Том 1 (1160083), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Многочлены Лежандра (411). 3. Многочлены Чебышева первого и второго рода (416). 4. Многочлены Лагерра и Эрмита (419). $6. Сходимость рядов по ортогональным системам многочленов . 423 $7. Среднеквадратичные приближения функций тригонометрическими многочленами 433 8 Приближение функций, заданных таблицей, по методу наименьших квадратов 434 й 9. Приближения по методу наименьших квадратов алгебраическими многочленами 436 1. Система многочленов, ортогональных на множестве равноотстоящих точек (437). й 1О. Применение метода наименьших квадратов для сглаживания результатов наблюдения 444 й 11. Применение метода наименьших квадратов к построению эмпирических формул. Решение систем линейных алгебраических уравнений по методу наименьших квадратов .
„....... 446 з 12. Приближение функций, заданных таблицей, тригонометрическими многочленами по методу наименьших квадратов.... 451 $13. Схема Рунге вычисления коэффициентов аэ, аа, Ьл в случае Ж =4р Упражнения Литература ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга представляет собой обработанный н расширенный курс лекций, прочитанных для студентов Ш н !Ч курсов механико-математического факультета Московского государственного университета, специализирующихся по вычислительной математике.
Авторы ставили своей задачей изложить с возможной строгостью сложившиеся в настоящее время методы численного решения важнейших математических задач. Развитие вычислительной техники за последние годы наложило свой отпечаток на вычислительную математику. Анторы старались отразить это в своем курсе. Но тут встретилнсь большие трудности, вызванные двумя причинами. С одной стороны, требовалось дать не очень обширное систематическое изложение важнейших численных методов лицам, не знакомым со спецификой вычислительной работы.
С другой стороны, многие направления современной вычислительной математики еще не сложились окончательно. В последние годы в вычислительную математику все глубже и глубже проникают идеи функционального анализа. Благодаря этому лучше выясняется существо каждого отдельного метода, вскрывается глубокая связь между различными на первый взгляд методамн.
В настоящем курсе делается попытка использовать функциональноаналнтическую базу прн изложении каждого раздела. Так как знание функционального анализа не предполагается, то в курс введены посвященные ему параграфы. Этн параграфы вводятся в том месте, где возникает необходимость использовать соответствующий материал, Изучение вычислительной математики немыслимо без решения значительного количества задач. Было бы затруднительно в одной книге дать разбор большого количества примеров на различные случаи, с которыми вычислитель может встретиться на практике.
Поэтому здесь мы приводим лишь очень простые примеры, иллюстрирующие основной материал книги, В конце каждой главы приведены упражнения, решение которых должно способствовать лучшему усвоению излагаемого материала. Предполагается, что студенты параллельно со слушанием курса решают практические задачи под Руководством преподавателя, от которого получают необходимые указания по практике вычислений.
певднсловнв Необходимо указать, что никакой курс не может дать окончательных рецептов для решення всех конкретных задач вычнслительной математики. Вычнслнтельная работа, как и всякая научная работа, требует творческого подхода. Изложенный здесь матернал призван служить лишь подспорьем, позволяюшнм с большей скоростью н эффективностью находить пути для решения задач практики. Для более углубленного изучения отдельных разделов авторы отсылают к соответствующей литературе, указанной в конце каждой главы.
План кннгн н рукопись обсуждалнсь на кафедре вычислительной математнкн Московского университета. В процессе обсуждения было высказано много ценных замечаний н предложенвй. Авторы выражают глубокую благодарность участникам обсуждення: зав. кафедрой акад. С. Л. Соболеву, чл.-корр АН СССР, проф. Л. А. Люстерннку. профессорам А. А. Ляпунову н М. Р Шуре-Буре, доцентам А. Д. Горбунову, В, Г. Карманову, В. В. Русанову, Ю. А. Шрейдеру н ассистенту Н С. Бахвалову. Авторы выражают также глубокую благодарность чл.-корр.
