Том 1 (1160083), страница 17
Текст из файла (страница 17)
..., х„, х„+». Все это заставляет задумываться об усовершенствовании формулы Лагранжа с целью упрощения вычислительного процесса. Об этом мы сейчас и будем говорить. 3. Интерполяционная схема Эйткена. Если значения х; неравноотстоящие и требуется найти не общее выражение (.ч(х), а лишь его значения при некоторых х, то удобно пользоватьс~ антеугиоляциэнной схалгов Эйткена. По этой схеме значение интерполяционного многочлена для какого-то значения х находится путем последовательного применения единообразного процесса. Рассметрим выражение Это многочлен первой степени относительно х. При х= ха получим: г-ы (хо) = = Ум 1;; '...! Аналогично при х = х, будем иметь: ! Уо ха хг ! Еэг (хг) = = Ун (хг — хо) Так как многочлен первой степени, принимающий в точках ха и х, значения уэ и уо единственный, то Еы(х) и решает задачу интерполирорания по двум данным.
Точно так же мы сможем образовать Еж(х), ьэа(х) и т. д. Эти выражения легко вычисляются на малых счетных машинах. В самом деле, вычисление определителя второго порядка сводится к вычислению разности двух произведений. что осуществляется очень легко. При этом на счетчике оборотов, если он оборудован переносом десятков, как это сделано в машинах Рейнметалл, Мерседес и других, получится разность х,— хв, на которую и нужно разделить величину определителя.
Рассмотрим, далее, сзг (х) хв У.м (х) хэ — х ом(» = Это — многочлен второй степени относительно х. При будем иметь: Уо ьож (хо) = =Уз хэ — хв 1 йж(хв) хв — хо ! х = х„ При х= х, получим: ) (уа ~огз (хг) = хэ — хэ ~ У1 а при х=ха ~он (ха) = 1 ( см (ха) хэ — хо Уэ хв — хг =Уь хг — хг ! ха — х, ! 88 твогия интвгполиговлния и нвкотовыв вв пгиложвния (гл. 2 ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫй МНОГОЧЛЕН ЛАГРАНЖА 3 2) Следовательно, Е,ж(х) совпадает с интерполяционным многочленом Лагранжа, принимающим в точках хв, х,, х, соответственно значения ув, ув, у,.
Вообще, 1 Евы ... (в — 1) (х) хв — х Евввв...и(х) = х„хв ! Еввв ..ч (х) хв — -1 ~ будет интерполяционным многочленом Лагранжа, принимающим в точках хв, х,, х„соответственно значения ув, ув, ..., я„, Очевидно, что порядок и нумерация точек при атом значения не имеют. Каждый многочлен Евы в (х) получается из Е,ж . в, (х) и Енв в(х) так же, как и Ев,(х) получается из ув и у,, Вычислительная схема для получения значения и)втерполяционного многочлена будет выглядеть следующим образом: Ев-в,в-в, 4-1.
4 Ев — 4, в-в, 4-2, 4-1,1 Ев 1,4 Х, Ув Хв — Х хв Хв Х2 Еввн (х) Е 1244 (х) Ев„вв(х) Еввви (х) Е12244 (х) Так, по данным второго примера этого параграфа получим следующие значения (здесь взято х= 1): Ев-ь 4 ~ Ег-в,в-ь 4 Е4-4 4 — в 4-2, 4-1, 4 Хв — Х 8 3 17 3 7 +1 3 Если подставить в полученный там многочлен значение х = 1, то получим ту же величину Е,(!) = 4.
Ув Ув Ув Ув Ув Ув .ов †.в х,— х Хв — Х Хв — Х Хв — Х хв — х Евв (Х) Е12 (х) Евв (Х) Е, (х) Е в(х) Евы (Х) Ев в(х) Еввв (х) Еввв (х) 42 13 23 3 90 твогия интввполиговьния и нвкотогыв ва пгиложвния (гл. 2 Интересно то, что, применяя последнюю схему, мы можем постепенно подключать все новые и новые значения хг до тех пор, пока сами вычисления не покажут нам. что точность уже не возрастает. Исследуем теперь различного рода погрешности, получающиеся при применении интерполяционного многочлена Лагранжа. ф 3. Погрешности интерполяциочной формулы Лагранжа 1.
Остаточный член формулы Лагранжа и его оценки. Если все вычисления произведены точно, то интерполяционный многочлен Лагранжа совпадает с заданной нам функцией г" (х) в узлах интерполяции хь, х,,.... х„. Однако. вообще говоря, он будет отличен от нее в остальных точках, Исключение представляет тот случай, когда сама функция ) (х) является многочленом степени не выше н. В последнем случае /(х) и 1.„(х) будут тождественно совпадать.
Так как значения у, могут оказаться приближенными, то возникнет дополнительная погрешность. Кроме того, в процессе вычислений будет возникать новая погрешность за счет округлений. Первая погрешность даст нам погрешность метода, вторая— неустранимую погрешность и третья — погрешность округления, Начнем с изучения погрешности метода. Здесь мы должны сузить класс функций й, так как произвольная функция, совпадая с у(х) в узлах интерполяции, может как угодно отличаться от неи в остальных точках. Можно было бы наложить на функции у(х) сравни-. тельно небольшие ограничения, но это будет связано с громоздкими выкладками при оценке погрешности.
Мы наложим на у(х) жесткие ограничения, а именно будем считать, что интерполируемая функция у(х) обладает на [а,,д) непрерывными производными до порядка а и гроизводная Пш(х) дифференцируема на 1а, д). Такие предположения будут выполнены для большинства случаев, с которыми приходится сталкиваться на практике. Для оценки погрешности рассмотрим вспомогательную функцию р(г) =г'(г) — 1.„(г) — К(г — х,)(г — х,)... (г — х„), где К вЂ” некоторая постоянная. Очевидно,.
