Том 1 (1160083), страница 3
Текст из файла (страница 3)
2. р(х, у) =р(у, х). 3. р(х, у) (р(х, г)+р(г, у) для любых трех элементов х, у, г, принадлежащих Л (аксиома треугольника), Евклидовы пространства с обычным опредеаением расстояния в ннч удовлетворяют всем этим условиям. Но могут быть н другие м грнческие пространства. Так, рассмотрим множество всевозможных непрерывных функций, заданных на отрезке (а, Ы. Для любых двух таких функций х(г) и у(г) определим расстояние р(х, у) равенством р(х, у) = шах ~х(г) — у(г)~, сна, ь1 метод вычислительной мхтвмхтики й 2] Нетрудно проверить. что так определенное расстояние удовлетворяет всем трем поставленным выше условиям. Таким образом, мы получили функциональное метрическое пространство, которое обычно называют пространством С. Другим важным к,хаосом функциональных пространств являются пространства Ер.
(Здесь р — действительное число ) 1.) Измеримая на ]а, В] функция у(г) принадлежит т'.р, если суммируема ]у(у)(в') Две функции х(1) и у(т), принадлежащие т'.р, считаются эквивалентными, если они отличаются друг от друга лишь на множестве меры нуль. Расстояние р(х, у) в т'.р определяется следующим образом: 1 ь о(х. у) = ~ ! х(т) — у(х)]~И а (2) Так определенное расстояние удовлетворяет трем поставленным выше условиям. Можно было бы значительно расширить примеры различных функциональных пространств, но мы на этом пока ограничимся.
Рис. 1. В каждом метрическом пространстве можно говорить об окрестности данной точки. Назовем е-анре~ тноспью точки х некоторого метрического пространства гс совокупность его точек у, для которых выполняется неравенство р (х, $Р) ( е, В пространстве С это будет совокупность всех непрерывных на [а, Ь] функций, лежащих в полосе х(т) + е (рис. !). В пространстве Ер ') О мере множеств, измеримых и суммируечых функциях можно прочесть, например, в книге И. П.
Натансона ттеорив функций вещественной переменнойк ВВЕДЕНИЕ это будет совокупность всех функций, принадлежащих Е, для ка- р' торых ь / !х я — у(() )вагг ч, ев. (4) а При этом в отдельных точках отклонение у(О от х(г) может быть очень большим, а зато в других точках будет очень малым (рнс, 2). Рис. 2. В вычислительной математике часто приходится заменять одну функцию х(г) другой функцией, более удобной лля вычислительных целей и в каком-то смысле близкой к первой. Обычно эту вторую функцию берут в некоторой е-окрестности первой.
Если е-окрестность берется в пространстве С, то говорят о равномерном приближении функции х(г). Если е-окрестность берут в пространстве ьр, то говорят о приближении в среднем. В частности, при р = 2 говорят о среднеквадратичном приближении. 2. функции, определенные на функциональных пространствах. Точно так же, как в классическом математическом анализе, можно ввести понятие функции, аргументом н значением которой будут элементы абстрактных пространств.
Пусть нам даны два абстрактных пространства Я, и гс,. Пусть каждому элементу х~)с, поставлен в соответствие элемент утеса. Тогда мы будем говорить, что нам задана функция у = А (х) с областью определ ния )с, и областью значений, принадлежащей Яа, В частности, если )ся является областью действительных или колю- мятод вычислительной математики плексных чисел, то А(х) называется функционалом, Простейшим примером функционала в пространстве С будет являться (б) Пространство )сг может совпалать с пространством Й, и тогда будем называть А(х) оператором. Область математики, изучающая свойства функциональных пространств и заданных ма них функций, и носит мазвамне функционального анализа, 3. Метод вычислительной математики.
Теперь можно охарактеризовать метод вычислительной математики. В вычислительной математике приходится сталкиваться с самыми различными залачами. Но большинство этих аадач может быть записано в виде у = А (х), (7) где х н у принадлежат заданным пространствам 77, и Яг и А(х)— некоторая заданная функция. Задача состоит либо в отыскании у по задаммому х, либо в отыскании х по заданному у.
В нашем курсе мы булем иметь дело только с такими задачами. Далеко мс всегда с помощью средств современной математики удается точно решить эти задачи, примемяя конечное число шагов. В этих случаях и прибегают к вычислительной математике. Иногда залача и может быть решена точно, но методы классической математики дают ответ после громоздких и трудоемких вычислений. Поэтому в задачи вычислительной математики входит также разработка приемов и методов наиболее рационального решемия конкретных задач.
Как это делается в различных случаях, будет видно из дальнейшего курса. Сейчас же мы выскажем некоторые общие сообщения. Основмым методом, при помощи которого в вычислительной математике решают поставленмые выше залачи, является замена пространств 77, я Яг и функции А некоторыми лругими пространствами )с, и гсг и функцией А, более удобными для вычислительных целей. Иногда бывает достаточно произвести замену пространств )с, и )с или лаже одного из них. Иногда достаточно заменить только функцию А.
