Том 1 (1160083), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(Еа — (и — 2)а! (Š— л + 1) (Š— л) ' ' ' + (2п — 1)! у,„'+ Е (Еа — 1) ... (Еа — (и — 1)а! (Š— л) (йп)! 1 Полусумма этой формулы и формулы Гаусса для интерполирования вперед (5) даст (. (,+Ей) =)',, +(Š— —,,')У,', +.'",, ) У,', + .. Е (Еа — 1) ... (Š— (и — 1)а)ге "',„ уацп Е (Еа — 1) ... (Еа — (и — 1)а! (Š— )(Š— — ! 1т + (2л + 1)! Ч» В этой формуле для обозначения параметра мы использовали Е' х — хе хэ вместо Е, так как он равен ', а не э.
Легко видеть. что л Ь Е'=-Š— 1. Сделаем замену Е' на Е. Тогда получим: 130 твогия ннтввполиговлния и нвкотогыв вв пгиложвния [гл. 2 так как 1 ~Г((э — 1)...(ГЯ вЂ” лт) Г(Гз — 1)...((а — (л — 1)е)(à — л+1)(à — л) ~ (2л+ 1)1 (2л+ 1)1 2 г(г — 1) "(г — (.— 1)')(г — )!г — — ! 1г 2 ) (2л+ 1)1 гу'а ! 7 зв~ гел Эта формула носит имя Бесселя. Она особенно удобна для интер- 1 полирования на середину, т. е. для г= —. действительно, в этом 2 ' случае все члены, содержащие разчости нечетного порядка, обратятся в нуль.
В формуле Бесселя используются следующие разности: 1 У .ь х „з х, У*'ь В качестве примера на применение формулы Бесселя вычислим а1п 16'30' по данным предыдущего примера. При этом. если в качестве х, взять снова 15, то Г=--. Вычисления дают: в 2 У, = ~ (У,+-7,! =-2 (0,258819 )-0,309017) = 0,283918, 2 7~ 16 ~~о + Уг1 16 ( 709 — 847) = 972, (. (16 30') = 0,284015. Получили тсчное значение с шестью десятичными знаками. Из используемых часто формул нам осталось получить еще только формулу Эверелггла. Чтобы вывести ее, исключим разности нечетного порядка из формулы Гаусса для интерполирования вперед (5) прн помощи соотношения ! лег гав уач ч, г о ' ~ 7) ФОРМУЛЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЦЕНТРАЛЬНЫЕ РАЗНОСТИ 1З! При этом у нас появятся члены с разностями 72,", имеющие коэф- фициент г (г — Р) ...
(г — л") (2л+ 1)! и разности 7„2" с коэффициентом Г(Р— 12)... (Р— (л — 1)2) (à — п) Г(Г2 — 12) ... (Р— (и — 1)2]((2 — лз) (2п)! (2Л -1- 1)! Г (Г2 — П ... ((2 — (л — 1)21 (à — п) (и + ! — Г) (2п+ П! Преобразуем последнее выражение, заменив Т на 1 — $, Получим: (1 — $) (1 — 6 — 1) (1 — (+1)... (1 — 1 — л+1) (1 — (+и — 1) (1 — 2 — н) (л + 1 — 1+2) (2л+ 1)1 Уз ! Х 2 х 12 АО .2 Х1 1'2 Формула Эверетта имеет некоторые особенности, отличающие ее от других выведенных нами формул. Прежде всего она содержит только разности четного порядка. Эго особенно удобно прн печатании таблиц, если в нлх необхздиио поместить также и разности. 2 (Р— 12) ...
(Р— лэ) (2п+ 1)! Окончательно формула Эверетта примет вид (2Л+ 1)! ( ((2 12 " +'Уо+ д, '7',+- ". 6=! — (). (11) В этой формуле используются разности, подчеркнутые в таблице черточкой: 182 теОРия интеРпОлиРОВАния и некОтОРые ее пРиложения [гл. 2 2 б 3 6 4 б 1 6 5 6 г ((2 — 1) — 0,061728 — 0,007006 — 0,049383 — 0,042498 Значения синусов и вторых разностей возьмем из предыдущих примеров.
