Том 1 (1160083), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Известно, что на производство умножения и деления затрачивается больше времени, чем на сложение и вычитание. Следовательно, нужно стремиться составить алгоритм так, чтобы по возможности уменьшить число операций умножения и деления. Пусть, например, нам требуется подсчитать много раз значение многочлена: ль.+2 2ла+3 4ла+ 4 2х+ 5 4 Если действовать непосредственно, то придется каждый раз делать по шести умножений.

Однако этот многочлен можно записать в виде ~х (х+ 1,1) + 1,9405 — х) [х (х+ 1,1) + х+ 1,2495!+ 2,97534525. При таком представлении иам потребуется всего лишь два умножения: одно для получения х(х+1,1) и второе для получения произведения квадратных скобок. Конечно, нельзя всегда считать, что второе представление лучше первого, но этим примером мы показали. как своеобразно может оказаться представление задачи для вычислительных целей. Вопросы, связанные с выбором наиболее рационального алгоритма для решения вычислительной . задачи, сложны, и в настоящее время еще отсутствует общая теория, позволяющая указывать, как это делать. И в этом направлении могут помочь быстродействующие вычислительные машины.

При применении автоматических счетных машин возникает еще одна проблема. Часто в процессе вычислений приходится использовать те или иные трансцендентные функции. Вводить таблицы таких функций в машину неудобно, так как это сильно загромоздит ее запоминающее устройство. Поэтому сейчас особенно остро возникает необходимость получить достаточно хорошие представления наиболее часто встречаюгцихся трансцендентных функций рациональными функциями. При всякой вычислительной работе важно вести учет ошибок, возникающих в связи с производимыми округлениями и с приближенным характером применяемых методов.

Но понятно, что й 4~ мвтолы вычнсланнй как газдвл вычислитвльной математики 35 влияние этих факторов будет менее значительным при сравнительно небольшом объеме вычислительных работ при ручном счете и будет огромным прн грандиозном объеме вычислительных работ с использованием быстродействующих вычислительных машин. Легко себе представить, что после того, как будут произведены сотни миллионов операций, ошибки округления могут совершенно исказить истинную картину, если даже не учитывать другие источники ошибок.

Поэтому учет всевозможного рода ошибок становится сейчас совершенно необходимым и здесь предстоит еще большая работа. Говоря в предыдущем абзаце об ошибках, мы имели в зилу лишь естественные ошибки, возникающие вследствие округлений. приближенности методов, приближенности исходных данных н т. п. Мы не имели при этом в виду тех ошибок, которые могут произойти или вследствие невнимательности вычислителя, или неисправности машины. Однако и эти ошибки должны учитываться. Вычислитель, естественно, утомляется при длительной работе, а современная вычислительная машина содержит слишком много различных сложных устройств.

Ошибки такого рода мы будем называть ароенетими. Просчеты могут исказить результат в каком угодно направлении и в каких угодно границах в отличие от ошибок, о которых шла речь в предыдущем абааце, влияние которых скажется лишь в определенных пределах. Чтобы вовремя заметить произведенный просчет, необходимо всегда так планировать вычисления, чтобы обеспечить постоянный тщательный контроль. $ 4. Методы вычислений как раздел вычислительной математики. Краткое содержание курса В одной книге невозможно изложить илн хотя бы кратко затронуть весь круг вопросов современной вычислительной математики, поэтому мы ограничились кругом вопросов, относящихся к одному разделу вычислительной математики — методам вычислений.

Чтобы более ясно охарактеризовать вопросы, относящиеся к этому разделу вычислительной математики, рассмотрим процесс решения любой математической залачн, если ее решение необходимо ловестн до числового результата, используя наличные вычислительные средства. Этот процесс можно разбить на два крупных этапа. Первый этап — выбор численного метода решения задачи нли, как мы говорили ранее, замена задачи у=А(х), где х и у принадлежат к некоторым функциональным пространствам Й, н )х и А (х) — функция, определенная на гсп задачей у = А (х), более улобной для вычислительных целей, но решение которой в некотором смысле близко к решению исходной зздачи.

Второй этап — составление вычислительной схемы (при ручном счете) или 36 вввдзнив программы решения задачи у= А (х) (при машинном счете) н сам процесс счета, Для первого этапа необходимо наличие разработанных методов численного решения основных математических задач и должен быть известен сравнительный анализ различных методов решения одной и той же задачи с точки зрения их точности, границ применимости н целесообразности их реализации на тех или иных вычислительных машлнах.

