Том 1 (1160083), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Это н доказывает утверждение. Таким образом, каждое слагаемое написанной интерполяционной формулы является тригонометрическим многочленом порядка л и, следовательно, вся сумма также является тригонометрическим многочленом порядка не выше и. Выполнение иигерполяционных условий проверяется непосредственно. Таким образом. Тп[х) решает поставленную задачу. Можно было бы не производить выкладок с определителями, а сразу написать выражение для Ти[х) и проверить, что все условия будут выполнены. Приведем пример на применение полученной интерполяционной формулы. Построить тригонометрический многочлен второго порядка. котосс 3сс рый бы в точках О, —, —, и, — принимал соответственно значе- 3' 2' ' 2 1 пия 2, — . О, 2, О.
В этом случае получим: 2 ' Б1П ( — — Д Б!п ( — — — ) Б1П ( — — — ) Б1п ( — — — ) Б1П вЂ” Б!п — БГП вЂ”, Б1П— 6 4 2 4 х (х и') (х я') (х Зп') БСП, Б1П, Б1П вЂ” — Б1П вЂ”, Б1п — Б1П ( — — — ) Б!и ( — — —,) Б1п ( — — — ) х (х п~ (х;с~ (х ЗГ1 Б1П вЂ” Б!П вЂ”,— — — Б1П вЂ” — — БГП Б1П вЂ” БГП( —, — — ) Б1П ( — — -) Б1П (- — — ) 61 !2 4/ '12 4) Числитель первой дроби будет равен Б1П( —,— — ) Б1П( 2 — — ) Б!П( — — —,) Б!и( — — — ) = 1 1 1 4'З .
= — -+ -- сов х+- — сов 2х — — Б[п2х. 16 8 ' 16 16 Знаменатель ее равен я . и . сс ЗГ 1 Б1П вЂ” Б!П вЂ” Б1П вЂ”, Б!П -- — = —. 6 4 2 4 4' Итак, первая дробь равна 1 1 $/3 2 — + соз х [- —, соя 2 х — —, Б[п 2х. 2 2 интагполигованив пзгиодичвских санкций 159 6!О Числитель второго слагаемого даст в!и — в!п ~ —, — — ) яп ~ — — — ) вш [ — — — = — — яп 2х, 12 4) 12 2) [,2 4 ) 8 а знаменатель 7 1" 3 — вш — ып — в!п — в!п — =— 6 3 12 12 а второе слагаемое равно — яп 2х. УГ 3 3 Числитель третьего слагаемого равен яп — в!п 11 —, — — ) яп! — — — ) яп! — — — ) = 2 12 6) 12 4) !2 4) Т'3 )гз )гз 1 = — — + — сов х — — сов 2х — — в!п 2 х, 16 8 16 16 а знаменатель и 5 я Зх 1 3 5!П вЂ” СО5 — Спв — Спв — = —— 2 б 4 4 4 и третье слагаемое равно 1 1 1 — — сов х [- — сов 2х+- — 51п 2х.
2 2 21' 3 Складывая найденные выражения для каждого из слагаемых, поля. чим: Те(х) = 1 +со5 2х. Проверкой убеждаемся, что действительно этот многочлен удовлетворяет всем условиям, Если интерполируемая функция четная, то естественно искать четный интерполирующий многочлен. Точно так же для нечетных интерполируемык функций естественно разыскивать нечетный интерполирующий многочлен. Рассмотрим сначала случай четных функций г(х). Пусть Г(х) задана на отрезке [ — к, +н[. В качестве базисной системы интерполирующих функций возьмем 1, сов х, сов 2х,..., сов пх.
Каждая из функций этой системы также четная. Поэтому мы можем задавать узлы интерполирования на какой-нибудь иа половин рассматриваемого отрезка. Выберем полуотрезок [О, к), Пусть на нем заданы узлы х,, хн х,, ..., х„и у,, у,, у,, ..., у„— соответствующие им значения функции у[х).
