Том 1 (1160083), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Таким образом, вместо хау мы получим х*е'у". Но хюу — х"ш*у* = (хюу — х" ыу) + (х'ву" — х*ш*у*). Первая скобка в правой части в этом случае даст неустранимую погрешность одного шага программы, а вторая — погрешность округления.
Таким образом, на одном шаге вычислительного процесса вычислительная погрешность будет складываться из неустранимой погрешности и погрешности округления. При составлении программы желательно процесс вести так, чтобы одни погрешности компенсировали другие. Правда, часто это связано с большими затратами труда и времени на составление программы, Однако некоторые программы используются очень часто и следует хотя бы один раз произвести для них полный анализ погрешностей. 9 51 пОнЯтие О стАтистических метОдАх Оценки пОГРешнОстей 59 ф 5. Понятие о статистических методах оценки погрешностей Пользуясь результатами предыдущих параграфов, мы можем получить оценку максимально возможных погрешностей.
Однако на практике они далеко не всегда достигаются. Приведем следующий пример, Было произведено 440 опытов. В каждом опыте складывались 20 логарифмов, взятых с пятью десятичными знаками. Затеи были найдены абсолютные погрешности каждого суммирования путем сложения тех же логарифмов с семью десятичными знаками. Прн этом оказалось, что эти погрешности распределены следующим образом: Погрешности в едини- цах седьмого знака Число случаев в % От 0 до 100,5 э 100,5 э 200,5 200,5 э 300,5 э 300,5 э 400,5 э 400,5 э 1000 65 28 6 1 0 Если оценивать результаты на основании предыдущих результатов, то мы могли бы сказать лишь, что предельная абсолютная погрешность не превышает 1000 единиц седьмого знака.
Для того чтобы было легче понять, в чем здесь дело, представим себе следующую условную картину. Складываются два числа, предельная абсолютная погрешность каждого из которых равна 5 каких-то единиц. Допустим, что абсолютная погрешность каждого из слагаемых может принимать только одно из следующих значений: О, + 1, + 2, 4 3, + 4, + 5. Предположим, кроме того, что появление каждого из этих значений одинаково вероятно, т.
е. ни одно из них не имеет преимуществ перед другими. Предельная абсолютная погрешность суммы двух таких чисел будет равна 10, а абсолютная погрешность ее может принимать одно из следующих значений: О, ~-1, 4 2, ЙЗ, Ч-4, +5, +6, +7, 4.8, 4.9, +1О, Абсолютная погрешность суммы, равная О, получится, когда погрешность первого слагаемого принимает одно нз написанных выше значений, а погрешность второго — равное по абсолютной величине, но противоположное по знаку значение. Всего таких комбинаций будет 11, Абсолютная погрешность суммы примет значение 1, когда погрешности первого и второго слагаемых примут следующие значения: — 4 и 5; — 3 и 4; — 2 и 3; ...; 5 и — 4.
Всего таких 60 [гл. 1 деЙстВия С пгивлиженными величинами комбинаций 10. Произведя такие подсчеты для всех возможных слу- чаев, получим следующую картину: 56789~10 Погрешность О 1 2 3 4 и 10 о 8 т комбинаций 6 5 4 3 2 1 Для отрицательных погрешностей картина будет симметрична. Мы видим, что число комбинаций, когда погрешность близка к максимальной, очень незначительно.
Это будет еще более заметно при сложении трех и большего числа слагаемых. При этом непосредственный подсчет числа комбинаций будет затруднительным, и мы произведем его обходным путем. Будем решать следующую задачу: рассматривается сумма у=х,+хе +... +х„, причем каждое слагаемое может независимо от других принимать все целочисленные значения от — т до — 'т. Сколько возможно различных комбинаций значений хо при которых сумма принимает данное значение (з? Лве комбинации значений х; считаются различными, если они отличаются хотя бы одним значением х. Рассмотрим одночлены г' т'", Т'и, ге ''' ч' Положим в обеих частях равенства П=Т,= ...
=-Т„=Т. Это даст ААТА=[г +Т ' "+ ... +Т '+1+1+ .. +1'") . Коэффициент АА и будет равен числу искомых комбинаций, так как он равен числу различных комбинаций аь при которых и!+Из+ ' ' +яи' Общее число всех возможных вообще комбинаций получится, если мы положим 1 = 1, т. е. оно равно В = (2т + 1)".
где Т; (1=1, 2, ..., В) — какие-то параметры и иг независимо друг от друга пробегают все целочисленные значения от — т до т. Сумма всех таких одночленов может быть записана в виде 9 5) понятие о стлтистичвских мвтодлх оценки поггашноствй 61 При больших значениях т и и это очень большое число. Поэтому удобно разыскивать не сами А„, а отношение Ая В / т Выражение ~ .~'„(з) можно записать в виде с ( ™" П вЂ” (з +')" ва -тч~) зттз+ ( — ) зтч-з+ ~~1+ 1+п(п+!) з+ 2! Таким образом, нам нужно подсчитывать коэффициенты произведения многочлена и бесконечного ряда. Так как и здесь будет наблюдаться симметрия, то фактически придется искать коэффициенты выражения зтч-з+ п (и — !) втьз 1) 1+ +п (и+!) з + 2! 2! до ( Пусть, например, складываются три слагаемых, погрешности которых могут принимать с одинаковой вероятностью любое целочисленное значение от — 5 до +5.
