Том 1 (1160083), страница 29
Текст из файла (страница 29)
=( ) у 2т 2 . Г 5!22х 2 ) 'рг2 2 $ 11. Общая задача интерполирования алгебраическими многочлеиамн 1. Интерполяцнонный многочлен Эрмнта. Рассмотрим теперь более общую задачу, чем та, которую мы решали. Пусть нам задана базисная система интерполяцнонных функций !рв(х), р,(х), в„(х), ... на [а, Ь[. Требуется найти такую их линейную комбина- цию ср(х) = ч~р с,рв(х), !то <р(хв) =у, <р'(х,) =у,', ..., ф" -и (хв) = у!"-'1, <р(х ) =у„, ср'(х„) =у'„, <р('» ')(х ) — у('» '), ~ (2) где у!р! — заданные числа, а хв~[а, Ы (1=О, 1, 2, и; х! ~ ХР при 1 ~ )). Так как число условий, которые мы накладываем Проверкой убеждаемся, что этот многочлен удовлетворяет поставленным условиям.
Как мы вилели. практическое построение тригонометрических иитерполяциоиных многочленов чрезвычайно грОмоздко. Естественно ожидать, что если узлы равноотстоящие, то задача упростится. Построение тригонометрических многочленов для случая равноотстоящих узлов составляет задачу гармонического анализа. К этому вопросу мы еще вернемся в разделе среднеквадратичных приближений. Так как последние две задачи имеют всегда единственное решение, то системы функций 1.
сов х, сов 2х, ., сов ах и чя х, 5!Н2х, ... 51пих первая иа [О, л), а вторая на (О, л) образуют системы Чебышева. 164 теОРия интеРпОлиРОВАния и некотовые ее пРилОжения (гл. 2 на у(х), равно ао+.а,+ ... +а„, то для того, чтобы наша задача всегда имела единственное решение, требуется, чтобы яо = ао + а, + ... + а„— 1 (3) и 9в (Хо) ~р '(х,) То (Хо) в', (х,) ~о, (хо) о,' (хо) ~р~," -П (х ) жоао-О (х ) то (хо) 'Рг (хд <р1 о-О (Х ) т (.'о) чь О.
(4) ~7( о г)(х). ~( о ~)(х ) <7( и ~)(х ) Н (х) — уя(х) = в„(х) Н „(х), в„(х) =(х — х,)(х — х) ... (х — х„). где (6) При любом мцогочлене Нв „(х) функция Нв(х) = Ь„(х)+в„(х) Нв „(х) (7) принимает в узлах интерполирования значения уо Подберем теперь Нв „(х) так, очтобы были выполнены и остальные условия. )1ифференцируя обе части равенства (7), получим: П (х) = б„(х) + в„(х) Н „(х) -~- в„(х) Н „(х). Полагая здесь х=хо будем иметь: Н (хо) = 7.„(хо)+в„(хо) Н „(хг). (9) Так как в'„(х,) чь О, то в каждой точке, в которой задано Н' (х,), мы найдем Н „(ха. 11ифференцируя еще раз, получим: Нв (Х) = 7 о (х) +.
ооя (Х) Нв „(Х) + 2во (х) Нв-и (Х) + +- в„(х) Н „(х). (10) Мы не будем здесь входить в подробности общего случая, а ограничимся лишь алгебраическими многочленами, т. е. положим ~ро(х) = х*. Итак, нам требуется построить алгебраический многочлен степени не выше т, удовлетворяющий поставленным выше условиям. Предположим, что такой многочлен существует, и обозначим его через Н (х). Наряду с Н (х) рассмотрим интерполяционный многочлен Лагранжа уо(х), принимающий в точках х,, х,, ..., х„значения ув у,, ..., у„. Разность Н„(х) — 7.„(х) должна быть много- членом степени не выше т, обращающимся в нуль в точках хв хп ха, ...