Если среди узлов имеется точка О, то бУдем счи гать, что она соответствУет хе. ПостРоим !60 таовия интввполиговлния и некотогые ев пвиложения [гл. 2 тригонометрический интерполяционный многочлен порядка а, принимающий в точках хз, х,, ..., х„, — х,, — х,, ..., — х„соответственно значения УБ, уп ..., у„, уо у,... „у„. Мы можем применить предылущие рассуждения, так как длина отрезка равна 2п. При этом получим: »'„(х) = 510, 510, 510, 510 —, ...5!п х — х, х -[- х», х — хз х -[- хз х — х„х -[- х„ 2 2 2 2 "' 2 510 2 у з!п —, в»и хз — х» хз+ х» хз — хз хз -[- хз хз — х ХБ-[- х 2 2 яп 510 2 2 "'' 2 2 ...510 510 — - °вЂ” — — Х+Х» Х вЂ” Х,, Х+Х»1 51п -, 510, 510, ... 51п, яп + ~ х» — хв х» — х,, х»+ х», х» — х», х» -[- х» яп 51п яп, ... яп 51п 1 1 Х+Х» . Х вЂ” Хи Х+Х„и х — хз, х — х, 5!п —,...
5»п 510 2 ''' 2 51п, яп 2 ~ 2 2 .+'5'у 510 ' ...510 '51п " с» 51п — -- в»п Х» -[- Хь Х» — Хьь Х»+ Хи, 1 — Х» — ХБ — Х» — Х» 2 11 51п ... 51п з!п 510 х-[- х» х-[- х», х — х» х — х» „, Х Х вЂ” Х» — Х, — Х»+ Х»+1 — Х» — Х» — Х» — Х»Е, 510 ... яп, 510 яп х — х„х+ х„ ... 51п 510 Х вЂ” х; — х„— х» -[- х„ 510 2 510— 2 Используем формулы Х вЂ” Х», Х+Х», 1 яп 2 510 О = — (соз хь — сов х) 2 2 510, з(п Х» — ХБ Х»+ Х», 1 2 2 2 = — (С05Хл — Сов Х»). Дробь, стоящая в первом слагаемом, примет вид (СоьХ вЂ” СОБ Х1) (СОБ Х вЂ” СОБ Х )... (СОБ Х вЂ” СО»Хи) (соз хз — соз х,) (сов хз — соз хз)...
(Соь хз — соз х„) Объединим члены с одинаковыми у; 'в первой и второй суммах. Они будут иметь общий множитель (созх — созх,)(созх — созхз) ... (созх — сов х 0 Х (соз х» — СО»1) (С05 х — соз хз) .. ° (БОБ х» — соз х» 1) Х (С05 х — соз х».ь») ... (соз х — соз хи) (соз х» — соз х,~») . (соз х» — соз х„) интввполигованив пвгиодичвскик езикций 161 6 10 Члены, стоящие при этом общем множителе, дадут х — хо х+х, х — хо х — х» 51П Б!П 51П 2 2 2 В!и 2 х» — хо + х»+хо $1П $1П Х » 51П 51И Х 51П ~ 5!П 5!П + 51П 5!П х — хо ! х+ х» х»+ хо х — х» х» — хо) $1П » о 51И » + о 51П х . х — х х+х 2 2 1 х — хо~ х — хо (х+хо ~ ~х+хо 1 х — хо — 51П вЂ” Соз — — С05, + Х» + С05 — Х» — С05 1 51п х (с05 хо с05 х») 2 х — хо х+ хо 2 51п 51п — 51П х» 2 2 СОБ Х вЂ” СОБ Хо $1И Х» (С05 Хо — С05 Х») СОБ Х» — СОБ Хо Таким образом.
Т„(х) в этом случае будет иметь вид Т„(х) = (созх — соз хо) (соз х — соя х!) ... (созх — соз х» !) -!» (соз х» — соз хо) (соз х» — соз х»)... (соз х» — соз х» !) Х (СОЗ Х вЂ” С05 Х»е!) ... (С0$ Х вЂ” С05 Хи) (соз х» — соз х»з!) ... (соз х» — соз х„) ' Вто будет четный многочлен, принимающий при х = х» (1 = О, 1, ..., П) х»~10, и) значения уп Приведем следующий числовой пример, Построить четный тригонометрический многочлен, который при х=О, —, — принимает соответственно значения 2, 1„0.
