Том 1 (1160083), страница 8
Текст из файла (страница 8)
В-третьих, зо многих случаях существуюзчйч " ояь реиюння задач могут дать то~ный ответ лншь после бесконечного числа шагов. Так как практически это осуществить нельзя, то мы будем вынуждены остановиться на каком-то конечном шаге Рис. 18. и, следовательно, не достигнем точ- ного значения, например, при вычислении суммы ряда мы ограничиваемся суммой конечного числа первых членов. В-четвертых, уже при таких простейших операциях, как умножение и деление, у нас может сильно возраг л количество разрядов и результаты могут не помещаться в счетчиках или других устройствах машины. В этом случае мы будем вынуждены отбросить некоторое количество разрялов.
Наконец, исходные погрешности будут последовательно переходить, преобразовываясь, от операции к операции н порождать новые погрешности. Влияние описанных выше погрешностей на точность результата может оказаться значнтелщю большим, чеы это обычно предста- 39 КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ вляют даже при не очень сложных вычислениях. Представим себе, что нам требуется найти объем шара, касающегося цилиндра радиуса гт' и двух касательных к нему взаимно-перпендикучярных плоскостей (рис. 18).
Легко найти, что радиус шара г будет равен )' 2 — 1 г = )с а объем Но (1 à — 1)' =()г 2 — 1) =(3 — 2 17 2 )'= 99 — 70'уг2. )г2 + 1! Подсчитаем последние три выражения, взяв за приближенные зна7 17 чения )Г 2 два числа: — = 1,4 н — = 1,4166 ... Так как 5 ' 12 )гг2 = 1,4142136624 ..., то каждое из выбранных нами значений довольно близко к точному и второе из них точнее. Результаты вычислений сведем в таблицу: (3 — 2 ГГ 2) (фг2 — 1)а 99 — 70 '$Г2 64 15 625 — = 0,00800 1 125 7 5 1 — — = — 0,1666 6 15 625 2 965 354 0,005233 17 12 216 — = 0,0046296 2.
Задачи, возникающие при работе с приближенными величинами. При работе с приближенными величинами математику приходится решать следующие задачи: 1. Давать математические характеристики точности приближенных величин. 2. Оценивать точность результата, когда известна точность исходных данных. 3.
Находить точность исходных данных, обеспечивающую заданную точность результата. Мы получили значительно отличающиеся друг от друга ответы, и не видно сразу, какой из них ближе к верному, Из приведенного примера видно, с какой осторожностью нужно обращаться с приближенными числами.
действия с пгивлиженными ВеличинАми ~гл. 1 4. Согласовывать точность различных исходных данных с тем, чтобы не затрачивать излишней работы при отыскании или вычислении одних данных, если другие данные слишком грубы. б. Следить в процессе вычислений за точностью промежуточных результатов, с тем чтобы, с одной стороны, обеспечить необходимую точность окончательного результата и, с другой стороны, по возможности упростить вычисления. Последние два пункта имеют немаловажное значение. Академик А. Н.
Крылов указывал, что ему приходилось рассматривать проекты, в которых 90% работы затрачивалось впустую на выписывание ненужных и неверных цифр. И все это из-за незнания правил действия с приближенными величинами! 3. Правила округления чисел. Прежде чем переходить к изучению этих правил, условимся относительно некоторой терминологии.
Будем всегда считать, что числа, с которыми нам придется иметь дело, могут быть записаны с помощью конечного числа разрядов в той или иной системе счисления. Таким образом, если за основание системы счисления взято натуральное число р и если иы допускаем числа, имеющие не более т разрядов, то их можно записать единственным способом в виде + (агр" + азр +....+ а„,ф + ) где а1 — целые положительные числа, 0(аг(~. Интересно отметить, что уже здесь мы сталкиваемся с тем приемом, о котором говорилось во Введении.
