Том 1 (1160083), страница 19

Файл №1160083 Том 1 (И.С. Березин, Н.П. Жидков - Методы вычислений (1962)) 19 страницаТом 1 (1160083) страница 192019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

2 Подставляя в полученное выражение б вместо а, будем нметгк )1 (х) = ~ К(х, з) Е„, ч, [У(з)) аз — 1) Фг (х) ~ бг (з) й„+, [У(з)] г(з. Полусумма последних лвух выражений дает нам: ь д (х) = ] )с (х, е) й„+з [у (з)] г(з, е где 2гс (х, з) = К (х, з) а)яп (х — з) — ~~~~ Фг (х) бг (з) з1яп (х; — з).

(4) 1=о Через Мйпх здесь, как н обычно, обозначена функция, принимающая значе1цге+1 прн положительных з н — 1 прн отрицательных е. Полученное ранее выра;кение лля остаточного члена имело более простой внд. Но оно было получено при использовании обобщенной теоремы Ролла, для справеллнвостн которой нужно предполагать, что все Ц'[тв, тв ..., та] (б = О, 1, 2,..., и), отличны от нУлв на [а, б]. Последнее выРаженне бУдет веРно в том слУчае, если Ущ Ун ..., Уа могУт быть использованы для целей интерполирования прн заданных узлах хг н %'[ты тн ..., т ] 4= О прн х б[а, б).

ф 5. Интерполяционная формула Ньютона для неравных промежутков Вернемся снова к интерполированию при помощи алгебраических многочленов. В этом параграфе мы получим формулу Ньютона, являющуюся видоизменением формулы Лагранжа. Она интересна сама по себе и послужит нам источником получения ряда новых формул. 1. Разделенные разности и нх свойства. Предварительно введем новое понятие — разделенные разности. Возьмем некоторую функцию у~)с и систему узлов интерполяции ха, х,, хз, ..., х„, х, Ф хр при бть /, ха~[а. б]. Для этой функции и узлов образуем всевозможные отношения у(хз) — у(хр) хг — хь у(хт) — у (хз) у(х„) — у (хн 1) —,~ (х! Хз) 9 51 ФОРмулА ньютОнА для неРАВных ОРомежуткоВ 1ОЗ хе 1(хе) 1(«0 «1) 1(х~', хе) 1(х,; х,) 1(хз1 х4) 1(хг) 1(хе; х„; хз) 1(х,: хд хм хе) 1(хн хд хе) 1 (хд хы хэ1 хе) 1(хя; хз; хв) хз 1 (хе) 1(ха) 1(х,) Так, для 1(х) = х; хе= О; х, = 2; х, = 3; х, = б; хд — — 6; хь= — 1 зта таблица примет следующий вид: 1(хд хг+,) 1(хд хсе,, х,~я) х, 1(х,) 1(тй хеьд х~+г1 тг+з) О 19 21 1О 49 5 5 125 14 91 216 12 43 Такие отношения называют разделенными разностями первого порядка.

Получив разделенные разности первого порядка, мы можем образовать отношения 1(х,; хт) — 1 (хе; хз) Хе — А'е 1(хи хз) — 1(хр хе) 1(х„и х„) — 1'(х„я; х„г) 12) хв — х, х„— х„ =1(х„,; х„,; х„). Эти отношения называют разделенными разностями второго порядка. Вообще, если мы уже определили разделенные разности и-го порядка1(хб хе+,,...1 «1, „), то разделенные разности(д+-1)-го порядка находятся при помощи формулы 1(х~", хгед..., '«геь) — 1(хг д хи...,' хг+в 1) — з (хе ~', хд...1 х~.ье).

хе+ ь — хс иногда вместо 1(х;; «1,, ..., Яььь) для обозначения разделенных разностей используют выражение (х;; х;,; ...; хгге). Условимся располагать таблицу разделенных разностей следующим образом: 104 твогня интвгполиговлния и нккотогыа вк пгиложкния 1гл. 2 у" (хг) 1(х;; х;„,; ...; хгеь)— (хг — хг+г) (хг — х;ее)... (хг — кь.ьь) + + г(хге,) + (хьеь — хг)(хг+1 — хг+ь) ... (хг+~ — хг е) У(к + ) (4У (хьев — хг) (хг+а — хьеь)... (хь+л — хаев т) ' Доказательство будем вести по индукции. Для 1ь= 1 это утвержде- ние справедливо, так как у(лье,) — у(хд у(хг) Г (хг+,) в'(х;; хг,) = хг+, — к; (хг — хы.,) (хг+ ~ — х;) Предположим, что оно справедливо для й=( — 1, и докажем его справедливость для й=1. В самом деле, У(хг„.п хге,',..., 'хг„г) — У(хп хь .г,...