4' 2 В этом случае будем иметь: Т,(х) — 2 ~ + СОБ Π— С05 — сОБ Π— соз— 4)! 2) (С05 Х вЂ” С05 О) (СОВ Х вЂ” СОБ— 2) ( соз — — соз О) 1)соз — — соз — ) 4 )т 4 2! 2 — ф 2 соао х — соз х — созз х + соя х) = 1 .+ соз 2х.
У2 — 1 Совершенно аналогично можно построить нечетный многочлен, который при х=х,, х,, ..., х„; х»~(0, и) принимает значения уз, 162 теоРия иитегполиговлиия и некотОРЫР ее пРиложеиия (гл. 2 Х 51П вЂ” 5!П 5!П Х»+ Х» Х! — Х»э! Х»+ Х»., ! 2 2 2 П х х — х! х+х! В!П вЂ” 51П 51П 2 2 2 У» — х» — х» — х! — Х»+ х! 2 51П вЂ” Б»П 2 5!П 2 51П 51П х» — х„х»+ х„ 51П вЂ”, 5!П х — х» ! х+х» ! 2 2 — х,— х ! — х;+х» х — х х — х»Р! х+ х»э! х — хп х+ хз Б1П 5!П 51П ... 51П 51П Х вЂ” Х» Х вЂ” Х» Х»Б! — Х»+ Х».!.! — Х» — ХП вЂ” Х»+Хи 5!П 5!П В!П ...
51П Б1П Как и прежде, обнаружим, что если объединить члены с одинако- вь»ми у», то можно будет вынести общие множители: х В!П вЂ” (СОБ Х вЂ” С05 Х!) (СОБ Х вЂ” СОВ ХВ) .. (С05 Х вЂ” С05 Х. !) Х 51П (С05 Х» СОБ Х!) (СОВ Х» СОВ ХБ) " (С05 Х» СОВ ХБ-1) х (С05Х вЂ” С05Х !) ... (СОВ Х вЂ” СОБ Хп) »+ (С05 Х' СОБ ХИ.!) (СОБ Х» СОБ ХП) Коэффициентами при этих общих множителях будут х+х, х — х! х х» 51П 51П 2 2 2 СОБ — 5!П— 2 2 51п х» 51п х 51П Х.
Итак, окончательное выражение для Т„(х) будет иметь вид 51П Х (СОБ Х вЂ” С05 Х!) ... !СОБ Х вЂ” СОБ Х»-!) Т„(х) = г у» 5!и х» (соз х, — соз х!)... (соз х» — соз х-!) »! Х (СОВ Х вЂ” С05 Х .! !) ... (СОБ Х вЂ” С05 ХВ) 3 (СОБ Х» — С05 Х»э!) ° . ° (СОБ Х» — С05 Хп) (5) Это будет нечетный тригонометрический многочлен, принимающий при х=х,, х,, ..., х„, х»~(0, »с), значения у,, у,, ..., у„, Приведем и для этого случая числоеой примео. уа, ..., у„. Для этого будем строить тригонометрический миогочлеи Т„(х) порядка и, который в точках — х„, ..., — х,, О, х,, ..., х„принимает соответственно значения — у„, — у„,, ... У! () У! ° ° ° У~ ~ этом случае х! «+х! х — х», х+х 51П вЂ” 51П вЂ” 51П вЂ” ..
51П Б!П Т„(х) = у» 2 2 2 2 2 — + — — +— Х 51П вЂ” 51П 51П - . 51П 51П »-1 х+ х» х — х»э! х+ х»+! х — х„х+ х„ 51П 2 5!П 2 В!П 2 '" 2 Б1П В!П вЂ”вЂ” 2 11[ зАЛАчА интеРполиРОВАния АЯГИБРАическими многочлеиАми 163 Построить нечетный тригонометрический многочлеи. который л л У" 2 при х= —, — принимает значения 1+ —, 1. По общей форме 4' 2 2 будем иметь: 5!Е Х [ СОБ Х вЂ” СОБ — ) в!и х(сов х — сов — ) х) (1„2) 2 +, 4 5!П вЂ” С05 — — СОБ— 4( 4 2) 5!П вЂ” С05 — — С05— 2( 2 4) 1 + — ) 2 5(п х сов х — = гйп х (сов х — ) = 51п х + 51п 2х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