ь(хв) =р(хг) =-- ... = =ср(хз)=0. Подберем К так, чтобы е(х), где х — та точка, для которой мы производим оценку, также обращалась бы в нуль, Это возможно, так как тогда г" (х) — 1 „(х) (х — хь) (х — х,) ... (х — х„) ' а знаменатель этой дроби отличен от нуля, ибо х ль х; (г = О, 1...., и).
Функция п(г) обращается в нуль на (а, Ь) в и+2 точках х, хь„ х,, ..., х„. Следовательно, на основании теоремы Ролла производ- 31 НОГРзшностн ннтеРноляционной ФОРНУлы лАГРАнжА 91 ная ((1(х) обрашается в нуль по крайней мере п->(-1 раз на интериале (а, (>). Пусть эти значения г будут: (А(1> 1(1> «(1) (о) Применим снова теорему ролла к функции 4('(г). Получим по крайней мере и точек (о . «1, 11, ° . °, 1„1 таких, что ,(1),(а> (1> (З> Продолжая этот процесс дальше, найдем, что существует по крзйней мере одна точка «на интервале (а, Ь), в которой «>("+'> (Е) = О.
но 1г(я+ >(х) =1(А+ > (Л) — К(В+ 1)!. так как производная порядка и-!-1 от многочлена (.„(х) степени и равна нулю. а производная от многочлена ч(„(х) степени и+1 со старшим коэффициентом 1 равна (а+ 1) !. Положив в последнем равенстве г = «, получим: 1.(А+1) (1.
(л+ 1)! Отсюда У(я+1) (1) У(х) — 5„(х) = (н+ 1), (х — хе) (х — х,)... (х — х„) или, полагая М„+, — — впр )>'~~~ )(х)~, получим: яЕ(а, а) 1,> (х) — Е„ (х)! ( "ч 1 >(х — хе)(х — х) ... (х — х„) !. (2) Эти два выражения могут служить оценкой отклонения ) (х) от 1'.„(х), если производная 1(~+ )(«) может быть оценена. Приведем примеры таких оценок. П р и м е р. Оценить, с какой точностью можно вычислить по формуле Лагранжа 1п100,5, если известны значения 1п100, 1п101, !п102, 1п 103.
В данном случае > (х) = 1п х. л = 3, а = 100, Ь = 103, >1 (х) = — —, М„= / !п 100,5 — 1. (100,5) ! ~( 4 0,5 0,5 ° 1.5 ° 2,5 = 2,344 - 10 П р и мер. С какой точностью можно вычислить з(п5' по формуле Лагранжа. если известны значения з!и 0', «(п 30', з1п45', з1п60'. 92 твогия интвяполигования и нвкотогыв вв пеиложвния !гл. 2 В данном случае г(х)=в!пх, п=З, а=О, Ь= —,/" (х)=в!пх, з' у'з, М,= —: 2 )в1пб — гч(5)( ( (~)()()(г)(я(3)!ОООО 2. Выбор узлов интерполирования. Как мы видели, отклонение у(х) от 1.„(х) определяется величиной г " '(0) и ы„(х). Если о первой величине мы можем иногда сказать, в каких пределах она заключена, то вторую мы можем в некоторых случаях менять по нашему желанию, изменяя точки хр Поставим следуюшую задачу: как нужно выбрать узлы х, для того, чтобы вир!в„(х)) была нан!и, Ь! меньшей.
Для ответа на этот вопрос нам придется использовать многочлены Чебышева. Мпогочлеп Чебышева Т„(х) определяется такг Т„(х) = сов(п агс сов х1, ~ х ~ ( 1. При а=1 Т, (х) = сов(агс сов х) = х. При п=2 Т,(х) =сов(2 агс сов х) = 2 сова(асс совх) — 1 = 2хг — 1. Далее, из тождества сов(п.+ 1) 0 = 2 сов 0 сов п0 — сов(п — 1) 0, полагая 0 = агс сов х, получим: Т„,, (х) = 2хТ„(х) — Т„, (х). Таким образом, Т„(х) действительно являются многочленами, причем коэффициент при старшей степени х равен 2" '. Из рекуррентной формулы последовательно находим: Т,(х) = 4хз — Зх, Т, (х) = 8 хе — 8х' -4- 1, Т, (х) = 1бхз — 20х' 1-5х, Т„(х) как многочлен степени п имеет ровно п корней.
Из сов(п агс соз х) = О следует (2т+ !) ч и агссовх= — (2т+ 1) или х =сов 2 2п Давая т значения О, 1, ..., п — 1, получим п различных корней, причем все они оказываются заключенными между — 1 и +1. Заметим также, что шах(Т„(х)( на огрезке 1 — 1, 11 равеч 1 ф 3[ поггзшносги интягполяционной яогмялы лагганжл 93 [У(х) — 1.(х)[~< 2.("~'1), ° (3) Если интерполирование производится на произвольном отрезке [а, 6[, то линейной заменой переменнпго =-2[(6 — ) [-(6-[- )[.
1 1 г = [2х — 6 — а[ Ь вЂ” а его можно перевести в [ — 1, 1[. При этом корни многочлена Т„(х) перейдут в х = —, ~(6 — а) соз, и.+ (6 -[ — а)~. 1 г 2т+ 1 т — 2 1 2л Оценка для этого случаи будет такова: У(х) — (. (х)[< 'И" ' " (л+ 1)! 2Я"+' (4) Полученные нами результаты дают наилучшую оценку в целом по всему отрезку [а, 6[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
