Том 1 (1160083), страница 9
Текст из файла (страница 9)
При более или менее сложной функции/ применение точных методов математического анализа приводит к сложным и трудоемким вычислениям. Поэтому целесообразно иметь в своем распоряжении приемы, позволяющие решить нашу задачу более элементарно, хотя быть может и более грубо. Последнее опРавдываетса еще и тем, что сами области неопРеделенности хь обычно бывают известны довольно грубо. 1. Абсолютная и относительная погрешности числа. Прежде чем перейти к этому вопросу, введем некоторые характеристики точности чисел. Рассмотрим разность ае*= х — х 43 % 21 НЕУСТРАИИМАЯ ПОГРЕШНОСТЬ между точным значением некоторой величины и ее приближенным значением, с которым произволится вычисление. Эту разность назовем абсолютной погрешностью числа х*.
Абсолютная погрешность и будет одной из характеристик точности чисел. Очевидно, она представляет только теоретический интерес, так как точного значения х мы в большинстве случаев не знаем. Но мы всегда можем указать границы, в которых изменяется абсолютная погрешность. Эти границы определяются тем способом, которым мы получили приближенное число х'.
Так, производя измерения обычной ученической линейкой, мы можем гарантировать, что модуль абсолютной погрешности не будет превышать 0,5 мм. Аналогично при производстве измерений штангенциркулем или микрометром мы получим соответственно, что абсолютные погрешности не могут превышать по модулю 0,1 и 0,01 мм. При замене иррационального числа конечной дробью величину погрешности также часто удается оценить.
В связи с этим введем еще одно понятие, а именно: наименьшую иэ верхних границ (и ), которую можно найти исходя из способа получения числа х*, будем называть предельной абсолютной погрешностью и обозначать А~*. На практике часто за предельную абсолютную погрешность Ат принимают не наименьшую иэ верхних граней |ай*), а одну из верхних граней. достаточно близкую к наименьшей. В связи с грубостью оценок точности с помощью предельных абсолютных погрешностей мы не получим при этом заметной разницы. Таким образом, если А =0,005, ах'= 2,18, то 2,175 ( (х (2,185. Абсолютная погрешность и предельная абсолютная погрешность еще не характеризуют точность результата, как ее обычно интуитивно понимают, если не указан сам результат.
В самом деле, пусть предельная абсолютная погрешность результата измерения равна 1 см. Если при этом измерялась длина комнаты, то точность удовлетворительная. Если же измерялось расстояние между двумя пунктами различных городов, то точность очень велика. Поэтому мы введем ещу одну характеристику точности — относительную погрешность.
Относительной погрешностью назовем отношение абсолютной погрешности к абсолютному значению приближенной величины. Будем обозначать относительную погрешность числа х* через Ь . Таким об азам, Р а, йель = — ° 1 "!' Точно так же вводится понятие предельной относительной погреш- ности, которую мы будем обозначать через Ь *: А, Ь„= 1х*( ' В отличие от абсолютной погрешности, которая чаще всего бывает Таэмерной величиной, относительная погрешность будет величиной 44 двйствия с пгнвлнжвннымн Ввличннамн [гл.
1 безразмерной. В дальнейшем предельные абсолютные и относительные погрешности, если не будет опасности смешения, будем называть просто абсолютными и относительными погрешностями. Посмотрим теперь, как изменяется предельная абсолютная погрешность при округлении числа.
Пусть нам дано число с*=агр" +азр" '+... +а„,й" ~+'+а „,3" + .. и мы округляем его согласно приведенным в ф 1 правилам до и старших разрядов. Если абсолютная погрешность числа с* равна А,. то с* — А,* (с (с'+А,*. После округления мы получим число ~и-ж+ ~и-т-1 или Таким образом, абсолютная погрешность А, * числа с" будет равна наименьшему из двух чисел: А,.
+а,в,гр" +а„„„,~" '+... А, +Р" ь' — (а ~гР" +а ~зР" ~ '+...). или При любых условиях А,. не будет превышать А, + — Р 1 и-,в+г Могут быть такие случаи, когда А, окажется равной г)и — т+~ 2 2. Верные знаки числа. При записи приближенного числа мы обязательно должны указывать соответствующую ему область неопределенности.
