= 390.
что довольно хорошо отражает реальное положение вещей, И в случае вычисления произвольной функции п переменных с достаточно большими основаниями можно заменять предельную абсолютную погрешность утроенной среднеквадратичной погрешностью. (гл. 1 действия с пеивлнженнымн величинами УПРАЖНЕНИЯ 1. Записать число е с тремя значащими верными цифрами и опрелелить предельную абсолютную и относительную ошибки числа. 2. Сторона квалрата приблизительно 1 лг. С какой точностью ее иапо измерить, чтобы погрешность площади была ие больше 1 слгэ? 3. Клина периметра правильного вписанного 96-угольника, которым пользовался Архимед при вычислении г.
выражается при г ! формулой р = %1~ 2 — У2+ ГГ2+ )гг2+ ?гЗ Если вычислять непосредственно по этой формуле, желая получить и с точностью до 0,001, то с какой точностью нужно производить вычисления полкоренных величин? 4. Корни уравнения хэ — 2х+!е2= 0 нужно получить с четырьмя верными знаками. С каким числом знаков надо взять свободный член уравнения? 5. При измерении ллины пролета строящегося моста на олпом берегу отложена базисная линия, равная ЮО ~0.0! м.
Измерены углы между базисом и направлением из концов его иа точку за рекой. Они оказались 90' г 1 и 60' х !ь. С какой точностью можно определить по этим данным длину моста? 6. В пятизначных логарифмических таблицах даны десятичные логарифмы чисел с точностью ло 0,6 11! '. Как велика может быть погрешность при нахожлении числа по логарифму, если число заключено между 300 и 400? 7. Тот же вопрос в применейии к таблице логарифмов синусов и логарифмов тавгеисов, если угол около 45'. хэ 8.
Если у(х) = 1 — —. то итерация а' у (хг)1 хгьт = хг ~!+в сходится к квадратному корню из а. Построить программу, основанную иа этой итерации, для машины с такими ланпыми, как было описано в 6 3 этой главы и проанализировать погрешности 9. По образцу з 5 провести анализ распрелеления погрешностей при возведении х в степень и, если х = 10. ЛИТЕРАТУРА 1. А. Н Крылов, Лекции о приближенных вычислениях, изл. 6, 1%4. 2. Я. С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
