Том 1 (1160083), страница 19
Текст из файла (страница 19)
2 Подставляя в полученное выражение б вместо а, будем нметгк )1 (х) = ~ К(х, з) Е„, ч, [У(з)) аз — 1) Фг (х) ~ бг (з) й„+, [У(з)] г(з. Полусумма последних лвух выражений дает нам: ь д (х) = ] )с (х, е) й„+з [у (з)] г(з, е где 2гс (х, з) = К (х, з) а)яп (х — з) — ~~~~ Фг (х) бг (з) з1яп (х; — з).
(4) 1=о Через Мйпх здесь, как н обычно, обозначена функция, принимающая значе1цге+1 прн положительных з н — 1 прн отрицательных е. Полученное ранее выра;кение лля остаточного члена имело более простой внд. Но оно было получено при использовании обобщенной теоремы Ролла, для справеллнвостн которой нужно предполагать, что все Ц'[тв, тв ..., та] (б = О, 1, 2,..., и), отличны от нУлв на [а, б]. Последнее выРаженне бУдет веРно в том слУчае, если Ущ Ун ..., Уа могУт быть использованы для целей интерполирования прн заданных узлах хг н %'[ты тн ..., т ] 4= О прн х б[а, б).
ф 5. Интерполяционная формула Ньютона для неравных промежутков Вернемся снова к интерполированию при помощи алгебраических многочленов. В этом параграфе мы получим формулу Ньютона, являющуюся видоизменением формулы Лагранжа. Она интересна сама по себе и послужит нам источником получения ряда новых формул. 1. Разделенные разности и нх свойства. Предварительно введем новое понятие — разделенные разности. Возьмем некоторую функцию у~)с и систему узлов интерполяции ха, х,, хз, ..., х„, х, Ф хр при бть /, ха~[а. б]. Для этой функции и узлов образуем всевозможные отношения у(хз) — у(хр) хг — хь у(хт) — у (хз) у(х„) — у (хн 1) —,~ (х! Хз) 9 51 ФОРмулА ньютОнА для неРАВных ОРомежуткоВ 1ОЗ хе 1(хе) 1(«0 «1) 1(х~', хе) 1(х,; х,) 1(хз1 х4) 1(хг) 1(хе; х„; хз) 1(х,: хд хм хе) 1(хн хд хе) 1 (хд хы хэ1 хе) 1(хя; хз; хв) хз 1 (хе) 1(ха) 1(х,) Так, для 1(х) = х; хе= О; х, = 2; х, = 3; х, = б; хд — — 6; хь= — 1 зта таблица примет следующий вид: 1(хд хг+,) 1(хд хсе,, х,~я) х, 1(х,) 1(тй хеьд х~+г1 тг+з) О 19 21 1О 49 5 5 125 14 91 216 12 43 Такие отношения называют разделенными разностями первого порядка.
Получив разделенные разности первого порядка, мы можем образовать отношения 1(х,; хт) — 1 (хе; хз) Хе — А'е 1(хи хз) — 1(хр хе) 1(х„и х„) — 1'(х„я; х„г) 12) хв — х, х„— х„ =1(х„,; х„,; х„). Эти отношения называют разделенными разностями второго порядка. Вообще, если мы уже определили разделенные разности и-го порядка1(хб хе+,,...1 «1, „), то разделенные разности(д+-1)-го порядка находятся при помощи формулы 1(х~", хгед..., '«геь) — 1(хг д хи...,' хг+в 1) — з (хе ~', хд...1 х~.ье).
хе+ ь — хс иногда вместо 1(х;; «1,, ..., Яььь) для обозначения разделенных разностей используют выражение (х;; х;,; ...; хгге). Условимся располагать таблицу разделенных разностей следующим образом: 104 твогня интвгполиговлния и нккотогыа вк пгиложкния 1гл. 2 у" (хг) 1(х;; х;„,; ...; хгеь)— (хг — хг+г) (хг — х;ее)... (хг — кь.ьь) + + г(хге,) + (хьеь — хг)(хг+1 — хг+ь) ... (хг+~ — хг е) У(к + ) (4У (хьев — хг) (хг+а — хьеь)... (хь+л — хаев т) ' Доказательство будем вести по индукции. Для 1ь= 1 это утвержде- ние справедливо, так как у(лье,) — у(хд у(хг) Г (хг+,) в'(х;; хг,) = хг+, — к; (хг — хы.,) (хг+ ~ — х;) Предположим, что оно справедливо для й=( — 1, и докажем его справедливость для й=1. В самом деле, У(хг„.п хге,',..., 'хг„г) — У(хп хь .г,...