х„. Следовательно. й 11[ задача интвгполигования алгввгаичвскими многочлвнлми 165 Полагая снова х= хи найдем: Нио(хо) = ьи(хг)+ми(хо) Н и(х))+2о)и(хг) Нио и(х)). (11) . ни,-а) (а,-а) Нт-и (хо) = ао ° ° ° г)ио-и (ло) = ао l ,.И,-а) )и,-а) Н и(х,)=зп ..., и и (х,)=л)' Н и (хо ) = го; Н и(х,)=л,; (12) (" а) ( и а) Н „(х„)=ли; Н,„-и(х)=ли,..., Н "и (Х )=гии где а)й — известные числа.
К Н и(х) применим точно такой же прием. Получим некоторые условия, наложенные на Н и(х). В конце концов, нам потребуется построить интерполяционный многочлен Лагранжа по данным в некоторых точках х). Посмотрим, какова же будет степень полученного таким образом многочлена Нт(х). Эта степень будет равна числу узлов, в которых заданы уо плюс число узлов, в которых заданы у',, плюс число узлов, в которых заданы у,.
и т. д., плюс число узлов, в которых заданы самые старшие, входящие в условия, производные и минус единица. Таким образом, эта степень равна по+ а, + ... + аи — 1 = т, что и требовалось. Построенный нами многочлен единственный, который удовлетворяет поставленным условиям. Действительно, если бы имелось два таких миогочлена Нт(х) и Йт(х), то их разность Н (х) — Й (х) представляла бы собой многочлен степени не выше т, имеющий на отрезке [а, 1)[ т+-1 корней (с учетом кратности корней), что невозможно.
Да и сам процесс построения в силу того, что все Н „,(х) определялись единственным образом, дает основания утверждать единственность построенного многочлена. Приведем примеры на построение таких многочленов, которые мы в дальнейшем будем называть интерполяйионными мноаооленами Эрмита. Из этого равенства мы сумеем найти Нио „(хо) в тех точках, в коо торых заданы И (х). Продолжим этот процесс далее. Каждый раз коэффициентом при старшей производной от Нт и(х) в точках хо будет о)'„(х,). Таким образом, мы сведем нашу задачу об отыскании Н„,(х) к задаче об отыскании Н и(х), удовлетворяющего условиям: 166 тногия интавиолиговлния и никотогыв яв пгиложиния (гл.
2 Пример. Пусть значения 7"(х) и ее производных в точках х = О, 1, 2 заданы таблицей: 129 448 1344 Найти интерполяционный многочлен Эрмита. Интерполяционный многочлен Лагранжа 5„(х) в этом случае будет равен 7 ( ) 1(х — 1)(х — 2) ( 2 х(х — 2) ! 129х(х — 1) 63ха — 1 2 Отсюда Н,(х)=63х' — 62х+! +х(х — 1)(х — 2)Н,(х).
Дифференцируя это выражение, находим: Н; (х) = 126х — 62 + (Зх' — бх + 2) Н (х) + (х' — Зх'-! — 2х) Н, '(х). Подставляя сюда значения х= О, 1, 2, получим: На(О) = 31; Н4(1) = 57; Н (2) = 129. Вторая производная от Н,(х) имеет вид Н; '(х) = 126+(6х — 6) Н, (х) + 2 (Зх' — бх+ 2) Н,'(х) +- + (х' — Зх' -1- 2 х) Н' (х), Отсюда находим значения Н'(х) в точках 0 и 2: Н' (0) = 15; Н,' (2) = 111. Итак, нам надо найти многочлен Н,(х), удовлетворяющий условиям: Н (о) 31 На(1) 57 Н (2) 129 Н,'(0) = 15; 4( Записываем его в виде Н (х)=31( )( ) -)-57 (х ) -«-129 4 2 — 1 2 + х(х — 1) (х — 2) Н, (х) = 2 Зх' + Зх+ 31 +- (ха — Зхя -)- 2х) Н, (х).
