Том 1 (1160083), страница 16
Текст из файла (страница 16)
в'х Для этого достаточно положить оох Ьа(х) = са [та[ Так как ~а[уа! не обрашается в нуль, то Ьа(х) будет непрерывная функция. Определив так Ьо(х), мы получим, что система е (х), у,(х), ..., еа(х) будет фундаментальной системой решений для урав пения и' „— Ц. [ р[ — Ьа (х) Да [р] = О, оГх действительно, Ц,[е] — линейный дифференциальный оператор порядка й.+1 с коэффициентом при старшей производной, равным единице. Далее, С„,[[ч]о Д (У = О, [, 2, ..., Ь). Таким образом„функции ео(х), оо,(х), ..., <оа(х) образуют фундаментальную систему решений уравнения Еа~, [р! = О.
Оператор 83 ч 11 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ это означает, что Еь . 1 [9! = — ~— ьь [р[ — Ьь (х) ьь Ю йх Рассмотрим теперь функцию — ) ь,ии еи ф (х) /(х) е а Ее производная имеет вид — !еь. и ю [ — [ь,ие е ф', (х) = ] г" (х) — Ьо (х) ~(х)] е о = Е., [!' (х)! е ф,(х), как и у'(х), обращается в нуль на [а, Ь] и-+2 раз. Следовательно, ф',(х), а поэтому и Е,[У(х)] обращается на [а, Ь! в нуль по крайней мере и-+ 1 раз. Далее, вводим функцию — ) ь,йие Фа (х) = У-1 ]е (х)1 е Проводя те же самые рассуждения, получим, что Еа [у] обращается в нуль по крайней мере и раз. Продолжая этот процесс, получим, в конце концов, что найдется по крайней мере одна точка о~ [а, Ь], для которой Теорема доказана.
Те о р е и а 2. Если сро(х), ~р, (х), ..., р„(х) (н -+ 1) раз диФФерениируемы на отрезке [а, Ь] и %']ро, р,, .... уь] ~ О на ]а, Ь] при всех й = О, 1, 2, ..., л, то функиии р,(х), ср,(х), ..., ~р„(х) образуют систему Чебмиеева. Дона ватель ство. 7 оедположим, что это не так. Тогда найдется такая линейная комбинация ~(х) =с~'ро(х) ]-с1'ро(х)+- +с,рч(х) [со — действ., с'-+с',.+ ... -+ с„' Ф О), которая обращается в нуль по крайней мере в н+.
1 различных точках отрезка [а, Ь], Тогда по только что доказанной теореме Е„[Я обязана обращаться в нуль по крайней мере в одной точке . "~ [а, Ь!. Но %е[то. в ". т - У! %е[то, т °, т ] % [то тн ° ° тч-11 % ]то то ° то-11 Так как % ['ро 91 ° ° М и % [Ро 9! ° ° 9 -1] 84 теоРия интеРпОлиРОВАния и некОтОРые ее пРилОжения [гл. 2 не обращается в нуль ни в одной точке х~ [а, д[, то должно быть с„= О. Таким образом, найдется и+ 1 различных точек отрезка [а, б[, в которых (= ссар,.+сгс,+ ...
+с„ги„, обращается в нуль. Тогда, снова применяя обобщенную теорему Ролля, найдем, что (.„, [у[ обращается в нуль по крайней мере в одной точке 1~!а, б[, Проводя те же рассуждения, что и раньше, найдем, что с„, =О. Продолжая этот процесс, мы придем, в конце концов, к выводу. что все коэффициенты с; ((=О, 1, 2, ..., п) равны нулю вопреки нашему предположению. 5. Основные вопросы теории интерполирования. На этом пока прервем общие рассуждения и перейдем к рассмотрению различных частных случаев выбора функций (у;(х)[.
Нас будет интересовать: 1) Вопрос об удобных способах фактического построения интерполяционных функций для каждого конкретного выбора функций (р;(х)[. 2) Интерполяционные функции будут совпадать с интерполируемой функцией в узлах интерполирования, но. вообще говоря, будут отличаться от нее в остальных точках промежутка [а, д[. Нужно найти практически пригодные оценки этого отклонения. 3) Возникнет вопрос о том, как выгоднее выбирать узлы интерполирования лля того, чтобы эти оценки были наиболее выгодными. 4) Значения функции могут оказаться приближенными. Необходимо выяснить влияние этого фактора на погрешность интерполирования, Мы рассмотрим обобщения поставленной задачи интерполирования, когда в узлах будут заданы не только значения функции, но и ее производных.
Рассмотрим кратко задачу об интерполировании функций многих переменных. Сейчас Р ы начнем разбор наиболее важного случая интерполирования при омощи алгебраических многочленов. ф 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа 1. Построение интерполяцнонного многочлена Лагранжа. Возьмем в качестве (ег(х)[ последовательность 1. х, ха..., х"... Функции этой последовательности линейно независимы на любом отрезке. Действительно, если бы на каком-то отрезке имело место с,-[-с,х-[-с ха+ ... +с„х"= — О, х~ [а, Ь[, $2! интегполяционный многочлвн ллгвлнжл то все с; = О, так как алгебраический многочлен степени а с отличными от нуля коэффициентами не может иметь более п корней, Определитель Ь в данном случае примет вид хо хо я 1 х, х, а= х" х" 1 ~ 1 х„хо...