Наиболее аккуратный способ записи будет иметь вид: (х' — ан х'+а,), где х' — к, и х'+а, — границы области неопределенности. Можно также записывать приближенное число в виде х*+ Ав . Однако если нам нужно записать большую таблицу приближенных чисел, то оба способа будут неудобны. Поэтому в вычислительной практике часто прибегают к различным приемам, позволяюшим по записи только самого приближенного числа судить о его погрешности. Один из наиболее распространенных приемов где Ь равно ам или а +-1. При этом ~с** — с'~ будег равно наименьшему из двух чисел: 45 НЕУСТРАНИМАЯ ПОГРЕШНОСТЬ состоит в следующем.
Выбирают некоторое положительное число т <„1. В приближенном числе с*=агР"+авР" +... -+атР" ~~ +... инфра а„считается верноа, если А, (тр" ч . В противном случае а„считается сомнительной цифрой. Ясно, что если аь является верной цифрой, то и все предыдущие цифры верные. Записывая приближенное число без указания его погрешности, требуют, чтобы все записанные цифры были верны.
Так, например, если в десятичной системе будет записано приближенное число 3,14 и не будет указана его предельная абсолютная погрешность, то зто означает, что она не превышает т 10 '. Чтобы показать, что предельная абсолютная погрешность числа 314 000 не превышает т ° 10', его следует записать в виде 314 ° 1О'. Если исходное число имеет несколько сомнительных цифр и мы хотим использовать наш способ записи, его нужно предварительно округлить. К округлениям прибегают и в том случае, когда число разрядов чересчур велико.
В связи с этим накладывается ограничение на наименьшее возможное значение т. Действительно, как мы видели, при округлении числа до и старших разрядов абсолютная 1 и-т+2 погрешность может возрасти на — р . Таким образом, нельзя 2 ! брать т ( —, так как при этом найдутся числа, у которых послед- 2' няя цифра будет оставаться сомнительной, сколько бы мы ни округляли. При любом выборе т найдутся такие числа, у которых последняя верная цифра после округления уже не станет верной.
Найдем наименьшее т так, чтобы после округления оставалась верной, по крайней мере, предпоследняя верная цифра числа. Пусть а является последней верной цифрой числа с'=агг +-а,з +... +а р" + +а 23' +- Это значит, что ~ч — т ( А ( ьч-т~г После округления до гл — ! старших разрядов предельная абсолют- ная погрешность может достигнуть + ! РА-т 2 2 Нужно, чтобы она не превышала тр" т+, т. е. нужно требовать, чтобы было ьв-т+2 ..
ьь — т 2 '~с" + 2 Р (тР' 46 двйствия с пгизлижвнными ввличинлми 1гл. 1 Это неравенство должно быть выполнено и при замене А~ его наибольшим возможным значением, т. е. должно быть выполнено неравенство мч д+ 1 9ч-ы+2 ~ ~з-т-;-з Отсюда 0,5 ш) 1 —— Наименьшее значение е будет равно 0,5 а= 1 —— При Р= 10, т. е. в десятичной системе счисления получим: а= — '=0,555... 0,56. 0,9 При 9=2, т. е. в двоичной системе счисления, будем иметь: 0,5 м= — '=1.
0,5 Если допускать сдвиг последней верной цифры на два разряда влево, то в десятичной системе можно взять з качестве е число м = * = 0,50505... 0,51. 0,5 1 1 —— 10з При такой записи приближенных чисел мы будем иметь лишь грубое представление о истинной их погрешности. Чем больше мы будем брать м, тем больше будет таких чисел, для которых истинная погрешность будет завышена.
Поэтому, если наши числа появляются в результате вычислений по формулам с точными значениями исходных данных (например, при составлении таблиц трансцендентных функций), когда мы можем достигнуть практически любой заданной точности, выгоднее брать и возможно меньшим. В этих случаях в десятичной системе выгодно брать в возможно более близким к 0,5. Например, можно взять а=0,56 или в=0,51 и т п другое дело, если наши приближенные числа получаются в результате измерений или в результате вычислений с недостаточно точными исходными данными, как это часто случается в технических расчетах.
При этом малые значения м будут связаны с необходимостью производить окру~пения, снижающие точность результатов, н так недостаточно точных, и поэтому невыгодны. В этих случаях обычно берут а= 1. э 21 НЕУСТРАНИМАЯ ПОГРЕШНОСТЬ Условие о записи приблчженных чисел, при котором все цифры, должны быть верными, нужно использовать лишь в тех случаях когда затруднительно указывать наряду с самими числами их погрешности. Отбрасывание сомнительных цифр, сопровождаемое округлениями, всегда увеличивает область неопределенности приближенного числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