, "хь„.ь д 1(х;; хгь,..... хгь,)— хгь г — хг 1 У(хс,~) + хг.,г — хг~ (хге, — х,+ь) (хг+, — хьев) .,. (хге, — хыа) ~(хг+ь) + (хг з хгег) (кгеь — кгев) . ° ° (кь.~е — хьеь) у(хг+ ) (хгеь — хгьд(хс,г — хгь ) ... (хг+г — хгьь,) г (хг) (хь — х,е,) (х, — кг+е), .. (х; — хгеь,) У(х„д (хь+г хг)(хь. г кь .ь),, (кг+ь «г+ь в) г (хьз,,) (хгьь ь — х,)(хгег г — хг+г)... (хгеь-г — хвать ь) В полученном выражении у(хг) и у(хге,) встречаются по одному Нам потребуется использовать некоторые свойства разделенных разностей. Прежде всего докажем, что разделенная разность й-ао порядка 1'(хб хе„; ...; х;.
а) равна 5 5) ФОРМУЛА НЬЮТОНА ДЛЯ НЕРАВНЫХ ПРОМЕЖУТКОВ разу и притом в виде у(х!) (хч — хсь,) (хч — хсь )... (хс — х!ьг) ' у(хс+1) (Хч+1 — Хг) (Х1Ь1 — Хг+1) ... (ХЬЬ1 — Х!Ь1 1) ' т. е. так, как они должны входить в доказываемое равенство (4). Все остальные г'(хг) входят дважды.
Объединяя эти члены попарно. получим: 1 Х1Ь1 — Хч( (Х вЂ” ХАЬ1)...(Х вЂ” ХУ 1) (Х вЂ” Х! 1)...(Х; — Х +1) у(хз) (х. — х1)... (х — х.— 1) (хг — хгь1) ... (х. — «г+! — 1) у(х,) (х.— хчь1) ... (х — ху 1) (хз — хг 1)... (х. — Хчьг,) 1 1 1 хв — х!1 (хгьг — хс) с х — х1+1 У(Х1) (Х; — Х1) (Х; — Х1,,)...
(ХУ вЂ” Х 1-1) (Х, — ХУ! 1) ° .. (Хв — Х111) что нам и требуется. Из доказанного вытекает ряд следствий. Следствие 1. Разделенная разность суммы или разности функций равна сумме или разности разделенных разностей слагаемых, соответственно уменьшаемого и вычитаемого, С лед с та не 2. Постоянный множитель можно выносить за знак разделенной разности. С ле дст вне 3. Разделенная разность есть симметрическая функиия своих аргументов, т. е. з (х1; хг+б...,' х;чь) =у(хч .,', хг', х; ьг) ...', х; ь) = =~(х,,г; Х„,; Х,; Х1,31 ", Хч,.)= Разделенные разности обладают еще одним свойством, а именно: разделенные разности 1г-го лорядка от хи являются однородными многочленами относительно своих аргументов стеиени и — я; "Ри й= п равны 1 и ири я ) и равны О.
Докажем это. Для разностей первого порядка имеем: хи — х" ~ь! ! и-1 и-г и-1 у'(х!! Х1+1)= ' =хч+1+х,+,х;+ ... +х! Х1+, — Хс 106 таогия интагполивования и накотогык ав пгиложяния ]гл. 2 Далее, если «,+.,+....ь а п а + '+а для любых 1, то У(х~+~'....', хгеа+т) — г (хб хек '...', ха+к) б а+ г а.~-к+1) хс а — х, й-а+1 у(хе~к+6 хс+6...', ха+а) — у(хп хс+6 .. хс+к) х;екег — хс Х "' ."" — Х' -' " асье~~~~+а . " ~секет ~и хг хз~1 ха+а хсьа+г — хт х.'х' ...