й 111 злдлчл ннтвгполиговлння ллгввглнчвскнмн многочлвнлмн 167 Дифференцируя, находим: Н, '(х) = 46»+- 3 -)-(Зха — бх+. 2) Н, (х) -+ (х' — Зх'+ 2х) Н' (х). Подставляя сюда»=0 н 2, определяем Н)(0) = 6. Н,(2) = 8. Н,(х)=х+6 Отсюда Н,(х) =(63х' — 62х+1)+-х(х — 1)(х — 2)[2зха-)-Зх+31 ~- + х (х — 1) (» — 2) (х + 6)1 = 1 -1- х'. Н (х)=А„(х) +ы„(х) Н „(х), в„(х) = (х — хе) (х — х,)... (х — х„). (13) где Дифференцируя, найдем: Н' (х) = Е„' (х) +-ы„'(х)Н „(х) + ы„(х) Н'„ „(х), (14) Отсюда у,'.
= Е„'(х;) + вч (х~) Н „(х;), (15) у — Е„(»<) Н „(х,)= ч„(»,) Итак, Уг — Е„(» ) (»,) Н„, „(х) = а (»д (» а) "' (»г) =Х' (16) Пусть ч (Х) = У.щ (х). (х — х,.) ч„(» ) (17) Тогда интерполяционный многочлен Эрмнта можно вапнсать в виде Н,„(х) = ~~ у,1.„;(х) + ~~ ы„(х) , " ~ 7.гм (х). а О я 0 (18) Рассмотрим еще один пример.
Найти интерполяционный многочлен Эрмнта, принимающий в точках х,, х,, ..., »„значения уы у,...., у„н имеющий там прона- водные, равные у', у'„..., у'. В этом случае э 1Ц злллчл ннтзгполигования алгвзванчвскнми многочлвнамн 169 П,ри х=ха получим: ь,„(х) Рг(х) = ~ [А+В(х — хг)), Определим коэффициенты А н В. Полагая в последнем равенстве х= хо получим: гз 1 = в„(х,) А.
(23) Отсюда А= 1 э„(хг) Лифференцнруя равенство (23) и полагая затем х= хм найдем: 0 = Р' (хг) = а'„(хг) в„"(хг) А + м'„(хг) В. Отс юла  —— м (Х) га в„(ха) Коэффициент Рг(х) можно представить в другом виде; 1 — " (х — хг) ~ ~„(х,.) Ф 2 ~и( $) = Е„,(х) 1(1 — —,— (х — хг) ч(х) ю (Х) Рг(х) = (х — х )тм„(х,.) Итак э Ф ю Н~(х) =,')' уг ~1 — ", ' (х — хг)~ Е.'„,(х)+ '5' у,',(х — хг) Е'„,(х).
Окончательно получаем: Н (х)= ~~) ~Уз ~1 — ", (х — хг)~+У',.(х — хг)~ Е„н(х). (24) -„(-) 2. Общий вид интерполяцнонного многочлена Эрмита. Найдем теперь общий внд ннтерполяцнонного многочлена Эрмнта. Для этого ь„г (х.) Рг (хь) = Е' г (хь) — м' (х ) ~~~, Е у (ха) = т о "(д) =Е г(х„) — У.„г(хь)=0. (22) / Таким образом, Р,(х) имеет лвукратный корень прн всех х= ха, й~д Следовательно, этот многочлен имеет в качестве множителя н~, (х) э . Так как степень Рг(х) равна 2л+. 1, то его можно запи(х — хз)э сать в виде 170 теОРия интеРпОлиРОВАния и некОтОРые ее пРилОжения (гл. 2 построим многочлены Н; (х) степени не выше л«, удовлетворяющие следующим условиям: Н«(х„)=Н,' (х„)=...
