Том 1 (1160083), страница 27
Текст из файла (страница 27)
т» (» ) где х; — некоторые точки отрезка [а, Ь[, х; Ф х) при 1 ~ у. Не уменьшая обшности, мы можем предполагать, что ни одна из точек хг не совпадает ни с а, ни с Ь. В противном случае мы воспользовались бы периодичностью функций и сдвинули бы наш отрезок [а, Ь[ на некоторую величину вправо или влево.
Если функции ча, ро ..., Т„составляют систему Чебышева, то О(х) не может обрашаться в нуль ни в одной точке х ~ [а, Ь[, за исключением хм в которых, конечно, он равен нулю. Докажем, что в этом случае О(х) меняет знкк при переходе через каждое из хг. Предположим, что это не так и х„— та точка, при переходе через которую В(х) не меняет знака. Тогда рассмотрим определитель В(х), построенный так же, йак и О(х), за исключением (Ф-[-!)-го столбца, в котором рг (х„) заменены на р,. (х'), где х' — произвольная точка [а, Ь[, отличная от всех хг. В(х) также является линейной комбинацией чй (х). Она отлична от нуля в точке хь, а в силу непрерывности функций р;(х) и в некоторой окрестности хы Рассмотрим функцию Ф(х) = О(х) — ).б(х), где ), — некоторое действительное число, имеющее такой знак, что )-)(х) и Ю(х) в некоторой окрестности хь имеют одинаковые знаки.
Обозначим через 2е наименьшее расстояние межлу точками хо хы ..., хь., х . х'„. Выберем ). настолько малым по абсолютной »' величине, что ф(хь+е) и ф(х„— а) имеет такой же знак, как и В(х„-4 — е) и с)(ха — е). Тогда ф(х) имеет в точках ха — е, х„и х„+е чередующиеся знаки и, следовательно, имеет по крайней мере лва корня на интервале (х„— е, х„+е), [(роме того, ф(х) обрашается в нуль в точках х,, х,, ..., хь ,, х„„,, ..., х„. Таким образом, эта функция имеет на отрезке [а, Ь[ и+ 1 корней. Но она является линейной комбинацией эг(х), не равной тождественно нулю.
Следовательно, она не может обращаться в нуль на отрезке [а, Ь[ более чем в л точках. Мы пришли к противоречию. Таким образом, мы показали. что О(х) при переходе через каждую из точек х; меняет знак. В силу периодичности ~;(х) Р (а) = 1)(Ь). г!так, при возрастании х от а до Ь определитель Е)(х) л раз меняет знак и прикодиз 154 теогия интегполиговлния и некотогые ее пгиложения 1гл. 2 к прежнему аначению. Это может быть только в том случае, когда а — четное число. Простейшей периодической системой Чебышева является система 1, 5!п х, сов х, 3!п 2х, со52х, Период этой системы равен 2к.
Мы можем ее использовать и для интерполирования функций, имеющих другой период. Для этого нужно только предварительно линейной заменой независимого переменного сделать длину периода равной 2я. В силу предыдущих рассуждений мы должны рассматривать систему 1, з!их, созх, з!п2х, соз2х, ..., з)пах, совах. Покажем, что такая система функций при любом п образует периодическую систему Чебышева.
Для этого рассмотрим произвольный тригонометрический многочлен Т„!Х) = — + ~а !аь соз Йх+ да з!п )гх), ь 1 коэффициенты которого комплексные или действительные числа. Вудем говорить, что этот тригонометрический многочлен имеет порядок и, если по крайней мере один из коэффициентов а„ или Ь„ отличен от нуля. Если а„ +И„ чь О и а„ вЂ” !д„ чь О, то Т„!х) имеет ровно 2н корней в полосе О ( Кех ( 2г. Действительно, производя замену независимого переменного в'м= г, мы получим: Т„!х) = и", сага = г "гоги !г), где се= при !г )~ б .. се=, — при и ( О.