Отсутствующие там вторые разности равны уз = — 0,000428 и узг. = — 0,000982. Промежуточные вычисления можно свести в следующую таблицу: г(г 1) 2 Уа (3) + (4) 1 б 0,0000115 0,0260723 0,026084 1 3 0,052165 0,0521446 0,0000119 0,0782170 0,0000267 0,078244 0,1042893 0,0000264 0,104316 0,1303616 0,0000180 ~ 0,130380 Далее, она содержит разности, соответствующие точкам хя н хн При этом количество вычислений не больше, чем по любой другой интерполяционной формуле, С другой стороны, этой особенностью можно иногда воспользоваться для сокращения работы при некоторых вычислительных процессах. Это, например, имеет место в процессах субтабулирозания, т. е.
в том случае, когда по данной таблице нужно составить новую таблицу с более мелким шагом. Действительно, при этом вторая строка формулы Эверетта перейдет в первую на следующем шаге и полученные нами на первом шаге ее значения могут быть использованы вторично. В качестве иллюстрации на применение формулы' Эверетта мы и возьмем пример на субтабулирование. Пусть по заданным значениям яп 9', з(п 12', ейп!5', з!Н18", сйп21' требуется найти значения синусов на отрезке [9', 21'[ с шагом в 30'. При этом Т и '. будут принимать значе- 1 2 3 4 5 ния —, —, —, —, —.
Коэффициенты формулы Эверетта будут равны: 6' б' б' 6' 6' 134 твовия интввполияования и нвкотовыв вв пвиложвния [гл. 2 Продолжение г (га — 1) у, (3) + (4) № 5 6 1 6 0,0597280 0,1!94560 0,1791840 0,2389120 0,2986400 21 1 3 22 1 2 2!о 23 0,238972 ! 24 0,298671 25 Получив эту таблицу, последовательно найдем значения синуса промежуточных аргументов. Так, з!п9 30' равен сумме чисел, стоящих в столбце 5 и строках 5 и б, сбп !О' равен сумме строк 4 и 7, сбп 1О'30' — сумме строк 3 и 8, з!п 11' — сумме строк 2 и 9, гбп!1'30' — сумме строк ! и !О.
Далее, з!п12'30' равен сумме чисел, стоящих в столбце 5 и строках 1О и 11, а затем так же, как и в предыдущем случае. Окончательно получим таблицу (в последнем столбце указана разность между полученным и точным значениями в единицах шестого десятичного знака): мн х ~ Разность х а!и х Разность ~~ х О )й' Мы уже говорили о том, что при издании таблиц выгодно печатать только разности четного порядка и тем самым предполагать интерполирование по формуле Эвере гта. При этом можно до 9' 30' !оь !оь ЗО' !1о 1!ь 30' 12а 12ь 30' 13о 13' 30' 14' 14' 30' 0,156434 0,165047 0,173648 0,182236 0,1909В 0,199368 0,207912 0,216440 0,224951 0,233445 0,241922 0,250379 — 1 0 0 — 1 О 0 0 0 0 0 — 1 05МЮ0270 0,0000480 0,0000610 0,0000600 0,0000410 15' йО' !бо 16о30 17' 17' 30' 18О !зь 30' 19' 19' 30' 20о 2О ЗО' 0,059755 0,119504 0,179245 0,258819 0,267288 0,275637 0,284015 0,292371 0,300706 0,30901? 0,317305 0,325567 0,333807 0,34201 9 О,'35(7203 0 0 0 0 — 1 0 0 0 — 1 0 — 1 1 а?) оогмглы, использгющив цвнтглльныв глзности 135 достичь дальнейших упрощений.
