Том 1 (1160083), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Например, деления измерительной линейки могут быть нанесены неточно. При этом в результате измерения всегда войдет ошибка, которую называют инструме.чтальной. Лицо, производящее измерения, имеет определенные навыки и определенные физические данные. Поэтому обычно при точных измерениях разные лица даже при одинаковых условиях получают разные результаты. Каждый результат обладает некоторой ошибкой, которую называют личной. При некоторых измерениях мы можем не учесть какнх-то физических факторов, существенно влияющих на результат измерения, и тем самым внести в результат ошибку.
Такую ошибку мы совершили бы, например, если при определении широты места с помощью астрономических наблюдений забыли о преломлении луча при прохождении через атмосферу. Эти ошибки называют теоретическими. Все указанные выше ошибки называют систематическими. В нужных случаях мы всегда сможем, хотя бы принципиально, либо исключить такие ошибки, либо сделать их как угодно малыми.
Неисправный инструмент можно заменить исправным, личная ошиока может быть довольно точно определена и исключена, неучтенные физические факторы можно учесть с достаточно большой точностью. В данном параграфе мы предполагаем, что систематические ошибки отсутствуют. Исключив систематические ошибки, мы еще не сделаем результаты измерения точными. дело в том, что условия, при которых должен быть произведен опыт (температура, давление и т. н.), нельзя считать полностью стабильными н полностью совпадающими 65 й 61 сгвднвквддглтичныв поггвшности с заданными условиями. Кроме того, при всяком опыте мы отвлекаемся от ряда физических факторов, влияние которых считаем ничтожным. Всякое изменение состояния этих факторов изменит результат на величину, которую мы не учитываем, а часто и не можем учесть.
Так, при измерении широты мы не сможем полностью учесть состояния атмосферы в данный момент и в данном месте. Всякое изменение в состоянии атмосферы будет влиять па результат измерения. Все эти отклонения от заданных условий опыта вызовут появление ошибки в результате измерения. Эту ошибку называют случайной. Такое название оправдывается тем, что величина случайной ошибки определяется факторами, не управляемыми экспериментатором, и при разных обстоятельствах может быть различной. Ладим теперь математическую характеристику случайной ошибки.
Будем предполагать, что при измерении физической величины х мы можем получить результат, принадлежащий некоторому конечному или бесконечному множеству возможных результатов измерения. В дальнейшем для простоты рассуждений будем предполагать это множество конечным. Обозначим все возможные результаты измерения величины х через Эти возможные результаты измерения не всегда бывают равноценны в том смысле, что если производить измеренкя большое количество раз, то одни результаты будут появляться чаще, другие реже. В связи с эткм мы будем предполагать, что каждому результату х; * -л *-*--- -- в (о < ч < ч Ъ г =1)— вероятность появления этого результата.
Вероятность результата тем больше. чем чаше могут наблюдаться условия, при которых появляется данный результат. 11о терминологии теории вероятностей наши результаты измерения представляют собой случайную величину. Ьыражение ~ч,', у;х; в теории вероятностей называется математическим ожиданием случайной величины.
В дальнейшем мы будем предполагать. что выполнено равенство х=ли ахп г-г Это — математическая запись нашего предположения об отсутствии систематической ошибки. 66 (ге 1 дейстВия с пРиБлиженными Величинлми 2. Среднеквадратичные погрешности. Измерение физической величины обычно можно произвести различными способами и инструментами. При этом, вообше говоря, разным способам измерения будут соответствовать разные совокупности возможных результатов измерений или же одинаковые совокупности.
но с различнымн вероятностями появления отдельных результатов. В связи с этим очень важно уметь давать количественную характеристику качества измерения. Для этого введем в рассмотрение величину аа = ~ д (х — х )а. Корень квадратный из этой величины носит название среднеквадратичной поерешности измерения. Каждому измерению будем приписывать вес р, равный р =.в )( где К в величина, постоянная для всех способов измерения х, Чем больше вес, тем измерение считается лучше. В таком подходе к опенке качества измерения есть большая степень произвола. Но это и неизбежно в тех случаях.
когда нам приходится вводить какне-то характеристики физических явленкй. До сих пор говорилось о вероятности появления отдельного значения случайной величины. В дальнейшем мы будем говорить также о Вероятности пркнадлежности случайной величины к тому или иному множеству. Следует пояснить, что под этим будет пониматься.