=Н,'"д "(х,)=0, Н,~=1 (1=0, 1, 2, ..., в; /=О, 1, 2, ..., ૠ— 1). (25) Н,(х) =А«««+А~ ~(х — х,)+ ... +А(,.«у )(х — х«)"«« . (27) Для определения коэффициентов А„воспользуемся тем же приемом, (ы что и в предыдущем примере. Пусть («(х) = (х — х,)"' (х — х,)"' ... (х — х,) 'и. (28) Тогда А«"1.+А««'1(х х«)+... 1 А('««)(х х ) «« (х — »«)"«« НН (х) (29) Подставляя сюда х= х«, получим: (х — хД ' НО (х) з-ьа, ««(х) (х — »«)« (30) Первое отношение непрерывно прн х=х«.
Следовательно, ~(» — х«) «~ ~(» — »«) «1 Предел второго отношения найдем по правилу Лопиталя: Н«1 (х) 1 Н$ (х) 1пп = Йп ~~~, 1 (» — х«) 3 ~~~, /1 «1 Итах, А1«1 1 1 (» — »«) «) А 1 ] (3 1) Так как НН обладает в точках х,, х,, ..., х«п х,+и.... х„нулями соответственно кратности а,, а,, .... а;,, а,ьп ..., а„, а в точке х« нулем кратности 7', то Н« =(х — х,)" (х — х,)" ... (х — х«,)"«-«(х — х«)«Х Х (х — х«««)'' «... (х — х„)" Н««(х).
(26) где Й«(х) — многочлен степени ૠ— / — 1, не обращающийся в нуль прн х=х«. Представим его в виде в 11) злдлчл ннтввполигозлння ллгвзвличвскнми многочлвнлмн 17! Аналогично находим коэффициенты А(ы.. Ц, 1ь> 1 ль ~ (х — хг) а Н;д (х) А;, = — Иа ье Мх" 1 Я(х) (х — х;)У (32) Применим правило Лейбница для дифференцирования произведения лхл м (х) (х — х))( ~Г аа я (х) (х — хг)а Производные ~(х — хг)» ~ непрерывны в точке х=хо Поэтому ~ (х — хг) г ~ ~ (х — хг) а ~ 4 ~4 Для определения Нгу(х) ' (ь в) Иш аье (х — хг)а воспользуемся таким же приемом, как н для отыскания А, . Много- (В) член Ны(х) имеет степень не выше гв.
Он делится на (х — х,)т. Следовательно, его можно записать в виде Н„(х) = В(',-'(х — хг)'+ В(п(х — х;)"'+ ... -(- В(',"-'з(х х,.)™ нли . =В(',)+В~/(х — х,)+ ... +Вф "(х — хг)"-'. (х — хг)у Отсюда Нм (х) 1'~ '" = (Д вЂ” Р)1 Во-, (л я) (х — ху)а) г В нашем случае /+(з — р </+й <1+аг — ~' — 1=а — 1. Но В)", я), будучи коэффициентами разложения НН(х) по степеням (х — хг), записываются в виде езс1+ ь — в) В(ь-э) н~я (хВ (У+ Д вЂ” р)1 172 тзогня ннтагполнговлния н нзкотогыа ее пгиложения (гл. 2 в," ,= —.' .
(о) ! у! Итак ,„) ! Ль (х — х!)' Нг, (х) А!)) = — 1)ш Л! т т лх" ы(х) (х — хг)г 1 (х — хг) ро л)у! а( ) ) (ЗЗ) а -)-) 1 ц(х) кт 1 Г(х — хг) гт Фг т(й) Н;~(х) =-;, — (х — хг) . (34) ь (х — хг)» ь е ' (х) е т< Используя построенные нами функции Н)у(х), нетрудно написать выражение для Н,(х). Легко вндеть, что и ч Н„(х) = ч; ~ у()) Н, (х) г-о у-о Ц илн ч Г' «г-у-г , „)ю г-о у-я ь о (х) м а (х — ~д 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