х"„ Это — определитель Вандермонда. Он равен а= И (х; — х). В силу нашиоо предположений о х; определитель отличен от нуля, Следовательно, при любых г'(х ) однозначно определится о(х). Для определения вида а(х) будем отыскивать функцци Ф,(х), Как было указано выше, Ф;(х) представляет собой линейную комбинацию фУнкций ~ао(х), 1~г(х), ..., ~а„(х), УдовлетвоРЯющУю УсловиЯм ~ О, если (чьу, Ф;(х) = 1 1, если Е=/. Итак, для того чтобы отыскать Фо(х), нам нужно нанти многочлен степени и, обращающийся в нуль в точках х,, хп ..., х... х; „„..., х„и равный 1 в точке хо Отсюда Ф;(х) =А(х — х,)(х — х,)...
(х — х;,)(х — х; с)... (х — х„). Так как Ф(х;) =1, то 1 = А(х; — хо) (х; — х,)... (хо — хг,) (х; — хо.ог) . ° (х1 хи). Получаем окончательно: Ф; (х)— (х — хо) (х — хб ... (х — х;,) (х — хо 1) ... (х — х„) (хо — хо) (хг — х,) ... (хг — хг,) (хг — хо+,)... (Хг — х„) и (х — хг)... (х — х„) 'Р(х) = Р (хо) ( ) '( ) + + . (х — хо) (х — хо)... (х — х„) (х1 хо) (хг — хо) .. ° (х1 — хч) +у (» — хо) (х — х1) ...
(х — х, 1) (х„— хо) (х„— х,)... (х„— хп,) ' Этот многочлен и решает задачу интерполирования. Будем называть его антераоляцаонным многочленом Лагранжа и, чтобы отличать 86 теогия интегполиговлния и некОтОРые ее пРиложения (гл. 2 от других случаев интерполирования, обозначать ь„(х), где п — сте- пень интерполяционного многочлена. Введем обозначение а„(х) =(х — ха)(х — х,)... (х — х„). (2) Тогда интерполяционный многочлен Лагранжа может быть записан в форме: ч Ь„(х)= ~~ г'(х() (3) (х — х,.) ь„(х,.) рассмотрим некоторь|е примеры на построение интерполяционных многочленов Лагранжа. П р и м е р. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа по следующим данным: 1 (х) В этом случае (х — 2) (х — 3) (х — 5) х (х — 3) (х — 5) а( ) ( 2)( 3)( 5) + 2(2 3)(2 5) + 2х(х — 2)(х — 5) бх(х — 2) (х — 3) 3 з 13 а 62 3 (3 — 2)(3 — 5) 5 (5 — 2)(5 — 3) 1О 6 15 3 5 2 ( ( у (х) В этом случае (х — 2) (х — 3) (х — 5) (х — 6) х (х — 3) (х — 5) (х — 6) + , (х) — 1 ( — 2) ( — 3) ( — 5) ( — 6) +3 2 (2 — 3) (2 — 5) (2 — 6) +2, .+5 х (х — 2) (х — 5) (х — 6) х (х — 2) (х — 3) (х — 6) + 3 (3 — 2) (3 — 5) (3 — 6) о (5 — 2) (5 — 3) (5 — 6) х (х — 2)(х — 3) (х — 5) 11 т3 а 601 а 413 + б (6 — 2) (б — 3) (6 — 5) 120 + 60 120 60 П р и м е р.
Построить интерполяционный многочлен Лагранжа по следующим данным: 87 интвгполяционный многочлвн лАГРАнжА 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа для равноотстоящих узлов. Рассмотрим случай, когда значения х» являются равно- отстоящими, т. е.
х,— хо= ха — х,= ... =х„— х„,=!». х — хо При этом, если ввести обозначение И =г, то получим: Ф»(х) = (х — хо) (х — х!) ... (х — х»») (х — х»„.!) ... (х — х„) (Х» ХО) (Х» Х!) (Х» Х»») (Х» Х»» !) ° (Х» Хи) ад (ед — д) ... [ед — (! — 1) Ь[ [ед — (!+ 1) д[ ... (Гд — ид) !И (» 1) Д ... !» ( — Д) ... [ (и — !) Ь[ Итак, ~.ч (Х) — ~.о (Хо + 1~)— ч » „г(! — !) ... (! и) огч б'„у» =( — 1)" — "' ~ ( — 1)' —.. и! д'.в (4) » о Здесь и в дальнейшем для сокращения записей мы будем обозначать 1(х») через уп В последнем выражении коэффициенты, стоящие перед у;: о-~,» ! (! — 1)... (! — и) (! — !) и! не зависят ни от функции у(х), ни от )г — шага таблицы.
Их мо»!»Но табулировать и использовать в самых различных случаях. Такие таблицы составлены и известны под названием таблиц ноэффицаенгиов Лагранжа. Мы в обоих примерах располагали многочлены по степеням х. Если А„(х) нужно подсчитывать лишь при некоторых значениях х, то никакой необходимости так располагать его нет. Как видно из приведенных примеров, образование интерполяционных многочленов Лагранжа связано с большой вычислительной работой. Так же велика вычислительная работа при получении значения Е„(х) для какого-то фиксированного значения х. Сравнение двух приведенных примеров показывает, что если даже мы имеем интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по значениям х,, х,, ..., х„, то это мало помогает нам при построении интерполяционного многочлена Лагранжа по значениям его в точках х,,х,, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