Замена должна быть сделана так, чтобы решение новой задачи у = А (х), (В) х ~ Й,, у~ гсг — было в каком-то смысле близким к точному решению исхолной задачи (7) и его возможно было бы практически отыскать с сравнительно небольшими трудностями. 14 вввдкнив Например, пусть необходимо вычислить интеграл у= ~ у(х) с(х, а где у(х) — непрерывная функция, причем неопределенный интеграл не берется в элементарных функциях. Чтобы получить лостаточно точное гриближенное значение интеграла, можно идти двумя путями.
1. Заменим функцию у (х) алгебраическим многочленом Р (х), равномерно приближающим функцию у'(х) на отрезке (а. б) с необходимой степенью точности. Как будет показано в главе 4, это всегла ь сделать можно, Вместо интеграла у = ~ Г" (х) г(х будем находить а Ь интеграл у= ~ Р(х) г(х, вычисление которого не составляет трула. а ь Злесь мы, не меняя функционала А()') ) г(х)г(х, заменя"и проа странство С, которому приналлежит /(х), пространством многочленов и вместо функции г'(х) берем многочлен Р(х) из некоторой ее е-окрестности. ь 2, Из определения интеграла ~у (х) г(х следует, что веегла можно а построить интегральную сумму,У,у(х;)Ьхн которая будет доста- г. 1 точно близка к значению интеграла.
Слеловательно, вместо вычисле- ь ния интеграла у= ~ у(х) Фх можно решать другую задачу — задачу а вычисления конечной суммы у =~~'„, у(х;) Ьх;. я-1 ь Здесь мы уже заменяем функцию А(т) ) у(х)с(х новой функцией а А(У)= — э~ У(х;)Ьхг $ .†. г Для успешного применения указанного выше метода вычислительной математики необходимо в первую очерель иметь рациональные способы замены пространства )с другим пространством )с. 5 21 метод Вычислительной м«тематики Часто для этой цели в пространстве Й отыскивают конечное множество элементов 'т'2 Т2 которые бы, с одной стороны, достаточно хорошо а и пр ок сн м ир овали каждый элемент пространства 1х, а с другой стороны, были бы достаточно удобны для вычислительной работы .
Пр и этом в качестве 22 берут пространство, состоящее и з этого конечного числа элементов, и элементу е ~ 12 ставят в соответствие ближайший элем ент 222 ~ Й и ли один из ближайших, если таких элементов нес ко ль к о, В дальнейшем мы увидим много примеров того, как это о суще ствляетс я . Такой прием не всегда применим . Для того чтобы и м можно было воспользоваться, необходимо наложить дополнительные огран и эе н ия на метрическое пространство 12 . Не вдаваясь в подробности, укажем на те свойства, которыми в этом случае должно обладать пространство 1с.
Для любого е)О должны существовать элементы такие, что какой бы элемент у~й мы нн взяли, найдется такой элемент ен для которого р(<р рд<е. В этом случае элементы ео ен ..., 22„называют е-сетью проаппанслтва 12. Из наличия е-сети при любом е ) О будет вытекать компактность пространства 1х а себе. Это означает, что из любой последовательности элементов 1ф,1, принадлежащих Й, можно выделить фундаментальную подпоследовательность, т.
е. такую подпоследовательность ~фг ), что для любого е ) О найдется целое положительное М, что при вг и п ) М имеет .место неравенство Р (ф „фг„) < й Из наличия е-сети при любом е ) О следует также сепарабельнослгь пространства Й, что означает существование счетного всюду плотного в Й множества элементов, т. е. такого множества, что в любой окрестности элемента е ~ гс найдется хотя бы один элемент этого множества.
Однако из предыдущих рассуждений нельзя делать вывода, что конечные аппроксимирующие группы можно использовать только для компактных в себе пространств. Во-первых, нужно заметить, что современный функциональный анализ не связан каким-либо одним способом метризуемости. Наоборот, одна и та же функция может. служить элементом самых различных пространств. Функциональные пространства могут целиком вкладываться в другие функциональные пространства с сохранением или потерей понятия близости, расстояния и других.
Иногда возможно рассматривать пространство Й как предельное множество его подпространств й„, обладающих нужными нам свойствами. ВВЕДЕНИЕ Можно было бы многое говорить относительно рззличных применений функционального анализа в вычислительной математике. Однако удобнее это сделать при изложении конкретного материала курса. Резюмируя сказанное выше, мы отметим, что в настоящее время перед вычислительной математикой стоят следующие основные задачи: 1, Приближение множеств в функциональных пространствах. 2, Приближение функций, заданных на функциональных пространствах, д Разработка рациональных алгоритмов и методов решения задач в условиях применения современных вычислительных машин. ф 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