, "хь„.ь д 1(х;; хгь,..... хгь,)— хгь г — хг 1 У(хс,~) + хг.,г — хг~ (хге, — х,+ь) (хг+, — хьев) .,. (хге, — хыа) ~(хг+ь) + (хг з хгег) (кгеь — кгев) . ° ° (кь.~е — хьеь) у(хг+ ) (хгеь — хгьд(хс,г — хгь ) ... (хг+г — хгьь,) г (хг) (хь — х,е,) (х, — кг+е), .. (х; — хгеь,) У(х„д (хь+г хг)(хь. г кь .ь),, (кг+ь «г+ь в) г (хьз,,) (хгьь ь — х,)(хгег г — хг+г)... (хгеь-г — хвать ь) В полученном выражении у(хг) и у(хге,) встречаются по одному Нам потребуется использовать некоторые свойства разделенных разностей. Прежде всего докажем, что разделенная разность й-ао порядка 1'(хб хе„; ...; х;.

а) равна 5 5) ФОРМУЛА НЬЮТОНА ДЛЯ НЕРАВНЫХ ПРОМЕЖУТКОВ разу и притом в виде у(х!) (хч — хсь,) (хч — хсь )... (хс — х!ьг) ' у(хс+1) (Хч+1 — Хг) (Х1Ь1 — Хг+1) ... (ХЬЬ1 — Х!Ь1 1) ' т. е. так, как они должны входить в доказываемое равенство (4). Все остальные г'(хг) входят дважды.

Объединяя эти члены попарно. получим: 1 Х1Ь1 — Хч( (Х вЂ” ХАЬ1)...(Х вЂ” ХУ 1) (Х вЂ” Х! 1)...(Х; — Х +1) у(хз) (х. — х1)... (х — х.— 1) (хг — хгь1) ... (х. — «г+! — 1) у(х,) (х.— хчь1) ... (х — ху 1) (хз — хг 1)... (х. — Хчьг,) 1 1 1 хв — х!1 (хгьг — хс) с х — х1+1 У(Х1) (Х; — Х1) (Х; — Х1,,)...

(ХУ вЂ” Х 1-1) (Х, — ХУ! 1) ° .. (Хв — Х111) что нам и требуется. Из доказанного вытекает ряд следствий. Следствие 1. Разделенная разность суммы или разности функций равна сумме или разности разделенных разностей слагаемых, соответственно уменьшаемого и вычитаемого, С лед с та не 2. Постоянный множитель можно выносить за знак разделенной разности. С ле дст вне 3. Разделенная разность есть симметрическая функиия своих аргументов, т. е. з (х1; хг+б...,' х;чь) =у(хч .,', хг', х; ьг) ...', х; ь) = =~(х,,г; Х„,; Х,; Х1,31 ", Хч,.)= Разделенные разности обладают еще одним свойством, а именно: разделенные разности 1г-го лорядка от хи являются однородными многочленами относительно своих аргументов стеиени и — я; "Ри й= п равны 1 и ири я ) и равны О.

Докажем это. Для разностей первого порядка имеем: хи — х" ~ь! ! и-1 и-г и-1 у'(х!! Х1+1)= ' =хч+1+х,+,х;+ ... +х! Х1+, — Хс 106 таогия интагполивования и накотогык ав пгиложяния ]гл. 2 Далее, если «,+.,+....ь а п а + '+а для любых 1, то У(х~+~'....', хгеа+т) — г (хб хек '...', ха+к) б а+ г а.~-к+1) хс а — х, й-а+1 у(хе~к+6 хс+6...', ха+а) — у(хп хс+6 .. хс+к) х;екег — хс Х "' ."" — Х' -' " асье~~~~+а . " ~секет ~и хг хз~1 ха+а хсьа+г — хт х.'х' ...