Условимся обозначать случайную величину одной буквой:. Символом Р(! ~ 5) будем обозначать вероятность того чтв случайная величина принадлежит множеству 5. При этом, если 5=(хи, х;,; ...; х; то по определению Р((6 У)=в, +-чп+ . +-)г„ Нам будут полезны следуюшие две леммы: Ле и м а 1. Гели случайная величина ! принижает талька неотрииательные значения, часть которых лгенее некоторой положительной вели ганы и, то Р (с < а) ) ! — —.
Вдень через М (";) обозначено математическое ожидание случайной величины В 61 5 61 СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ Положим для определенности, что хь х,, ..., хв не превышают и и хгчь хгчю ..., х„превышают а. Математическое ожидание случайной величины г разобьем на две части: г а М (!) = ~~,' Чгх1+,.",', Ч;хн 1 ! 1 а+1 Так как все хг)~0, то М(1) Ъ~ Чг+1хг 1+Чг~ьгхгаг+ ° ° ° + Чаха > > (Чгаг+Чг+г+ +Ча)и=11 — (Ч1+Чг+ .
+Ч ))и. Отсюда Ч +Ч+ ° ° +.Чг> 1 —— М (!) и так как Ч1+Чг+ ° ° ° +ЧА=Р(г (и). то гтвержденне доказано. Л ем м а 2. Если и некоторое положительное число, то Р ( ( г — М (1) ~ ( и) > 1 — —,. Для доказательтва рассмотрим случайную величину (1 — М($))г. Иа основании предыдущей леммы будем иметь: Р ( (1 — м (() ) г < иг) = Р ( ! 1 — м (1) ! ( и) > 1 — — ' М ( (! —:ь! (!) ) г) аг =! — —, из' что и требовалось доказать. Из последней леммы следует, что чем меньше среднеквадратичная погрешность, тем меньше рассеяние значений случайной величины около ее математического ожидания, Пусть теперь в последнем неравенстве и = 1га.
Тогда получаем: Р(!1 — М(!)! ( !Г~) > 1 — 1,. В частности, при 1г == 3 будем иметь: Р ( ~ ! — М (5) ! ( За) > 1 — — = 0,888 Это означает, что примерно в 90~ случаев мы будем получать значения случайной величины, отличающиеся от математического ожидания не более чем на утроенную среднеквадратичную погрешность. 68 (гл. 1 действия с пвивлижвнными ввличинлми 3. Обработка результатов по методу наименьших квадратов. Произведя несколько измерений некоторой физической величины х, мы получим несколько, вообще говоря, различнык результатов: хн), х("), ..., х(м).
Каждый из этих результатов содержит какую-то случайную ошибку. По этим данным мы не можем найти точное значение измеряемо" величины. Поэтому возникает задача: по х(1), х(в), ..., х(т) найти величину х', которую бы с наибольшим основанием можно было принять за приближенное значение х.
В такой постановке задача еще очень неопределенна и решение ее может идти по самым различным направлениям. Мы коснемся здесь лишь одного подхода, основанного на минимизации среднеквадратичной погрешности. Будем предполагать. что произведенные нами измерения были независимы. Это означает, что соответствующая каждому измерению совокупность возможных результатов измерения и вероятностей ик появления не зависят от результатов других измерений. Величину х* будем искать в виде х'=Л х(')+Л,х(")+ ... +Л. х("'), (1) где Л,, )ь ..., ) — некоторые постоянные, которые нам предстоит подобрать. Наряду с (1) будем рассматривать величины х.
Л1х(Ч + Лзх(в) +,, + ) х(в) (2) где х(„)(Д = 1„2,-..., лг) пробегает совокупность возможных резуль(ю татов измерения при )г-и измерении. Они будут играть роль возможных результатов измерения. Каждой из величин х*,,, при- 'ФЮ пишем вероятность появления, равную ()(()()(П ... ()( ), где через д((г) обозначена вероятность появления х(а) при )г-м измерении. Такое Фь определение вероятности появления х'., есть следствие нашего предположения о независимости измерений.
Постоянные Л„будем выбирать так, чтобы были выполнены следующие два условия: 1. Случайная величина х".. не должна иметь системати- $,н ...1 ческой ошибки, т, е. ее математическое ожидание должно равняться х. 2. Случайная величина х*,. должна иметь наибольший н 1 воз ножн ы й вес. Как мы увидим, зти два условия определяют постоянные Ль однозначно. сввднвквадватичныв погввшности Прежде всего потребуем выполнения первого условия. Мы должны иметь: х= ~~' д(1)д(з) ... д( >(Л,х(,.п-+Л,х; ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