Рг„!г) является аь — !Ьл ак+ гвь алгебраическим многочленом степени 2и относительно г. В силу наших предположений относительно коэффициентов Т„!х) коэффициенты при гав и г' этого многочлена отличны от нуля, Следовательно, он имеет ровно 2п корней и ни один из корней не равен нулю. Каждому из этих корней в силу определения г будет соответствовать одно и только одно значение х, принадлежащее полосе О ( кех ( 2я. Это и будут корни Тя !х).
Других корней Т„ !х) иметь не может. Если условия, которые мы накладывали на а„ и Ь„, не выполнены, то Т„!х) может иметь в нашей полосе менее 2к нулей. Как следствие предыдуших рассуждений получаем: если два тригонометрических многочлвна совпадают в 2н+! точках хв, х,, ..., хг„при х;+ ху, ! чьЛ ха~10, 2я), то они совладают толсдвственно. Перейдем теперь к фактическому отысканию тригонометрических интерполяционных многочленов.
Пусть нам заданы 2н+1 узлов х, ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 155 й[О х1..., хап, принадлежащих полуотрезку [О, 2п).' Определитель Ь в нашем случае примет вид 1 созха 2)п ха го22хп 2)п 2ха ... соз лхп 2!п лхп 1 соз х! 23п х1 соз 2х! 2)п 2х, ... соз лх) 2)п лх, [ 1 соз ха„2)п хт„со22хт„з)п 2хтп ... соз лхтп 2)п лхт„ е3Ф" + е 2 е'Ф' * — е еп''+е "'' ешпь — е п и' 2 е »3», + е-»1», 2 е!и'+ е с»' 2 Е)»3 — Е в» Е"В»3 — Е 1» — 3» П» — 1П» П1» »1», ВЗВ» »3», Е тп+ŠŠ— Е 2 2! ''' 2 2! Преобразуем этот определитель, вынося из столбцов общие множи 1 1 тели —, или,— и прибавляя к каждому столбцу с четным номером стол 2) бец с нечетным номером, на единицу большим. В результате будем иметь; 1 2Е)п' Е'и' — Е )и' ...
2»3В»3 Е'В»3 — Е '" 1 2е! ' е)п' — е ' ' ... 2е™м' е'и ' —, е 1 А=в 22В )В 1Е» и» вЂ” )п )п» )пп — 323 1 2е 2В е 2 — е ... 2е е — е Вынесем двойки за знак определителя из столбцов с четными номе рами и вычтем эти столбцы из столбцов с нечегнымн номерами на единицу большими. В полученном определителе 1 Е'~' Е ~3 .
Е"'~' Е и'и 1 Е1»3 Е 'и ЕВ3» Е-"'и [ ])33 Ь = —,— 2п)п )П -1» ВВ» 133» вынесем из каждой строки е ' ~. 1 = О, 1, 2...., 2л. В результате этого найдем"! ел)ПЛ ег!В+ )~' е ! П3-1)»Ъ е 3!В-1)п, Еап)ев еа»3Ж, ~е хе 3-О 2»)В Е)!пен», В»» 3!ВФНФ 3!и-Н» Епк» = УР' [1, соех, з)пх, ...[.
Найдем величину этого определителя. Для этого представим каждую из тригонометрических функций в показательной форме. При этом получим: 32 = 156 теОРия интеРпОлиРОВАния и нРкотОРые ее пРилОжения [Гл. 2 Теперь переставим столбцы так, чтобы получился определитель Вандермонда. При этом придется произвести л(а-+1) транспозиций, а определитель примет вид ав ве ~~х в1вва1 ЛЕ ( 1) 2вгв гввв О1Хяв мих 1 е вв е ов ... е Как известно, такой определитель равен: -1И ~~ Х ( — 1) ~ о П (~мь ~м~,) ов> А >1> о 1 (хь+х~) (' 1(хь-х ) — 1(х,,-х ) ~ Ц е ' (е Я вЂ” е Ов>Ь>1>О а это выражение легко приводится к тригонометрическому виду: Ь 2вв П..