Вместо всего множества действительных чисел некоторого отрезка используется его конечное дискретное подмножество. В процессе вычислений иногда приходится и удается выходить за пределы этого подмножества, но во всех случаях количество разрядов остается ограниченным и мы опять будем иметь дело с конечным множеством чисел. Может оказаться, что результаты вычислений будут иметь бесчисленное или очень большое количество разрядов, так что их невозможно поместить в машину или они оказываются слишком громоздкими при вычислениях на бумаге. Тогда приходится заменять результат некоторым числом из нашего основного подмножества. Естественно брать ближайшее число этого подмножества.
Практически это сводится к следующему, Пусть мы получили в результате вычислений число + (агр +азр + ... +а 'р +а,„т1~ + ...1. Тогда, если -1 1 „+а .4 +" (2 Ф 1[ кллссиэикеция поггвшноствй то мы заменяем результат на + (агр +игр + ... +аД ~+'). Если же — ! ! а„е!+а.„8-+ ... > 2,. то заменяем результат на + [агр +игр + ... +(а +1)р [. Остается сомнительным случай — 1 1 а +!+а„,„ф + ... = — р. 2 Здесь безразлично, каким из двух данных выше чисел заменить результат. Тогда применяют различные соглашения, исходя или иэ простоты выполнения этой операции, или из удобства последующей работы над результатом.
Так, в некоторых машинах, например в ЭВ, округление осуществляется путем прибавления к результату числа —, р" ~+ и последующего отбрасывания всех младших раз- 2 рядов, начиная с разряда, содержащего р" . Это означает, что в сомнительном случае мы заменяем результат на + [агр +агр + ... +(ат+!)р'" [.
При вычислениях на бумаге в обычной десятичной системе счисления рекомендуется пользоваться в сомнительном случае следующим правилом. Если а — четное число, то заменяем результат иа + (а, ° 10" +а, 10" '+... +а ° 10" +'), если же а — нечетное число, то заменяем результат на + [а, ° 10" +а, 1О" '+... +(а,„+1) 10"- +'[. Описанный нами процесс называют округлением.
Если следовать последнему из описанных правил, то процесс последовательного округления числа 2,804953 будет выглядеть следующим образом: 2,80495; 2,8050; 2,805; 2,80; 2,8', 3. 4. Классификация погрешностей. Производя округления, мы заменяем данное нам число другим, представляющим его приближенно, Возникавшую прн этом погрешность будем называть погрешностью округления.
Исходные данные, как правило, не будут нам известны точно. Мы будем знать не сами числа, а некоторые области, в которых они помещаются. Будем называть их областями неопределенности. В результате вычислений мы также получим не точное значение, а некоторую область, в которой оно помещается, даже если все 42 двйствия с пгиьлижзнными звличинлми [гл. 1 последующие вычисления производились точно, без округлений. Границы втой области опрелелят пределы погрешности, не зависящей от способз записи чисел.
Ее мы назовем неустранимой погрешностью, Существует третий вид погрешностей, не зависящий ни от погрешностей исходных данных, ни от способа записи чисел, ни от точности вычислений. Как уже говорилось во Введении, для решения задачи у = А [х) мы заменяем пространства Й, и гсг другими пространствами гс, и гсг и функцию А лругой функцией А. Поэтому даже при точных исходных данных и при точных вычислениях с этими данными мы решим задачу, отличающуюся от той, которая нам дана. Естественно, и решение будет отличаться от точного решения исходной задачи.
Это отклонение мы будем называть погрешностью метода. В этой главе мы не будем касаться погрешностей метода, а отнесем изучение их к соответствующим разделам курса. ф 2. Неустранимая погрешность Условимся в дальнейшем обозначать точные значения каких-то величин латинскими буквами х, у, х, ..., а соответствующие им приближенные значения такими же латинскими буквами, но со звездочкой вверху: х*, у*, х*, ...
Пусть нам требуется вычислить значения функции у=г'[хп х,, ..., х ) и точные значения аргументов х,, хг, ..., х„нам не известны, а даны лишь их области неопределенности. Определить неустранимую погрешность у это значит найти область неопределенности этой величины. По существу это задача математического анализа и может быть решена любым из методов, выработанных. для таких целей в математическом анализе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