Предыдущее разложение в данном случае примет вид (! Пз)з (! ()з = (1 — ЗП'+ З(зз — (зз) Х Х~)+З(+6(в+10( + ... + (п+ )(п+ '("+ ...1= 2 1 + 31 + 6(з+ 10(з + 15(в + 21(в + 28(в + 36П -)- 45тз+ 55(в + + 66(зв+ 75(п + 82(зз+ 87(зз+ 90тзв+ 91Вв+ Число Число ПогРешности к мб„„., нн ! о Решности ком знаний ком низкий Таким образом, мы получаем таблицу: О ! 91 '~ 8 1 90 9 2 87 ' 10 3 ! 82 ~ !1 5 ~ бб ) 13 б 55 ~ 14 7 45 15 30 21 15 10 б 3 1 62 (гл. ! действия с пгивлижвнными ввличинлми а„= — / Р(е™) е-'"тг(е, 1 ь — 2„ / ибо Г'(Евт)Е тИ~=~~) ал / ЕГ(л-а)95(~, и-о у, ! ~ 2и при )р = О, егявпи( = ! О при целом р ~ О. Поэтому величина Р„, о которой говорилось выше, будет равна е-(тл+аьм (! е(от+5) )т)л (2т+ 1)" (1 — е"')" гд ~ (вт+Пгт (В +5)),~Л (2т+ 1)" (е ' — е в 1 1 Рв — —— 2л 2т+ 1 5!и т 5)п — т 1 /' е '"' 2л,/ (2т+!)" 2т+ 1 (е 5)и 1 1' соево ( 2 2л,/ (2т + 1)" 1 в!п — т 2 в 2т+! 1 5)П = — / соз)гу л ! 6('.о.
о (2т+ 1) в)и — т 2 Можно показать, что при больших значениях и последний интеграл будет приближенно равен 1 лг — сов (где о Погрешности, которым соответствует большое число комбинаций, будут чаще наблюдаться на практике. При больших значениях и даже последний способ подсчета числа комбинаций очень громоздок. Поэтому приходится прибегать к различным приближенным формулам. Рассмотрим здесь одну из ннх. Прежде всего заметим. что коэффициет аа при 1» ряда Р(г) по степеням г, сходящегося на границе единичного круга, может быть определен по формуле 9 5) понятие о стлтистических методлх оценки поггешностей 63 Вычисление последнего интеграла приводит к формуле ай 2у 1 т(т-)-!) н Отсюда отношение числа комбинаций, для которых погрешности заключены в пределах ( — »г, )г), к числу всевозможных комбинаций будет приближенно равно 1 уг 6 У,- -(-')..
2у"»» Г т(т+1)л й Обозначим Зт l 2л» (т-(- 1) л Тогда последнюю сумму можно рассматривать как интегральную длн 1- К йЬ '»т (т+И ч »т (т+1)Я е- ((г== / е-» ((г. ./ Тг йу ят (ч».1- 1) ч Погрешности в единицах седьмого знака Относительное число комбинаций в % 52,2 32,2 12,2 2,9 0,5 От 0 до 100,5 » 100,5» 200,5 » 200,5» 300,5 » 300,5» 400,5 » 400,5» 1000 Сравнение этой таблицы с таблицей, приведенной на стр. 59, показывает, что наши выводы близки к практическим результатам.
Таким образом, видна необходимость наряду с оценкой прелельных погрешностей находить возможности достижения отдельных погрешностей. Такой подход к оценкам погрешностей называют статистическим или веронтностныл(. Мы провели в этом паРаграфе вероятностную оценку погрешности для суммы и слагаемых. В более сложных случаях такая оценка потребует широкого привлечения теории вероятностей, а мы здесь не предполагаем Для последнего интеграла составлены таблицы, которыми и можно воспользоваться в практических расчетах.
Применим наши выводы к примеру, приведенному в начале параграфа, — сложению 20 логарифмов. При этом получим: 1гл. 1 двйствия с пгивлижвиными ввличинлми знакомства с этим разделом математики. Следует подчеркнуть еше, что хороший анализ погрешностей особенно важен для наиболее употребительных стандартных программ для электронных машин. ф 6. Среднеквадратичные погрешности 1.
Систематические и случайные ошибки. Мы начнем этот параграф с классификации ошибок, возникающих при измерении физических величин. Когда говорят об измерении некоторой физической величины, то неявно предполагают, что данная физическая величина имеет вполне определенное числовое значение. Это предположение должно быть выполнено во всех тех измерениях. о которых будет идти речь в настоящем параграфе. Опыт показывает, что в результате измерения мы получаем не точное значение измеряемой величины, а лишь приближенное, включающее некоторую ошибку, Появление ошибки может быть вызвано самыми различными причинами. Инструмент, с помощью которого производят измерения, может быть недостаточно аккуратно выполнен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