АН СССР, проф. А. Н. Тихонову н доц. Б. М. Будаку за нх труд по рецензнрованию кннгн н за ряд пенных предложеннй н замечаний. Большой объем книги н широта охваченного матернала вызвали большне трудности прн ее написании. Конечно, этн трудностн не всегда удавалось преодолеть нанлучшнм образом. Чнтателн, вероятно. смогут высказать много замечаний н дать своп предложения по улучшенню книги.
Авторы просят присылать нм этн предложення и замечання н заранее благодарят за ннх чнтателей. Кннга разбнта на два тома; первый нз ннх содержит главы 1 — 5, второй — главы 6 — 10, что соответствует также разделению курса «Методов вычнсленнй» на первую н вторую частн, читаемые для студентов 3-го н 4-го годов обученна. О. С. Березин, Н. Л.
Жидков ВВЕДЕНИЕ ф 1. Предмет вычислительной математики Современная математика достигла больших успехов. Однако до последнего времени главные усилия математиков были направлены на создание строгой логической базы для выработанных ранее методов, расширение множества объектов, к которым эти методы применимы, изучение качественной природы математических объектов. Гораздо меньше внимания уделялось разработке методов доведения математических исследований до числового результата, а это зачастую является интересной, трудной и чрезвычайно важной для практики задачей.
В самых разнообразных областях современной науки и техники все чаше приходится встречаться с такими математическими задачами, для которых невозможно получить точного решения классическими методами или же решение может быть получено в таком сложном виде, который совершенно неприемлем для практического использования. Так, например, очень часто приходится встречаться с необходимостью решения систем линейных алгебраических уравнений с десятками и сотнями неизвестных„ с задачей отыскания корней алгебраических уравнений высоких степеней и корней трансцендентных уравнений, с, необходимостью решения систем дифференциальных уравнений, которые не интегрируются в элементапныт функциях, и т.
д, Количество задач такого рода особенно сильно возросло в последнее время в связи с бурным развитием науки и техники. От математиков потребовалось создание новых более мощных вычислительных методов, были поставлены новые вычислительные задачи, увеличился объем вычислений. С другой стороны, успехи науки и техники, в особенности физики и радиотехники, дали в руки математиков новые мощные вычислительные средства. В свою очередь новые вычислительные средства заставляют математиков пересмотРеть сушествуюшие методы с точки зрения рациональности их реализации на новых машинах, поставили перед математиками ряд новых своеобразных задач. По этим причинам в последнее время начала складываться область математики, которая призвана разрабатывать методы вввдвнив доведения до числового результата основных задач математического анализа, алгебры и геометрии и пути использования для этой цели современных вычислительных средств.
Эта область математики и получила название вычислительной лгателгатини. ф 2. Метод вычислительной математики Круг задач, с которыми приходится сталкиваться в вычислительной математике, очень широк. Разнообразны и методы, применяемые для решения этих задач. Однако можно заметить одну обшую идею этих методов. Эта идея отчетливее всего выражается в терминах функционального анализа, Поэтому мы введем предварительно некоторые важнейшие понятия функционального анализа, 1. Функциональные метрические пространства. Основным предметом исследования в классическом математическом анализе является числовая функция. С появлением понятия функции одной и нескольких переменных, функции точки в евклидовом пространстве начался современный этап развития математики. Начиная с работ Ньютона и Лейбница н до конца Х(Х века подавляющее большинство математических исследований так нлн иначе было связано с этим понятием, Главным предметом изучения были числовые функции н их системы, заданные в и-мерной области, т.
е. на некотором множестве п-мерного евклидова пространства. Двадцатый век внес много нового в эту картину, Особо вьжную роль начинает играть понятие о функциональном множестве, о функциональных ~ ространствах и о функциональных операторах, т, е, о функциях, аргументами которых также являются элементы функциональных пространств.
Вместо евклидовых пространств рассматриваются абстрактные пространства, элементы которых могут иметь самую различную природу. Так, например, вводится понятие метрического пространства 11 как абстрактного множества, для любых двух элементов х н у которого определено понятие расстояния р(х, у) удовлетворяющее следующим условиям: 1. р(х, у) .ьО, причем р(х, у) =0 тогда н только тогда, когда х совпадает с у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