х а+1 ~~-1 ' ' ' г+аек з"'з+" +зк кьг Таким образом, и это свойство доказано. На основании его и следствий 1 и 2 заключаем, что разделенные разности порядка и от многочлена и-й степени постоянны, а разности более высокого порядка равны нулю. Последним замечанием можно пользоваться для обнаружения ошибок в таблицах многочленов или функций, близких к ним, 1 и. Вывод формулы Ньютона для неравных промежутков. Перейдем теперь к выводу формулы Ньютона. Пусть 1 ~ гс, хе, х,, х„— узлы интерполирования и Ек(х) — интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный для этой функции по узлам х, х,, ..., хк.
Тогда г-и (х) = ге (х) + ]А, (х) . — г е (х)] + ]г.г (х) — г, (х)] + + ]Е.п (х) — Е.п, (х)], (5) Рассмотрим отдельную разность, стоящую в правой части, Еа(х)— — г'.а,(х). Это будет многочлен степени и'. Он обращается в нуль в точках хе, хь ..., хк ь Поэтому Ц(х) — Ц,(х) =А(х — хе)Х )( (х — х,) ... (х — хк,) (А — постоянная). Для определения величины А положим х=хк. При этом получим: ;;х„) — 1.а,(хк) = А (ха — хе) (ха — х,) ... (хк — хк,). ФОРмулА ньютОнА для неРАВных пгомежгтков 16У Итак.
у (хл) (х, — х ) ... (х,— х,,) л — 1 (хь — х )... (»,— х,) (»„— х,) ... (х,— х„,) у(х ) (х.— ха) ... (х.— х.,)(х — х ) ... (х — х,,) л-а (х,— х ) (х,— х,) ...(х„— х„,) у(х)) (х — х„) (х — х,) ... (х — х,) (х — х с) ... (х — х„) =Х 3-о =)'(ха, х,;...; Ха) Отсюда г е (х) = ( (ха)+ (х — ха) Г (ха1 х1) + (х — ха) (х — хД г (ха', хй хг) + ., +(х — ха)(х — хс)... (х — х„с))'(ха; х,; ...; х„). (6) Эта форма записи интерполяционного многочлена Лагранжа и носит название интерполяционного многочлена Ньютона для неравных пролгехеутное, Она более удобна для вычислений, чем формула Лагранжа.
Добавление одного или нескольких узлов не приводит к повторению всей проделанной работы заново, как это было при вычислениях по формуле Лагранжа. Применим эту формулу к тем же примерам, которые были приведены в 2 2, Разделенные разности 1 2 2 3 3 10 5 6 3 2 1 з (х) = 1 + х ° 1 + х (х — 2) ~ — —,~ + х (х — 2) (х — 3) —, 21 3 108 твогия интагполиговдния и нвкотогыв яв пгиложяния (гл. 2 Разделенные разности 0 1 ( 2 3 3 10 5 б 11 120 '1 4 3 2 1 б 6 А,(х) = 1+х ° 1+х(х — 2) ( — — )+ х(х — 2) (х — 3) — + 2т 3 1О !11 + х (х — 2) (х — 3) (х — 5) ( — — ) . 120) ' ло °" ло У (хо) 1 х, ...
х" ,' У (х ) о — ! хи г'(х„) ) х" о 1 х, ... х", х~ 1 х„... х,", о хо Если раскрыть скобки в полученных выражениях и расположить их по степеням х, то получим то же самое, что и в 0 2. При помоши интерполяционной формулы Ньютона можно получить представление разделенных разностей в виде отношения определителей. Действительно, как мы видели в 2 1, коэффициенты при сог (х) в интер аолирующей функции равны — —, где Ь; полу- Ь,' чаются из Ь путем замены 1-го столбца столбцом у(х-). В частности, при о,=хг и узлах интеРполирования хо, хн ..., х„коэффициент при х" будет равен 9 5) ФОРмулА ньютонА для неРАВных пРОмежуткОВ !09 Коэффициент же при х" в интерполяционной формуле Ньютона для неравных промежутков равен г'(хо, х, „х„).