х а+1 ~~-1 ' ' ' г+аек з"'з+" +зк кьг Таким образом, и это свойство доказано. На основании его и следствий 1 и 2 заключаем, что разделенные разности порядка и от многочлена и-й степени постоянны, а разности более высокого порядка равны нулю. Последним замечанием можно пользоваться для обнаружения ошибок в таблицах многочленов или функций, близких к ним, 1 и. Вывод формулы Ньютона для неравных промежутков. Перейдем теперь к выводу формулы Ньютона. Пусть 1 ~ гс, хе, х,, х„— узлы интерполирования и Ек(х) — интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный для этой функции по узлам х, х,, ..., хк.

Тогда г-и (х) = ге (х) + ]А, (х) . — г е (х)] + ]г.г (х) — г, (х)] + + ]Е.п (х) — Е.п, (х)], (5) Рассмотрим отдельную разность, стоящую в правой части, Еа(х)— — г'.а,(х). Это будет многочлен степени и'. Он обращается в нуль в точках хе, хь ..., хк ь Поэтому Ц(х) — Ц,(х) =А(х — хе)Х )( (х — х,) ... (х — хк,) (А — постоянная). Для определения величины А положим х=хк. При этом получим: ;;х„) — 1.а,(хк) = А (ха — хе) (ха — х,) ... (хк — хк,). ФОРмулА ньютОнА для неРАВных пгомежгтков 16У Итак.

у (хл) (х, — х ) ... (х,— х,,) л — 1 (хь — х )... (»,— х,) (»„— х,) ... (х,— х„,) у(х ) (х.— ха) ... (х.— х.,)(х — х ) ... (х — х,,) л-а (х,— х ) (х,— х,) ...(х„— х„,) у(х)) (х — х„) (х — х,) ... (х — х,) (х — х с) ... (х — х„) =Х 3-о =)'(ха, х,;...; Ха) Отсюда г е (х) = ( (ха)+ (х — ха) Г (ха1 х1) + (х — ха) (х — хД г (ха', хй хг) + ., +(х — ха)(х — хс)... (х — х„с))'(ха; х,; ...; х„). (6) Эта форма записи интерполяционного многочлена Лагранжа и носит название интерполяционного многочлена Ньютона для неравных пролгехеутное, Она более удобна для вычислений, чем формула Лагранжа.

Добавление одного или нескольких узлов не приводит к повторению всей проделанной работы заново, как это было при вычислениях по формуле Лагранжа. Применим эту формулу к тем же примерам, которые были приведены в 2 2, Разделенные разности 1 2 2 3 3 10 5 6 3 2 1 з (х) = 1 + х ° 1 + х (х — 2) ~ — —,~ + х (х — 2) (х — 3) —, 21 3 108 твогия интагполиговдния и нвкотогыв яв пгиложяния (гл. 2 Разделенные разности 0 1 ( 2 3 3 10 5 б 11 120 '1 4 3 2 1 б 6 А,(х) = 1+х ° 1+х(х — 2) ( — — )+ х(х — 2) (х — 3) — + 2т 3 1О !11 + х (х — 2) (х — 3) (х — 5) ( — — ) . 120) ' ло °" ло У (хо) 1 х, ...

х" ,' У (х ) о — ! хи г'(х„) ) х" о 1 х, ... х", х~ 1 х„... х,", о хо Если раскрыть скобки в полученных выражениях и расположить их по степеням х, то получим то же самое, что и в 0 2. При помоши интерполяционной формулы Ньютона можно получить представление разделенных разностей в виде отношения определителей. Действительно, как мы видели в 2 1, коэффициенты при сог (х) в интер аолирующей функции равны — —, где Ь; полу- Ь,' чаются из Ь путем замены 1-го столбца столбцом у(х-). В частности, при о,=хг и узлах интеРполирования хо, хн ..., х„коэффициент при х" будет равен 9 5) ФОРмулА ньютонА для неРАВных пРОмежуткОВ !09 Коэффициент же при х" в интерполяционной формуле Ньютона для неравных промежутков равен г'(хо, х, „х„).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,82 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6549
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее