Том 1 (1160083), страница 26
Текст из файла (страница 26)
(12) В силу коммутативности сложения в линейном множестве имеет место А+-В= В+А. (13) Если оператор В преобразует любой элемент х линейного множества й в элемент сАх, где с — действительное число и А — некоторый оператор, то мы будем обозначать его через сА. Далее, будем называть оператор С ироизведением оаеритороз А и В, если для любого элемента х некоторого множества В имеет место Сх = А (Вх). (! 4) Очевидно, (лв) с = л (вс).
(1б) (А + В) С = АС+ ВС, С(А+В) = — СА+-СВ. (1б) (17) Вообще говоря, АВ -ь ВА. Будам обозначать через 7 оператор, для которого при любом х ~ И имгет место )х = х. Назовем такой опгратор единичным. Тепгрь мы можем определить А'= — АА, А'= А'А, ... Для стгпгнгй оператора имеет место равенство А~~" = А А"= А"А~. (18) По опргделению, положим Аз= 7. Теперь мы можем рассматривать многочлены от опграторов ао( +- а,А +- азАа +- ... +- а„А". (19) Если в линейном пространстве )с каким-то образом введено понятие пргдела, то мы можгм рассматривать и ряды операторов ао/+-а,А+-ааАа-+ ...
+-а„А" + (20) понимая под этим такой оператор В, что Вх= !пп ~ акА х. ньс ь-о (21) Опгратор В может быть вообще не определен или определен только на части пространства Й. Перейдгм теперь к выводу интерполяционных формул. В дополнгниг к ввгдгнным ранее операторам Ь, 7 и 8 рассмотрим еще оператор Р = †. Если функция 7"(х) разлагагтся в бесконечный г) л'х ' степенной ряд, то ао 7(х -)-а) =(1-';- к„— -+ —, — -+ ° ° ° )У(хо) = е 7(хо) (22) В частности, 7 (хо + ге) = е""( (хо) = () + ()) 1 (хо) (2 3) И гак, еьп= 7+-Ь е'ь~ = (7 + д) . У(хо+ГЯ= егл У(хо)=()+и) ') (хо).
Отсюда (24) В частности, если 7 (х) = — е,„(х), то всг наши ряды превращаются в конечные суммы и произвгденные нами операции являются 8 81 двкгик подходы к выводя еогмкл инткеполиговлчия 147 Если В лингйное множество, то имеют место такжг равгнства 148 твовия интвгполиговлния и нвкотогыв ев пвиложвния (гл. 2 законными. Раскрывая последнее выражение, мы получим интерполяционную формулу Ньютона для интерполирования вперед: Для получения интерполяционной формулы Ньютона для интерполирования навал заметим, что ДЧ7(х) = Д(7(х) — г (х — )1) ) = = У (х + л) — Г (х) — 7 (х) )-7 (х — а) = д у (х) — Ч7 (х). Отсюда и, кроме того, 7+-Д= (7 — Ч) '.
(27) Итак, (28) ( г (г+ 1) (г + 2) Чз у 31 (28') Это — интерполяционная формуля Ньютона для интерполирования назад, но записанная в других обозначениях. Связь оператора 8 с оператором д значительно сложнее. Мы имеем: йа у (х) = у (х + а) — 7 (х) — 7 (х) + 7 (х — й) = д 7 (х) — Ч Г (х) или 8Я=Д вЂ” Ч (29) (30) д — Ь д — 8'=О. (31) Мы не будем входить в детали дальнейших рассуждений для полу- чения формул центральных разностей Е.ч (хо+. гд) = У (хо) )- где (хо) + Р 7 (хо) + г (г — 1) (г — 2) ДЧ=Д вЂ” Ч, Д= Ч(7 — Ч) ' Е„(хо-4- М) = (7+Д) У(хо) =(7 — Ч) "У(хз), или Д„(х,+Д() У(х,)+(ЧУ(х,)+ Ч У(хе) ( 87 (х) = г" (х+- — ) — у~х — ~) и Отсюда 8з = д — д (! + д) ' = да (/+- д) т.
е. Д является решением квадратного уравнения (25) (26) 149 9 9) сходимость интввполяционного пвоцвссл 9 9. Сходимость иитерполяциоииого процесса При практическом использовании интерполирования не всегда удается произвести оценку остаточных членов. Высшие производные, входяшие в эти остаточные члены, не всегда доступны. Поэтому уверенность в том, что, выбрав достаточно большое количество узлов, мы лостаточно хорошо приблизимся к интерполируемой функции, была бы очень полезна в практическом интерполировании. В связи с этим возникает задача о сходимости интерполяционного процесса.
Пусть нам задана треугольная матрица хо х( > х( > х' ' х( > х > (и> (>и> (ч> (ч> все элементы которой принадлежат отрезку [а, (>). Для некоторой заданной на отрезке (а, Г>) функции ( (х) строится последовательность интерполяционных полиномов Лагранжа У.„(х), и = О, 1, 2, ..., причем для построения Ач(х) в качестве узлов интерполирования используются все элементы и-й строки нашей матрицы. Интерполяционный процесс называется сходящимся, если (2) йш Е„(х)=((х), х~[а,()). ч+> Это( процесс равномерно сходится, если сходимость последнего выражения равномерная. На первый взгляд кажется, что если элементы матрицы с повн>шепнем номера строки все плотнее и плотнее заполняют отрезок [а, Ь), так что в любой его части, начиная с некоторого и, находится по крайней мере один увел, то должна быть равномерная сходимость Г.„(х) к ( (х) хотя бы для непрерывных функций.
Однако это оказалось не так. Как было показано Фабером, для любой заданной матрицы узлов вида (1) найдется такая непперывная функция у(х), что построенные для нее интерполяционные многочлены Лагранжа по этим узлам не сходятся равномерно на [а, Г>) и ~ Гх). Более того, как было показано Бернштейном, последовательность интерцоляционных многочленов Лагранжа 1.„(х), построенных для функции у (х) = ) х) на отрезке [ — 1, 1) по равноотстояшим узлам (хо" = — 1; х'„"'= 1), не (ч> 150 твогия интвгполиговлния и нвкотогые вв пгиложвния [гл. 2 стремится с возрастанием и к Т(х) ни в одной точке, отличной от — 1, О, 1.
Вопросу сходимости интерполяционного процесса посвящена обширная литература. Для изучения этого вопроса привлекаются самые современные и тонкие методы математического анализа. Мы не имеем здесь возможности даже вкратце коснуться всех полученных в этом направлении результатов, не говоря уже о проведении доказательств.
Дадим здесь лишь одну теорему, относящуюся к целым функциям. Дадим сначала определение целой функции. Функция 1(х) называется целой, если ее можно представить в виде степенного ряда Т(х) = аз+а,(х — х)+а,(х — хв)г+ ... +а,(х — хь)" + сходящегося при всех значениях х. Теорем а. Пусть Т(х) — целая функция. Тогда последовательность построенных для нее интерполяционных многочленов Е„(х) по любой треугольной матрице указанного выше вида с элементами, принадлежащими отрезку [а, Ь[, равномерно на отрезке [а, Ь[ сходится к /(х). Заметим, что на основании известных теорем анализа функция )'(х) имеет производные любого порядка. Следовательно, мы можем воспользоваться полученной ранее оценкой отклонения г (х) от своего интерполяционного многочлена: [ Т' (х) — Е.„(х) [ ( — '-"-' —, [ ы„(х) [.
Здесь =(х — х~~ ')(х — х1Ю)... (х — х„"1). (4) Но очевидно, что [ ы„(х) [ ( (Ь вЂ” а) Итак, (5) Мы покажем. что правая часть этого неравенства стремится к нувю при и, стремящемся к бесконечности. Производная /""+н(х) функции г (х) может быть записана в виде У'т+ ~ (х) = (и + 1)! а„, + (и + 2) (и + 1)... 2а„„г (х — х ) + ... + (и + П) (и + й — 1)... да„+и (х — х ) -4- ... сходимость интзгполяционного пгоцвссл Отсюда ! )~"+1)(х) ! ((а+ 1)1!ая„,)!+(и+2)(л+1)...2!а„,з!!х — хе!+ ..
° ° ° +("+")("+л 1) ° - ° )з!~ )а!! хе! + тем более, !У~"+ ~(х)! ((а+1)"+ !а„+, !+(и+2)"+ /а„+з! !х — хз!+... +(л+л)О"!а ь!!х — хо! '+ Из неравенства (1+ — ) (е" при х О следует Таким образом, у(О+') (х) (л+ 1)~+~ „, (/ач 1/+(а„„,!(е!х — х1,!)+ ... ... +- ! а„„! (е ! х — х, ! ) + Умножим обе части последнего неравенства на 5"+', где 5 — произ- вольное, но фиксированное положительное число.
Тогда получим: ! у(О.). 1) ,(,',! з""<! .. Ф"'+-! .-.!з""( ! — .!)+" ... +-!ая+в!Я (е!х — хе!) + Обозначим через й наибольшее из двух чисел 5 и шах (е ! х — хз!). ее1О Ы Тогда ОО „„„*>,1„< т (л+ 1)О+1 Ф-ОО1 Так как последнее равенство имеет место при любом значении х~ (а, ))), то О МОО1 сОО1< ~ч))~~ !а !))а (6) (л -(- 1)"+ ' В-О+1 Рад ,Лл(аь!гга сходитсЯ. Следовательно, ~~~~ !ал!)св и тем более л-о й ОО1 152 твогия интягполиговлния и нвкотогыв ее пгиложвния [гл.
2 М 15п+ стремится к нулю при и -+ оо. Далее, 1)и+ 1 и+1 ~в+1 д )пь ~пь1 ( + 1), п+1 (п+ 1)! (и+ 1)"+' (и+ 1)! Из разложения (и+ 1)! ""=1+( +1)+("+,"+ .. +'и+" + следует, что (и+ 1)"+' 1п+ 1)! Поэтому (д а) + ( и+1 [ (д )!пь1 (7) (П+ 1)! (, + 1)пь! Принимая 5=е(д — а), из неравенства (6) получим нужное предельное соотношение (и+ 1)! Требование, чтобы г" (х) была целой функцией, является существенным в условиях теоремы, что показывает приведенный ниже пример. Рассмотрим на отрезке [ — 1, 1[ функцию 7 (х) = [ [О при х)~ О, при х СО. Эта функция непрерывна вместе со всеми своими производными на всей числовой прямой.
Если выбирать узлы интерполирования только на отрезке [ — 1, 0). то [.„(х) = О и не стремится к [(х) ни при каком положительном значении х. 0 10. Интерполирование периодических функций В тех случаях, когда интерполируемая функция 7(х) обладает свойством 7(а)=7(ь), то естественно на базисные функции 1р,(х), 1~1(х), ..., оп(х) накладывать такое же ограничение 1у! (а) = 1~1(д). Такие функции можно рассматривать как периодические с периодом -=д — а.
Для периолических функций можно также ввести понятие систем Чебышева на отрезке [а, д[. Совокупность функций уе, е1, уа...., 1~„, удовлетворяю цих условию 1~1(а) = 1~1(Ь), будем называть периодической системой Чебышева на отрезке [а, Ь[, если л1обая линейная комбинация со9о+ сИ1+ + с Рп не все коэффициенты которой нули, имее1п на [а, д[ не более и корней при условии что а и Ь считаются за один корень. Дока- интвгполиговлнив пвгиодичкскик егнкций 153 жем, что порядок л периодических систем Чебышева должен быть четным. Для доказательства рассмотрим определитель та (х) Чь (х!) ° ° Чз !х») р, (х) ч, (хг) ... Г, (х») О(х) = т» (х) т» (хг) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