Разработка н анализ этих методов и составляют предмет методов вычислений, а их описание н обоснование составляют содержание настоящей книги. В первой главе книги изложены основные правила действий с приближенными величинами и правила оценки их точности. В главах 2 — 5 изложены основные способы приближения функций (интерполирование, равномерное и среднеквадратичное приближение функций) и их приложения.

В главе 3 изложены численные методы дифференцирования н интегрирования. В главах 6 и 8 описаны численные методы решения основных задач линейной алгебры: решение систем линейных алгебраических уравнений, обращение матриц, вычисление собственных значений и собственных векторов матриц. В главе 7 изложены способы численного решения алгебраических уравнений высоких степеней и трансцендентных уравнений.

Наконец, главы 9 и 10 посвящены численным методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в часгных пронзводных н интегральных уравнений. Более подробное содержание книги видно нз ее оглавления. В том нлн ином объеме этн вопросы излагаются во многих книгах н монографиях, а также в обширной журнальной литературе. Первым в мировой литературе курсом методов вычислений явилась книга академика А, Н. Крылова «Лекции о приближенных вычислениях», изданная в 1911 г.

Этот курс не потерял своего значения и сейчас, но он естественно во многом устарел н не охвагывает многих важных в настоящее время вопросов. Элементарным курсом методов вычислений, рассчитанным на инженеров и техников, является книга Я. Безиковича «Приближенные вычисления», первое издание которой относится к 1924 г, Неоднократно переиздавалась монография Л. В. Канторовича и В. И, Крылова «Приближенные методы высшего анализа», в которой описаны приближенные методы решения задач математической физики. Из другнх, сравнительно давно изданных книг следует указать монографии В.

Л. Гончарова «Теория интерполирования и приближения функций», Н. П. Натансона «Конструктивная теория функций», русский перевод книги Скарборро «Численные методы математического анализа». В послевоенные годы издан ряд отечественных и переводных книг и монографий, относящихся к этой области: В. Н. Фаддеева «Вычислительные методы линейной алгебры», ~ 4~ метОды Вычислений клк владел ВычислительнОЙ мАтемАтики З7 Ш.

Е. Микеладзе «Численные методы математического анализа>, Милн «Численный анализ» и «Численное решение дифференциальных уравнений», Коллатц «Численные методы решения дифференциальных уравнений», Хаусхолдер «Основы численного анализа», В, С. Рябенький и А.

Ф. Филиппов «Об устойчивости разностных уравнений», В. И. Крылов «Приближенное вычисление интегралов», Д. К. Фаддеев и В. Н. Фаддеева «Вычислительные методы линейной алгебры», Э. Д. Бут «Численные методы», В. К. Саульев «Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток, Р, Д. Рихтмайер «Разностные методы решения краевых задач», К. Ланцош «Практические методы прикладного анализа», Б, П.

Де»мидович и И А. Марон «Основы вычислительной математики», Г. Н. Положий и др. «Математический практикум» н другие. Но ни одна из указанных выше книг не охватывает всех вопросов методов вычислений и не соответствует программе курса методов вычислений, читаемого студентам университетов, специализирующимся по вычислительной математике, и не может быть рекомендована в качестве основного учебного пособия по этому курсу. Данная книга представляет попытку создания учебного пособия, отвечающего действующим университетским программам курса методов вычислений, и, как уже указывалось в предисловии, в основу ее легли лекции, читанные авторами на протяжении ряда лет в Московском университете. Учитывая широкое использование цифровых вычислительных машин в практике расчетов в настоящее время, мы делали основной упор на численные методы решения задач и совсем мало касались аналитических методов приближенного решения математических задач.

Там, где возможно, мы старались дать достаточно строгое обоснование излагаемых методов и хотя бы на простых примерах привести их иллюстрацию. Вполне естественно мы не могли и не ставили своей целью изложить все существующие методы решения даже основных математических задач, но старались подробно изложить наиболее распространенные или с нашей точки зрения перспективные. Многие очень важные вопросы, особенно вопросы оценки точнос~и методов, мы не сиогли изложить в книге, так как они еще не нац»ли полного решения. ГЛАВА1 ДЕЙСТВИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ ф 1.

Классификация погрешностей 1. Источники погрешности результатов вычислений. Во введении мы уже говорили о том, насколько важно уметь оценивать точность полученного результата. Откуда же могут возникнуть ошибки? Таких причин много. Во-первых, исходные данные для вычислений часто получаются из эксперимента, а каждый эксперимент может дать результат с ограниченной точностью. Во-вторых. в процессе вычислений приходится использовать иррациональные величины, такие, например, как п. е, "у~2. Так как при вычислении на цифровых машинах мы можем использовать ограниченное количество разрядов, то эти числа также будут представлены лишь приближенно.

Характеристики

Список файлов книги