Пусть мы хотим использовать формулу Эверетта до членов с четвертыми разностями: ! !!з — 1') ! !-.а — 1) 1-' — 2з) + '~о ! 6 ~о+ 120 ~о Последние два члена первой и второй строк можно записать в виде о !!2 12) о 1оо 1),1 оз б г?о ?о1 + [ 4 — Гз где И вЂ” некоторая постоянная. Выражения — и, стоящие 20 20 в последних квадратных скобках, изменяются незначительно при изменении ! и ! в промежутке )О, !), в котором обычно используют формулу Эверетта. Поэтому можно так подобрать И, что множители при четвертых разностях в последних членах будут очень малы. Если при этом и сами четвертые разности не очень велики, так что их произведение с этими множителями не окажет влияния на верные десятичные знаки ! (хо+1И), то последние члены можно целиком отбросить.
Тогда мы можем печатать в таблице вместо настоящих вторых разностей ?о модифицированные разности 7~ — Ц~ и использовать формулу Эверетта только до вторых разностей. Выберем И так, чтобы ! был равен нулю. Это даст И = —,! 4 — — ~ = — = 0,1833 1 Г 1т П ~О:, З~ 00 4 гг На практике используют значение И = 0,184. Г!ри этом И вЂ” ---,—— 20 4-- $~ и И= —, изменяются в пределах от — 0,016 до 0,034. !4оэффицненты прн ?" меняются от — 0,00077 до 0,00053, Следовательно, даже если четвертые разности достигают 600 единиц последнего знака, наш прием будет применим. Сказанное здесь о формуле Эверетта можно частично перенести н на лругие интерполяционные формулы.
Так можно использовать модифицированные разности и с другими формулами, Можно использовать симметрию коэффициентов многих интерполяционных формул. 136 твогия интввполивования и ннкотогыв вв пгиложвния [гл. 2 1йю (!) й.„, = и 1 — (х — ха) (х — хй — )г) (х — хч+- й)... ... [х — хе — (и — 1) (г[ [х — х„+ (и — 1) й[(х — хй — п)г) или Лйи-~-гу~йиеп (г) Йг„=, С (Р— 1') (Р— 2') . (Р— п') (2л ' 1)! Вайа!йю (() 2, С(тг — !г) РР— 2г)... [Р— (и — 1)г[(г — и) (12) (13) Если производные заменить разностями, помня, что мы говорили об этом при выводе остаточных членов формул Ньютона, то получим: г," Ягй (2 +1, т(Р 1г)(Р 2г)... (Р иг). )~ги-и — 2, а(Р— 1')(Р— 2')...
РР— (и — 1)'[(С вЂ” п). (15) ги-л (2п)~ " (14) Как и для формул Ньютона, ошибка оказывается приблизительно равной первому отброшенному члену интерполяционной формулы. Для формулы Гаусса для интерполирования назад узлы брались в таком порядке: х, х — )г, х +й, х„— 2й, хе+27г, . Поэтому у~йл-;" и (!) Кги (2и+ 1)! (х — ха) (х — ха + й) (х — хй — )г)... ... (х — ха+и)г)(х — хе — пй) = айи, гу1ы;-П (!) г (Р 1г) (Р 2е! (Р лг) (2п+ 1)! (16) и упю (() Юг„, =, (х — хй) (х — хе 4- й) (х — хй — й)...
л-1 (2 ... [х — хе -[-(п — 1) й[ [х — х„— (и — 1) (г[(х — х„л- л)г) = Лйиу1йм (!) 1(Р— 1') (Р— 2')... [Р— (л — 1)г[ (С + п). (! 7) (2п)! 2. Остаточные члены интерполяционных формул с центральными разностями. Перейдем теперь к сравнительному анализу различных интерполяционных формул с точки зрения их практического применения. Прежде всего исследуем остаточные члены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