хь — х1 2 ав>Ь>1>О Пусть искомый тригонометрический многочлен имеет вид Т„(х) = ао-+.~, (а„сов Ах+-ЬА гйп Ах). К-;.1 Условия, налагаемые интерполяцией, можно записать в виде /(хо) = а, +(аьсовАхо-+дав)п Ахо) А=1 ) (х,) = ао +-.~~~ (а„сов Ах, .+ А„в)п Ахг) Ь 1 (2) ((х„1) =ао+,,~~(аьсовАхтв+-дьв1ПАх, ). ~ Ь 1 Будем рассматривать равенства (2) и равенство (1) как систему однородных линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов при 1, совАх, ~!и Ах, совАх,, ч(ПАхо, и при Тв(х), У(хо),...
..., У (Хов). Эта СИСтЕМа ИМЕЕТ НЕтРИВИаЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ (КОЭффИЦИЕНтЫ вв -1И Р1 х. в1вео1 ( — 1) 2" 1- 1х, а1х, еов1х, 1х ЕЯ1х Овгх ~ 10[ интввполиговлнив пагиодичзских етнкций 157 при Т„(х), Т (хв) равны — 1). Следовательно, определитель системы равен нулю: Т„(х) 1 сов х Мпх ... совлх 51плх У(хв) 1 сов хв Яп ха ... сов лхв 51п лхв У(х1) ! сов х, 51п х1 ... сов лх1 51п лх, Г(хвл) 1 сов хв„ввп хв„... сов лхв„в1п лхв„ Раскрывая этот определитель по элементам первого столбца, получим: Тл (х) Ь вЂ” 7 (х1) Ь1+Г (хД ав — ... — У (хвл) авив 1 = О. Здесь Ь1 означает определитель Ь, в котором 1-я строка заменена первой строкой из написанного выше определителя. Так как эти определители имеют такое же строение, как и определитель Ь, то мы получим после очевидных сокращений: 7;,(х) = ~~) Т"(хв) Х в-0 51п — 51п —...
51п ' в!п " ... 51п— Х вЂ” ХВ Х вЂ” Хв Х вЂ” ХВ 1 Х вЂ” Хв„, Х вЂ” Х„ 2 2 ''' 2 2 2 Х ... () Хв — ХВ Х — Х1 Хв — Хв 1 Хв — ХВ+1 Хв — ХВ„ 51п — '51п ', ... яп ', ' 51п ' в+ ... в1п Что это действительно тригонометрический многочлен, обнаружи- вается простыми тригонометрическими преобразованиями. В чисдителе каждого слагаемого мы имеем произведение 2и множителей вида Х вЂ” Х1, яп —. Произведение двух таких множителсй дает 2 Х вЂ” Хг, Х вЂ” Х. 51П , 5!П 2 1 ~' х.— хг, ха+ хв хь+ х.
— СО 5 — БОБ Х СО 5 2 — 51П Х 51П 2 т, е. тригонометрический многочлен первого порядка. Теперь дока- жем, что произведение двух тригонометрических многочленов Т гх) и Т„(х) соответственно порялков т и л даст тригонометрический многочлен порядка лв + л. Действительно, в это произведение войдут члены вида 5!п 1вх 5!п 1х, яп лх сов 1х, соз 1вх соз 1Х. Но 1 5!п лх 5!п [х = — [соз (л — 1) х — сов (15 + 1) х[, 2 5! п Дх сов 1Х = —, [5!и (Ф + 1) х + яп (й — 1) х[, 1 2 соз)вхсо51х= —, [соз(й — 1) х [-сов(1+ 1) х[. 1 2 Если коэффициенты многочлена т,„(х) обозначить через а!"'> и Фм1, а коэффициенты многочлена Т„(х) буквами а1л1 и 11!51, то коэффициент 158 ТЕОРИЯ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ [Гл. 2 при сов [т+л) х в произведении Т Т„будет равен — 1ам аи — [с„д, ], 1 1 (си) (П1 Гси1 СЕ!1 а коэффициент при Б[п[т-+п)х — ~ ~а [с„1+айюЬ ' ], По крайней мере один из этих коэффициентов отличен от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
